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ガウス記号をふくむ問題

1 :KARL :2000/10/05(木) 21:18

t=(sqrt(5)-1)/2 とします。

負でない整数 n について等式

[(n+1)*t^2]=[([n*t]+1)*t]

が常になりたつことを証明して下さい。

ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表すものとします。

2 :KARL :2000/10/06(金) 00:58
 ある問題集の数列の問題を解こうとして挫折し、巻末の解答
を見たのですが、そっけなく結論が書いてあっただけでした。
自分なりにその結論を導き出そうとする過程で、出てきた課題
が問題1です。簡単そうに見えるかもしれませんが結構難しい
と思います。元の数列の問題を紹介すると大ヒントになるので
それについては黙っておきます。(その大ヒントを与えられな
がらついきのうまでできなかったのがこの私。)
 私なりの解答は得られたのですが、違う発想の解答も見てみたい
のでどうかよろしくお願いします。
 この問題とかなりのつながりのありそうなのが次の定理です。
もしかしたらヒントになるかもしれません。

定理

α,βは次の式を満たす正の無理数であるとする。

1/α + 1/β= 1

このとき、数列{[n*α]},{[n*β]}

は次の性質をもつ。

それぞれの数列に属する数の集合をA,Bとすると、

(1)AとBとは共通部分を持たない。
(2)AとBとの和集合は自然数全体の集合Nと一致する。

※その他、ガウス記号をふくむ面白い定理や問題がありましたら
ご紹介願います。

3 :132人目の素数さん :2000/10/06(金) 07:46
>元の数列の問題を紹介すると大ヒントになるので
>それについては黙っておきます。(その大ヒントを与えられな
>がらついきのうまでできなかったのがこの私。)

黄金比とかフィボナッチ数列関連かなあ。

4 :132人目の素数さん :2000/10/06(金) 09:40
なんでこういうスレッドを立てる奴がいるのか(藁)


5 :132人目の素数さん :2000/10/06(金) 10:20
なんでいちいちスレ立て屋を非難する奴がいるのか(藁)

6 :KARL :2000/10/06(金) 21:44
>4番さん

面白い話題になると思うからです。
4番さんは5番さんの言うとおり、私を非難しているのでしょうか。とにかく、いきなり「奴」といわれるのは不愉快
千万。
ところで、(藁)というのは (笑い) をもじったもの
でしょうか。全然面白くありません。(申し訳ありませんが)

4番さんにとっては馬鹿馬鹿しいほど簡単な問題なのかもしれませんが、わたしに容易な問題ではありませんでした。
4番さんには是非、解答をいただきたいと思います。

さらに4番さんにお聞きしますが、「こういうスレッド」というのはどういう種類のスレッドのことを言うのでしょうか。


7 :132人目の素数さん :2000/10/06(金) 22:05
>>1

俺はこのスレ自体は悪くないと思うけどさ…

1と同じ内容のことを「くだらねぇ問題」スレにも書いてるだろ。
マルチポストは止めてほしいね。

あと、俺は4じゃないから。
馬鹿なんで1の証明は分からん。

8 :132人目の素数さん :2000/10/06(金) 22:38
要するに6みたいにからむのが目的でこのスレたてたんだ。
(4のようなレスが付くのは予想できるもんね)
それにひっかかったのが4であるというわけだ。
御愁傷様です>4

9 :132人目の素数さん :2000/10/06(金) 23:26
とにかくこのKARLってやつも要注意人物にしておこう

10 :>KARL :2000/10/07(土) 00:35
この掲示板に一般的なモラルを求めるのは間違いです。(^^;
ここでは煽りに反応しない心の広さもしくは鈍感さが無いとやってけません。
4の目的の一つには6のような反応を楽しむ、というのもあります。

>マルチポストは止めてほしいね。

これは同感。

11 :>8 :2000/10/07(土) 00:40
深いな。そこまでは読めなかった。

12 :KARL :2000/10/07(土) 01:00
7番さんへ

たしかに「くだらねぇ問題」にも書いてます。
じつは「分からない問題」にも書いてます。
最初は、事実分からない問題だったので、答えがほしくて載せたのですが、反響がゼロだった(よう)なので「もしかしたら」これはくだらない問題かもしれない、と思い直して「くだらねぇ問題スレッド」にも書かせていただきました。問題を考えている内に、ガウス記号というのは一つのテーマとして、取り扱えるのではないかと言う気がしてきて、新たにスレッドを立ててみようと考えた次第です。申し訳ありません。

8番さんへ

スレッドを立てたのは、以上のようなわけで、ガウス記号に関する興味ある定理や問題を知りたいし、知らせたいということが目的です。とんでもない誤解です。

どなたでもガウス記号をふくんだ問題や定理を紹介してくれませんか。

13 :>12 :2000/10/07(土) 01:49
君は真面目すぎる。2chには向いてないと思う。
Yahooのほうがいいんじゃない?


14 :>12 :2000/10/07(土) 02:21
今井が引きこもりはじめたようだから
いい話し相手が見つかると思うよ。

Yahoo!掲示板  ホーム>科学> 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=topics&board=yahoo.d6.0b.835554&type=r


yahoo数学カテ要注意者リスト

imaigrjp  とにかく相手にしちゃ駄目。レスがきても無視。
Ryxxeil   自称数学者。言動はチンピラ級。
ktsurut  今井ストーカ。嫌味を吐かなければ気がすまない。

15 :132人目の素数さん :2000/10/07(土) 02:24
>>12
IMAI.GR.JPをお薦めします

16 :132人目の素数さん :2000/10/07(土) 02:31
最近Yahoo見てないからRyxxeilていうのは知らんなあ。
(ktsurutって昔は今井の良き理解者だったんだよね)

17 :132人目の素数さん :2000/10/07(土) 02:40
Yahooの方がいいってゆーか、
12みたいな奴こそYahooに行くべきだと思う。
>>8にマジレスしてるの見ると可哀想になってくる。
2chには時々煽りに来てくれれば十分だよ。

18 :>16 :2000/10/07(土) 02:48
>最近Yahoo見てないからRyxxeilていうのは知らんなあ。

(凸体(凸包だったかも)に関する簡単な問題)とかいうトピを立て、
からんできたktsurutをバカ扱い。そのトピは下がって消滅。

今は(x^2+y^2=(xy+1)zの自然数解)というトピに常駐。
下手に出れば普通に相手をするようだ。

19 :16>18 :2000/10/07(土) 02:57
あんがとさん

>からんできたktsurutをバカ扱い。そのトピは下がって消滅。
見たかった!

20 :19 :2000/10/07(土) 02:59
すまぬ、ageちまった。
何なりとお裁きを。

21 :133人目の素数さん :2000/10/07(土) 03:05
>Ryxxeil

学生に相手にされなくなった先生が憂さ晴らしに来ている、
って感じかな。
数学のレベルはほんのちょっと高いけどnearly今井ってとこだね。

22 :KARL :2000/10/07(土) 20:43
 もう一つガウス記号をふくんだ恒等式(と言っていいのかな)を紹介します。

負でない全ての整数 n について

 [√n + √(n+1)] = [√(4*n+2)]

(こういう式のことを面白がってくれる人がいることを願いつつ)



23 :KARL :2000/10/07(土) 20:48
 ガウス記号をふくんだ次の方程式を解いて下さい。

[x^2] + [x] = 0



24 :132人目の素数さん :2000/10/07(土) 21:06
うーむ、1が今も2chにいるってことは
それだけここは居心地がいいということか?

>>23
-√3 < x <= -√2, x = -1, 0 <= x < 1 だと思うが。
まだある?

25 :132人目の素数さん :2000/10/07(土) 23:51
読み物としては面白いけど、1とか22レベルの問題は
何をどうすれば解けるのかさっぱりわからない厨房です。(^^;

23ならなんとか。

>>24
>ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表すものとします。

負数のガウス記号をこう定義してるから
-√3 < x <= -√2 は不適かも。
-√2 < x <= -1 ,0 <= x < 1 でしょうかね。

26 :KARL :2000/10/08(日) 11:48
23の問題について
24番さん、正解。だと思います。
25番さん、何かの勘違いでしょう。

25番さん
>読み物としては面白い

ありがとうございます(^_^)。

>けど、1とか22レベルの問題は
>何をどうすれば解けるのかさっぱりわからない厨房です。(^^;

「厨房」ってなんですか?とにかく次の証明をごらん下さい。

[√n +√(n+1)] = [√(4*n+2)] の証明

√n +√(n+1) < √(4*n+2)

が常に成り立つから、
------------------------------------------------
(その略証)
左辺^2 = 2*n+1+2*√(n*(n+1)), 右辺^2 = 4*n+2
だから 2*√(n*(n+1)) < 2*n+1
が言えればよい。
左辺^2 = 4*n^2+4*n, 右辺^2 = 4*n^2+4*n+1 でOK
------------------------------------------------
仮に [√n +√(n+1)] = [√(4*n+2)]

でないとすると

√n +√(n+1) < m ≦ √(4*n+2)

なる整数 m が存在することになる。

各辺を平方して

2*n+1+2*√(n*(n+1)) < m^2 ≦ 4*n+2
∴ 2*√(n*(n+1)) < m^2-(2*n+1) ≦ 2*n+1

再び平方して

 4*n^2+4*n < (m^2-(2*n+1))^2 ≦ 4*n^2+4*n+1

右辺と左辺は差が1であり、中央の辺は整数だから

(m^2-(2*n+1))^2 = 4*n^2+4*n+1

でなければならない。つまり

m^2-(2*n+1) = 2*n+1 ∴ m^2 = 4*n+2

平方数は mod 4 で 0 または 1にしかならないから、
これは矛盾である。■



27 :KARL :2000/10/09(月) 11:12
問題1

次の等式を証明して下さい。(nは自然数)

 [√(n+[√n])] = [√(n)+1/2]

問題2
 次の空欄に適当な語を入れてください。

 問題1の等式の両辺にnを加えた式はn番目の
 (     )数を表している。

問題3

t=(√5-1)/2とします。

次の式はどんな値になるでしょう。(n=0,1,2,3,...)

 [(n+1)*t]+[(n+1)*t^2]



28 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 12:46
つづきはさくらスレか、くだらんスレで聞けよな
ヴァカかてめえは。

■□■□■□■□終了□■□■□■□■

29 :>28 :2000/10/09(月) 12:52
怒るような事じゃないってば、、、

30 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 13:03
1は初心者ぶっているが、本当に初心者か質問者なら
レスを読めば、こんな能率の悪いところで聞かすに、とっくに
さくら・2スレか、くだらんスレに移っているはず。
単に1はスレ立て屋やアンチ風紀でしょう。
まじめに相手にする必要なし。


31 :29>30 :2000/10/09(月) 13:12
“絶対値の問題が好きな人”が絶対値の問題を紹介してるだけでしょう。
質問してるわけじゃないとおもうけど。多分1は答えを持ってるんだと
おもうよ。

32 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 13:28
>>31
>“絶対値の問題が好きな人”が絶対値の問題を紹介してるだけでしょう。

絶対値ねぇ、ガウス記号だろ。まぁこれもネタか。
30のようにしてもいいが、ほって置けばこういうヴァカは
自然といなくなる。

+++++++++++++++++++++++ 放 置 +++++++++++++++++++++++++++

失せろ >> 1

33 :31 :2000/10/09(月) 13:40
>絶対値ねぇ、ガウス記号だろ

・・・いま気が付いた。すげぇ恥ずかしい!!!

34 :KARL :2000/10/09(月) 15:50
さくらスレにもくだらねえスレにも書いたけど反応なしだったんですよ。
 31番さんの言うとおり「ガウス記号の好きな人」が問題紹介をしているだけです。面白くないですか?
 

35 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 16:06
>34
う〜む。
ここには興味がある人いないって事じゃない?>ガウス記号
数学関係の掲示板いろいろ探してそっちに投稿すれば?

やふーにはいってみたの?

36 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 16:11
…っつうか、スレッド建ててからまだ4日しか経ってないじゃん。

37 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 16:36
>>34-35
Yahoo! もいいだろうし、他では「数学の部屋」がお勧めです
「数学の部屋」http://www2.incl.ne.jp/~yaoki/

38 :KARL :2000/10/09(月) 21:11
1の問題の出所を紹介しましょう。
----------------------------------------
数列 {f(n)} は次のように定義されている。

f(0)=0
f(n)=n-f(f(n)) (n=1,2,3,...)

{f(n)} の一般項を求めよ。
----------------------------------------
問題集の解答は f(n)=[(√5-1)/2*n] とあるだけでした。

正確に言うと [(√5+1)/2*n]となっていたのですが、誤植でしょう。



39 :132人目の素数さん :2000/10/09(月) 21:31
cooleeさんとこは? http://tokyo.cool.ne.jp/coolee/
Stromdorfさんも来てるよ。


40 :>38 :2000/10/10(火) 00:04
38の漸化式はどこから出てきたものですか?

41 :重箱のスミ :2000/10/10(火) 00:57
>f(n)=n-f(f(n)) (n=1,2,3,...)

これでf(1)出せるんでしょうか?(^^;

f(n)=n-f(f(n-1)) (n=1,2,3,...)
ですよね。たぶん。

42 :132人目の素数さん :2000/10/10(火) 05:42
age

43 :132人目の素数さん :2000/10/10(火) 17:52

########################## 放 置 ###############################

44 :KARL :2000/10/10(火) 19:21
重箱のスミさんへ

その通りです。

f(n)=n-f(f(n-1)) (n=1,2,3,...)

です。

実はもう一つ間違いがありました。

f(n)=[(√5-1)/2*n]ではなくて

f(n)=[(√5-1)/2*(n+1)]

問題集の解答は

  f(n)=[(√5+1)/2*(n+1)]

となってました。ごめんなさい。




45 :132人目の素数さん :2000/10/10(火) 20:02

########################## あげるなヴァカ ###############################




46 :132人目の素数さん :2000/10/10(火) 20:22
>>45
ウザイよ。


47 :132人目の素数さん :2000/10/10(火) 20:40
>46
おめーも羽剤
市ね

48 :>44 :2000/10/10(火) 23:11
10月号の大数に似た話題が載ってました。
問題提起だけで議論は保留されましたが。

f^kをfのk回の合成とする
f(0)=0
f(n)=n-f^k(n-1) (n=1,2,3,...)

どうなるのかさっぱりわかりません。
f(n)=[g(n)(√5-1)/2]のようになるんでしょうか?

49 :132人目の素数さん :2000/10/11(水) 01:29
>>1-2
1の証明をするにあたって、どのように2の定理とつながるのですか?
1は証明できましたが、2の定理と関係なくできたので。
>私なりの解答は得られたのですが、違う発想の解答も見てみたい
>のでどうかよろしくお願いします。
「私なりの解答」を教えてくれませんか?

また1の等式は負の整数でも成り立つように思えるのですが。

50 :KARL :2000/10/11(水) 01:43
48番さんへ

ほんとですか?!

k=2だったらそのままじゃないですか。
さっそく大数読んでみます。

k=3でちょっと調べてみたところ
0,1,1,2,3,4,4,5,5,6,7,...
となりますね。(計算違いでなければ)
k=2のときは
0,1,1,2,3,3,4,4,5,6,6,...
ですから、ちょっと大きめになるようですが,...

今、気がつきました。k=1の場合、
0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,...
f(n)=[(n+1)/2]じゃないですか!

どうも

f(n)=[(n+1)*t] (tはある定数)

というのが一般の場合のような気がしてきました。

1/2, (√5-1)/2 ときたら次はどうなるんでしょう。

51 :KARL :2000/10/11(水) 02:58
49番さんへ

>1の証明をするにあたって、どのように2の定理とつながるのです>か?

私の証明では当面関係ありません。

>1は証明できましたが、2の定理と関係なくできたので。

是非教えて下さい。
ついでに、もとになった数列の問題の解答もしてくれるとうれしいです。

>「私なりの解答」を教えてくれませんか?

まず、27の問題3です。

補題:
t=(√5-1)/2のとき
[(n+1)*t]+[(n+1)*t^2]=n (n>=0)

証明:

(n+1)*t-1<[(n+1)*t]<(n+1)*t (tは無理数だから = は不成立)
(n+1)*t^2-1<[(n+1)*t^2]<(n+1)*t^2 (t^2も無理数)
∴(n+1)*(t+t^2)-2<[(n+1)*t]+[(n+1)*t^2]<(n+1)*(t+t^2)
t+t^2=1 だから
n-1<[(n+1)*t]+[(n+1)*t^2]<n+1
∴[(n+1)*t]+[(n+1)*t^2]=n ■

したがって
[(n+1)*t]=[n*t] かつ [(n+1)*t^2]=[n*t^2]+1
または
[(n+1)*t]=[n*t]+1 かつ [(n+1)*t^2]=[n*t^2]
が常になりたつ。 (n>=1)

また t^2<1/2だから、
[(n+1)*t^2]=[n*t^2]+1 かつ [(n+2)*t^2]=[(n+1)*t^2]+1
ということはあり得ない。

[(n+1)*t^2]=[([n*t]+1)*t]の証明

n=0の時
左辺=[t^2]=0 右辺=[t]=0
よって成り立つ。

n>=1のとき
1) [(n+1)*t]=[n*t], [(n+1)*t^2]=[n*t^2]+1の場合
上の注意にあるように、このとき
 [(n+2)*t^2]=[(n+1)*t^2]、したがって [(n+2)*t]=[(n+1)*t]+1となる
[(n+1)*t]=[n*t]=mとおくと
m<n*t<(n+1)*t<m+1<(n+2)*t
∴(n+1)*t^2<(m+1)t<(n+2)*t^2 (1)
[(n+1)*t^2]=sとおくと
s<(n+1)*t^2<(n+2)*t^2<s+1 (2)
(1)(2)より
 s<(n+1)*t^2<(m+1)*t<(n+2)*t^2<s+1
∴[(n+1)*t^2]=[(m+1)*t]=[([nt]+1)*t]

2)[(n+1)*t]=[n*t]+1, [(n+1)*t^2]=[n*t^2] の場合
[n*t]=mとおく。
m<n*t<m+1<(n+1)*t
∴m*t<n*t^2<(m+1)*t<(n+1)*t^2 (3)
[n*t^2]=[(n+1)*t^2]=sとおくと
 s<n*t^2<(n+1)*t^2<s+1 (4)
(3)(4)より
 s<n*t^2<(m+1)*t<(n+1)*t^2<s+1
∴ [(n+1)*t^2]=[(m+1)*t]=[([n*t]+1)*t] ■

>また1の等式は負の整数でも成り立つように思えるのですが。

補題は n=-1の時になりたたなくなるのでn<0の場合は考えていませんでした。49番さんの証明をぜひ見せてください。
ちなみに2番の定理の(私の知っている)証明に出てくる式が補題にそっくりなのです。

52 :その1 :2000/10/11(水) 03:16
>>51
49です。
27の問題3の別証明(こっちの方が簡単)
t^2=1-t に注意すれば、
[(n+1)t]+[(n+1)t^2]=[(n+1)t]+[(n+1)(1-t)]=[(n+1)t]+[-(n+1)t]+n+1
任意の整数でない実数 x に対し、[-x]=-[x]-1 より、[-(n+1)t]=-[(n+1)t]-1
よって
[(n+1)t]+[(n+1)t^2]=n. 証明終。


53 :その2 :2000/10/11(水) 03:39
1の証明
注意:t^2+t-1=0 より t^2=1-t, t(1+t)=1.
n を整数とする。
m=[nt]+1 とおく。このとき
m-1 <= nt < m.
(1+t)を掛けると
(m-1)(1+t) <= n < m(1+t).
区間 [(m-1)(1+t), m(1+t) ) の整数点は1つか2つだから、
1) n=[m(1+t)] or 2) n=[m(1+t)]-1 のいずれかが成り立つ。
1) の場合、n=m+[mt].
(n+1)t^2-[mt] = (m+[mt]+1)(1-t)-[mt] = 1-t+m-mt-[mt]t
= 1-t+m(1-t)-[mt]t = 1-t+mt^2-[mt]t = 1-t+t(mt-[mt]).
2) の場合、n=m+[mt]-1
(n+1)t^2-[mt] = (m+[mt])(1-t)-[mt] = m-mt-[mt]t = t(mt-[mt]).
明らかに 0 <= mt-[mt] <1 だから、1),2) のどちらの場合でも
0 <= (n+1)t^2-[mt] < 1.
ゆえに、[(n+1)t^2]=[mt]=[([nt]+1)t]. 証明終。
上の証明では n は負でないと仮定していません。
もとの数列の問題は考えていなかったのでお答えできません。ごめんなさい。
上の証明は y=([xt]+1)t のグラフをかいて考えたものです。


54 :53の補足 :2000/10/12(木) 00:29
証明を理解するには
 1) y=([xt]+1)t (横の長さが 1+t, 高さが t の階段状になる)
 2) y=(x+1)t^2
 3) y=x+n (n:整数) (これは無限個の直線)
のグラフをかいてみるのがいいと思います。
3つのグラフすべてに共通な点が ( n+(n+1)t, (n+1)t ) で、1) の各線分の
右の点が 3) に接するかたちになります。
 このとき x=n (nは定数) の直線を引き、1), 2) との交点と、1), 2) の
すぐ下にある 3) の直線との交点をみると、1), 2) との交点と 3) との交点との
距離は1 未満になります。とくに n が整数ならば 3) との交点は整数点である
ことより1の等式が示せます。
>>48,50
以下のような予想はできます。
f(n) を f_k(n) と表したとき、f_k(n)〜tn (n->∞).
ここで t は方程式 x^k+x-1=0 の正の解(ただ1つ存在する)。
ただし f_k(n)=[t(n+1)] のかたちはできなさそうです。実際、数値計算をすると、
f_2(100)=62, f_2(1000)=618, f_2(10000)=6180
と k=2 の場合はいいのですが、k=10 とすると
f_10(100)=86, f_10(1000)=839, f_10(10000)=8354
となってしまいました。

55 :KARL :2000/10/12(木) 03:46
>>48
大数読んで唖然としております。ときどき立ち読みで、しかも宿題のページだけのぞいて、滅多にないことですが解答できたときは投稿するほどの愛読者である私の目をどうやってすりぬけたのでしょうか。やはり一般項を出している小嶋先生の解答に目がいきます。私のよりすっきりしてますかね。p.78の☆にはガウス記号をつけた方がいいですね。

 >>53,54
ていねいな解答ありがとうございます。

tをx^k+x-1=0の解として
f_k(n)=[t(n+1)]
という仮説が今朝方浮かんだのですが、だめですか。
残念。

56 :KARL :2000/10/14(土) 02:32
27 の問題2の正解を書きます。

 [√(n+[√n])] = [√(n)+1/2]

 上の等式の両辺にnを加えた式はn番目の
 (非平方)数を表している。

つまり、 数列

{ n+[(n+[√n])] } すなわち { [√(n)+1/2] } (n=1,2,3,...)

は、

2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,...

となって、自然数列から平方数 1,4,9,16,25,36,...を取り除いたものになります。


57 :KARL :2000/10/14(土) 09:32

56の訂正

{ n+[(n+[√n])] } すなわち { [√(n)+1/2] } (n=1,2,3,...)

{ n+[√(n+[√n])] } すなわち {n+ [√(n)+1/2] } (n=1,2,3,...)


58 :KARL :2000/10/15(日) 03:25
>>56,57

n+[[√(2*n+[√(2*n)])] = n+[√(2*n)+1/2]

は、n番目の「非」3角数を表している。
 一般に、k<=10であるとき
 n+[ √(2*n/(k-2))+1/2]
はn番目の「非」k角数を表していることが証明できる。


59 :KARL :2000/10/17(火) 02:27
こんな問題見つけました。

数列

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, ..

は、順に奇数1を1個、それに1を加えた偶数2から始まる連続する2個の偶数を付け加え、その末項4に1を加えた奇数5から始まる連続する3個の奇数を付け加え、その末項9に1を加えた偶数10から始まる連続する4個の偶数付け加え...というふうに奇数を奇数個、偶数を偶数個、付け加える項数を増加させつつ交互に並べた自然数の増加列です。
 さて問題は、「この数列の一般項をガウス記号を使って表せ」です。どなたか解答していただけませんか。



60 :>59 :2000/10/17(火) 18:01
元の数列をf(n), 階差数列をg(n)とする。すなわちg(n)=f(n+1)-f(n)。
nが自然数kを用いてn=k(k+1)/2と書けるときg(n)=1, それ以外のときg(n)=2だから、
1≦i≦nでg(i)=1となるiの個数をmとすると
  m(m+1)/2≦n<(m+1)(m+2)/2
⇔ m+1/2≦√(2n+1/4)<m+3/2
⇔ √(2n+1/4)-3/2<m≦√(2n+1/4)-1/2
⇔ m=[√(2n+1/4)-1/2]
よってn≧2のとき
f(n)=1+Σ[p=1,n-1]g(p)
 =1+2(n-1)-[√(2(n-1)+1/4)-1/2]
 =2n-1-[√(2n-7/4)-1/2]
(n=1のときもこれでよい。)

61 :132人目の素数さん :2000/10/17(火) 19:35
鮮やかッス

62 :>59 :2000/10/19(木) 02:00

1|2,4|5,7,9|10,12,14,16|17,19,21,23,25|26,...

という風に区切る項数を1個ずつ増やして群に区切っていき、順に第1群、第2群
第3群,...と名づけます。第m群にはm個の項が含まれています。したがって
第n項が第m群に含まれているとすると
1+2+3+...+(m-1) < n <= 1+2+3+...+m
つまり
m(m-1)/2 < n <= m(m+1)/2
となります。このことから
m(m-1)< 2n <= m(m+1)
m(m-1)も 2nも整数ですから
m(m-1)+1/4 < 2n < m(m+1)+1/4
が成り立ちます。つまり
(m-1/2)^2 < 2n < (m+1/2)^2
∴ m-1/2 < √(2n) < m+1/2 ∴ m < √(2n)+1/2 < m+1
したがって m=[√(2n)+1/2] (*)
さて、第m群は次のような数列です。
(m-1)^2+1,(m-1)^2+3,...,(m-1)^2+2m-1 (最後の項はm^2に等しい)
数列の一般項Anが第m群の第k項にあたるとすると
n=m(m-1)/2+k, An=(m-1)^2+2k-1
となって
2n=m^2-m+2k, An=m^2-2m+2k
から
An=2n-m
これと(*)から
An=2n-[√(2n)+1/2]
となります。



63 :132人目の素数さん :2000/10/19(木) 08:14
60と62の答えが違う。こはいかに。

>>60 f(n)=2n-1-[√(2n-7/4)-1/2]
>>62 A(n)=2n-[√(2n)+1/2]

どっちでも正解なん?
ガウス記号で表せるものは一意ではない?

64 :>63 :2000/10/19(木) 11:54
一致してるみたいよ。

65 :KARL :2000/10/20(金) 01:50
>>63
> f(n)=2n-1-[√(2n-7/4)-1/2]
> A(n)=2n-[√(2n)+1/2]
>
>どっちでも正解なん?

どちらも正解です。

>ガウス記号で表せるものは一意ではない?

ガウス記号(というか床関数)は実数の集合から整数の集合への1対1でない関数ですから特に記号の中に整数が入り込むと、こういうことが起こります。関数(数列)として同じものであっても、数式としては異なるものが存在するわけです。[ガウス記号のおもしろさ]

62の
m(m-1)< 2n ⇒ m(m-1)+1/4 < 2n は特に味わうべき所だと思います。整数ならではの性質です。

ところで、こんな問題はいかがでしょう。

「t^2+t=1 ⇒ 全ての自然数nについて[n*t]+[n*t^2]=n-1」
だが、その逆,
「全ての自然数nについて[n*t]+[n*t^2]=n-1 ⇒ t^2+t=1」
は成り立つだろうか。

前に出した問題 [t^2]+[t]=0 はこの問題を意識しながら作りました。「即答できたら理系」スレッド向きかもしれません。

ちなみに y=[x^2]+[x] のグラフをかけ、なんていうのもいい問題だと思いませんか。

66 :KARL:2000/10/30(月) 01:20
nは2以上の整数とする。
[(n^(1/3)+(n+2)^(1/3))^3]+1は8で割り切れることを証明せよ。


67 :電卓実験結果>66:2000/10/30(月) 04:20
f(n)≡[(n^(1/3) + (n+2)^(1/3))^3] + 1

f(1)=[15.567・・・] + 1 = 16 = 2 * 8
f(2)=[23.083・・・] + 1 = 24 = 3 * 8
f(3)=[31.322・・・] + 1 = 32 = 4 * 8

f(n)=8(n+1) と予想。厨房なんでここまで。

68 :>66,67:2000/10/30(月) 22:03
>>67
 f(1)=[14.567…]+1=15 のような気がするのですが。
 予想の式は(n>=2として)あっていると思います。

>>66
 問題を少し一般化して r を2以上の整数とし、f_r(n)=(n^(1/r)+(n+2)^(1/r))^r を考える。
このときある自然数 N が存在して n>=N ならば [f_r(n)]+1 は 2^r で割りきれる、
が成り立つ。
上の命題の証明は長くなってしまうので方針だけ書くと、
 1) x^(1/r)+(x+2)^(1/r) < 2(x+1)^(1/r)  (x>0)
を示し、
 2) g(x) = (2(x+1)^(1/r))^r - (x^(1/r)+(x+2)^(1/r))^r
が単調減少であることを示し、
 3) ある自然数 N に対し g(N)<1
であることを示す。
これより [f_r(n)]+1=2^r(n+1) (n>=N). よって命題が成り立つ。
この方法で上の命題は証明できるのですが r=3 のときはもっといい方法がおそらくあるでしょう。
ちなみに r=2,3,4,5,6,7,8,9,10 に対して N=1,2,6,12,26,54,112,227,460
となりました(数値計算の結果)。

69 :KARL:2000/11/15(水) 02:36
rは実数で次の式が成り立つとする。

S=[r+19/100]+[r+20/100]+・・・+[r+91/100]=546

このとき[100r]の値はいくらか。



70 :132人目の素数さん:2000/11/15(水) 20:27
項の数=73.
r=7+a(aはrの小数部)とする。
546は73で割り切れないから,9/100<=a<81/100.
i/100<=a<(i+1)/100.とおくと,
S=73*7+(i-9)=546.→i=44.
→[100r]=7*100+44=744.

71 :KARL:2000/11/27(月) 01:04
[√2]=1, [2√2]=2, [3√2]=4, [6√2]=8, ...

これらの事実からいくつか予想を立ててみました。
このうち正しいのはどれでしょう。ここで n は自然数とします。

(1) [n√2]が2のベキになるnは有限個である。
(2) [n√2]が2のベキになるnは無限にある。
(3) [n√2]で表せない2のベキは存在しない。
(4) [n√2]で表せない2のベキは有限個である。
(5) [n√2]で表せない2のベキは無限にある。



72 :132人目の素数さん:2000/12/24(日) 03:11
age

73 :132人目の素数さん:2001/02/26(月) 00:51


74 :132人目の素数さん:2001/02/26(月) 01:13


75 :132人目の素数さん:2001/02/26(月) 01:55


76 :132人目の素数さん:2001/03/02(金) 02:52
さげ

77 :132人目の素数さん:2001/03/04(日) 13:53
sage

78 :ろうさんかんざんらん:2001/03/07(水) 17:03
さげ

79 :ろうさんかんざんらん:2001/03/10(土) 01:38
sage

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