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1 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 08:24
球の体積と表面積の公式って、どうやって求めるか教えてちょ。

2 :>1 :2000/09/18(月) 08:36
球をスライスして円盤にしろ。

3 :>2 :2000/09/18(月) 08:43
円盤にスライスしたじょ
で?

4 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 08:46
0から2Rまで積分して。(Rは球の半径)

5 :>4 :2000/09/18(月) 08:50
いきなり難しいじょ
2さんのように簡単に説明してちょ

6 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 08:52
>5
積分は知ってるツモリ?

7 :>3 :2000/09/18(月) 08:55
何枚にスライスした?


8 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 08:58
>6
まだよくわからないにょ

>7
頭の中で20枚ぐらいにスライスしたにょ
で?

9 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 09:08
>8
そのスライスした20枚を水にひたして30分くらい待つ
それから適当な大きさに切って、酢と醤油をかければデキアガリ


10 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 09:15
>9
お料理のこと聞いているのではないにょ、プンプン
ちゃんとやってほしいにょ。

で、それ何の料理?


11 :>8 :2000/09/18(月) 09:23
円盤の体積を全部足してみ。

12 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 09:26
>11
どうやって1枚1枚の円盤の体積を求めるにょ?

13 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 09:31
円盤と球の中心とのキョリで、円盤(厳密に言うと円盤じゃないが)
の半径が一意的に決まるだろ?
それをまず求めてみ?

14 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 09:34
>9
おもろすぎ。

15 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 10:21
>13
円盤の半径=ルート(球の半径の2乗−円盤と球の中心とのキョリの2乗)
でいいにょ?

13さん なんか怒っているにょ?
9のギャグにちゃんとうけなかったからにょ?


16 :13=14 :2000/09/18(月) 10:32
別に怒ってない如。
9のギャグはわしじゃない如。

あってる尿。
スライスの枚数をどんどん増やしてみてにょ。
そしたらなんか規則性に気づかないかにょ?
積分が使えないかにょ?

ちょっと仕事が忙しくなるからもう答えられないにょ。
だれかたのむにょ。

17 :13=14=16 :2000/09/18(月) 10:55
さくらさんが来たみたいだからそっちで聞いてみてね!!

18 :>1 :2000/09/18(月) 12:57
球をx^2+y^2+z^2=r^2であらわすと、z=zで切れば半径^2=r^2-z^2の円となる。
高さがdzの円盤の体積=π(r^2-z^2)×dzだから、
これをzに関して-rからrまで積分すればよい。

19 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 13:42
急の表面積は
S=4敗R
中学で習う。
でも中学生は積分わからん。
俺も忘れた。

20 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 15:42
>>19
もういちど中学校逝って勉強し直してください

21 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 16:25
>S=4敗R
これもちがうような・・・

22 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 20:45
一応
S = 4πr^2
V = (4/3)πr^3

23 :132人目の素数さん :2000/09/18(月) 23:43
∫^{R}_{0}∫^{π}_{0}∫^{2π}_{0}r^2sinθdrdθdφ
(dxdydz=r^2sinθdrdθdφ)
で良いんじゃないの?

24 :132人目の素数さん :2000/09/19(火) 00:12
半径方向に微分すればいいじゃん。

25 :>23 :2000/09/19(火) 07:59
そりゃそうだが、そこまで分解せんでも。
あと細かいけど、積分範囲の順番が逆。

26 :>23 :2000/09/19(火) 08:44
dxdydz=r^2sinθdrdθdφ を計算するのが面倒だろう。

27 :132人目の素数さん :2000/09/19(火) 09:36
>>26
ヤコビアンだから、機械的にやってしまえば
それほど面倒ではないのでは?

28 :1人目の素敵さん :2000/09/19(火) 09:47
何次元の球だろうと、表面積を半径で微分すると体積になります。
円の面積を半径で微分すれば円周の長さになります。

逆にいえば、表面積は体積を半径で積分すればでます。
したがって体積の式だけを求めればよいことになりますが
これは18のいうような積分をすれば求まります。

球の体積は単位球の体積をAとすれば、半径rの球というのは
x@`y@`z方向に単位球をそれぞれr倍したものだから体積がA r^3であることは
当然だと思いませんか?・・・この場合もちろんA=(4/3)πです。

29 :28 :2000/09/19(火) 09:56
>何次元の球だろうと、表面積を半径で微分すると体積になります。

何次元の球だろうと、体積を半径で微分すると表面積になります。

>逆にいえば、表面積は体積を半径で積分すればでます。

逆にいえば、体積は表面積を半径で積分すればでます。

逆な・・・寝惚けてるな・・・

30 :>27 :2000/09/19(火) 10:09
もちろんそれほど面倒ではないが、18のほうが簡単だろう。

31 :132人目の素数さん :2000/09/19(火) 13:07
>29
3時験じゃなくてもいいの?
半径2mの4時限の旧の体積と表面積は?

>20
中学の時、微積分知っていたか?
中3でもS=4敗R2という式は解る。
なぜこうなるか、中学生に解るように説明してみよ。(微積分の使用は反則)

32 :29ではないが :2000/09/19(火) 14:45
半径rの4次元超球の体積は(1/2)π^2・r^4@` 表面積は2π^2・r^3であってる?

33 :29 :2000/09/19(火) 19:55
>>32
合ってると思います。

>>31
半径が2mという指定は、あまり意味がありません。
n次元球であれば
体積は(定数)xr^n
表面積は(定数)xr^(n-1)
という形をしているので単位球(半径1の球)の体積を計算すればよいです。
半径が2mならば
(4次元単位球の体積)x16m^4
の筈です。

ちなみにn次元単位球の体積を Anとすれば
(n+1)次元単位球の体積は18と同様に
An(1-z^2)^(n/2)dzを-1から1までで積分すれば手軽に得られ
半径rのn次元球の体積は An r^nとなります。

中学生にわかるように説明しろと言われたら困るのは
「単位球の体積が(4/3)π」
というところだけだと思います。
中学生だからせいぜい3次元までとして
単位円の面積がπってのは定義だからいいとして
単位球の体積が積分を使わずに得られるのかどうかは知りません。
表面積の4πr^2も体積から微分ででることを理解していれば
明示的に微分を使わなくても説明はできると思います。

34 :20 :2000/09/20(水) 00:08
>>19
>S=4敗R
につっこんだだけだ。

アルキメデスの墓の模様のお話は
中学生には難しい…。

35 :20 :2000/09/20(水) 00:14
あ…
19=31 で合ってるよね?

36 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 08:07
n次元球の「体積」はいいとして、「表面積」という用語は
これでいいの?

37 :20 :2000/09/20(水) 08:20
>>33
円での、円周2πrと面積πr^2との関係を三角形で説明したのと同様に
球での、表面積4πr^2と体積(3/4)πr^3との関係は、
表面を底面、中心を頂点とみなし、
底面を細分化した錘を用いて説明することができる。

問題は、二次元と三次元の単位球の体積(別に表面積でもいい)
の関係を、微分を用いずに中学生に説明できるか、ってことだよね。

38 :20 :2000/09/20(水) 08:23
>>36
OK。
二次元球の表面積はこれすなわち円周を指します。

39 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 10:14
縁の面積=πR2
演習=2敗R

40 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 10:25
rは小文字の方がいいかな?
円の面積=πr2
円周=2敗r
旧の表面積=4敗r2

41 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 10:31
球の表面積を厨房に教えるときって、球を展開してなかったっけ?
ギザギザのやつに。どうだったっけか?

42 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 10:45
>>41
球の表面積でですか?初耳です。識者の意見募集。円の面積なら
中心角を小さくした扇形を切り張りした記憶があります。たしか小学生でした。

43 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 11:07
41のように球を錐体に分割すると、(体積)=(表面積)×(半径)/3 という関係が
導けますね。中学では、体積と表面積とどちらを先に与えるんでしたっけ?

44 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 11:37
>33
m4が読めません。

m2は「平方m」で、面積。
m3は「立方m」で、体積。
m4は何?

4次元では、球の表面積と体積にπ2が出てくるのが不思議。
2次元と3次元では、πなのに。

45 :132人目の素数さん :2000/09/20(水) 11:51

33が用いた「m」は半径Rと同様の文字です。>44
44が用いた「m」は単位のメートルです。>33

46 :33 :2000/09/20(水) 20:06
41のいうような方法もありましたね。球の表面の4分の1をはがして
大円に切り貼りすると多少強引だけどぴったりっていうようなのが

>>44
>m4は何?
31の意味では多分単位だからそのまま読めばメートルの四乗でいいんじゃないの?
あと、指数を表すときは2乗ならm^2のように^を使ってください。その方が分かり易いです。

>4次元では、球の表面積と体積にπ2が出てくるのが不思議。

積分をちゃんと計算してみればわかります。n=0@`1のところの違いが利いていて
その後も偶数次のところでπの次数が上がることがわかります。

47 :知っ多価さん :2000/09/20(水) 21:09
>>98
>e^iπ はタカで、−1でもあり、e^2πn(nは整数)でもあるの。
>だからといって−1=e^2πnではないの。

e^iπ = -1
e^2πn = 1

一価です。

48 :知っ多価さん :2000/09/20(水) 21:10
すれ間違えた。ゴメ。

49 ::2000/09/25(月) 09:36
寒い駄洒落の上に、すれ違いか。

50 :132人目の素数さん:2000/11/13(月) 13:35
円盤の半径=ルート(球の半径の2乗−円盤と球の中心とのキョリの2乗)
球をx^2+y^2+z^2=r^2であらわすと、z=zで切れば半径^2=r^2-z^2の円となる。
高さがdzの円盤の体積=π(r^2-z^2)×dzだから、
これをzに関して-rからrまで積分すればよい。
∫^{R}_{0}∫^{π}_{0}∫^{2π}_{0}r^2sinθdrdθdφ
(dxdydz=r^2sinθdrdθdφ)
で良いんじゃないの?

51 :今井弘一:2000/11/13(月) 15:31
球の表面積の公式は下記ページに証明があります。

http://www.imai.gr.jp/english/mondai/kou/sekibun/no0012.html

52 :132人目の素数さん:2000/11/13(月) 21:46
>>50
コイツいまさら何逝ってるんだ?

53 :133人目の素数さん:2000/11/14(火) 04:27
>51

以前の他の人のレスをみて、話に合った書き込みをしてよ。
今更何言ってるの?
大体その程度のことでいちいち偉そうにページの宣伝するなよ。


54 :132人目の素数さん:2000/11/14(火) 09:00
中学生に説明するなら、
 (1) 半径 r の半球
 (2) 半径 r,高さ r の円柱
 (3) 半径 r,高さ r の円錐(逆さまに置く)
を並べて薄切りにするね。同じ高さで比べたときに、
(1)+(3)=(2) の関係が成り立つことがすぐわかる。


55 :132人目の素数さん:2000/11/16(木) 07:16
>>54
それが成り立ったからって意味なくな〜い?
円錐の体積求める時に積分使わなきゃならないんだしさ。

56 :132人目の素数さん:2000/11/16(木) 10:51
>>55
じゃあなんで、中学で球の表面積とか円錐の体積とか習うんだよ。

57 :132人目の素数さん:2000/11/16(木) 21:54
V = (4/3)πr^3
これが球の体積をもとめる公式ね。
(3分の4パイ かける 半径の3乗)
ここから表面積の公式は微分すれば出せる。

わかりやすく言えば、
V(r)を半径rの球の体積として、
縦軸にV(体積)、横軸にr(半径)を
とってグラフにあらわしてみんしゃい。
当然、右上がりのグラフになるよね?
で、微分したV'(r)は、グラフで言うといわば、
その点の(瞬間の)傾きをあらわすんだす。
つまり、半径rの時なら、rが1増えたときのVの増加量ね。
rがごく僅かな値だけ増加するなら、
体積は球の表面積だけ増加するでしょ?
というわけで、V'(r)は半径rの球の表面積になるというわけ。

V'(r)=4πr^2
というわけで、球の表面積の公式です。

58 :132人目の素数さん:2000/11/17(金) 01:16
>>54
四角錐の体積が平行六面体の体積の1/6だ
ということを示すのは簡単だから、
円錐を四角錐分割(?)すれば、円錐の1/3は
中学生にも示せそう(ていうか、誤魔化せそう)だよ。

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