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関数の問題

1 :名無しさん@お腹いっぱい。 :2000/08/30(水) 22:28
次の問題を教えてください。
領域 x<y  x@`yは実数 において次の性質を満たすf(x@`y)を求めよ
1 fはつねに整数を値としてとる。
2 x<y<zがいずれも実数のときf(x@`y)@`f(y@`z)@`f(z@`x)の値が
  3つとも同じになることはない。



2 :名無しさん@お腹いっぱい。 :2000/08/30(水) 23:07
f(z@`x)は定義できるの?

3 :1 :2000/08/31(木) 12:58
>2
すいません f(x@`z)の間違いです。


4 :名無しさん@お腹いっぱい。 :2000/09/01(金) 13:47
>3つとも同じになることはない。
って「3つのうち少なくとも1つは異なる」って意味だよね。

5 :4 :2000/09/01(金) 15:22
f(x@`y)=[log_2(y-x)]
とか、どう?
([x]は、xを超えない最大の整数
log_2は、底が2の対数)

6 :がんばる君 :2000/10/01(日) 11:57
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7 :ハロー、コムスビ :2000/10/05(木) 02:00
[g(x)]のようにガウス関数を使おうとすると、
([g(x)]は、g(x)を超えない最大の整数 )
lim|g(a)-g(b)|>1@`{a→bのとき}が少なくとも成り立つg(x)を探すことになるよね。
それって連続な関数じゃ不可能っすよ。

不連続関数を新しく定義するか、極限とかを考えるしかないんちゃう?
f(x@`y)=[lim{n(y-x)}]@`{n→∞}みたいな感じで・・・

8 :>5 :2000/10/05(木) 08:54
それだた 例えば x=0.1@`y=0.2@`z=0.3 のとき
f(x@`y)=f(y@`z)=f(x@`z)
になってしまうような。。。。

9 :> :2000/10/05(木) 09:06
こんなのダメ?

整数と有理数には、全単射があるので、
1のf:RxR->整数のかわりに
g:RxR->有理数を考える

g(x@`y)を定義を次のようにする。
g(x@`y) = q qはx<q<y満たす有理数をなんか持ってくる
 (これは確かに存在する)

勝手な x<y<zについて
g(x@`y) は g(y@`z)確かに等しくない

で、この g(x@`y)を整数−有理数の全単射で、整数へ変換した
結果を f(x@`y)とする


ちゃんとした式で書けないからダメかな。。。
”なんかもってくる”あたりがインチキくさい気もするし。。。


10 :5>8 :2000/10/05(木) 10:36
f(x@`y)=[log_2(0.1)]
f(y@`z)=[log_2(0.1)]
f(x@`z)=[log_2(0.2)]=[log_2(0.1)+log_2(2)]=[log_2(0.1)]+1
じゃないのか?


11 :>10 :2000/10/05(木) 11:10
log_2(0.2) って マイナス だから
log_2(0.2) = 1 + V のときに (V<-1)
[1+V] = [V]+1 とはできないような。。。



12 :> :2000/10/05(木) 11:15
11は勘違いです。ごめんんさい。。。

13 :ハロー、コムスビ :2000/10/05(木) 13:59
>9
そのとおりやと思います。
g(x@`y)を整数−有理数の全単射で、整数へ変換した
結果を f(x@`y)とする
とりあえずそういう整数-有理数の全単射関数が必要やと思います。




14 :132人目の素数さん :2000/10/05(木) 14:34
ちょっと前から気になっていたことなんですが
「全写」のことを「上への写像」ともいいますが、この「上」って何ですか?
「下」じゃいけないんでしょうか?

英語の直訳でしょうか?(例えばupperとか…)、だとしたらその意味は何なん
でしょうか?

教えてください。

15 :名無しさん@お腹いっぱい。 :2000/10/05(木) 17:59
単射: one to one
全射: onto
ですから、集合AからBへの写像 f が全射であるといったとき、
BがそっくりAにもれなく乗っているってイメージでしょうかねえ。

16 :132人目の素数さん :2000/10/05(木) 18:50
>15
ありがとうです。
なるほどぉ。
上に乗ってる、の「On」から「上」が出てきたみたいですね。
イメージが湧きました。


17 :132人目の素数さん :2000/10/05(木) 20:55
5の答えが一番すっきりして分かりやすいような気がするけど…
f(x@`y)=[log_2(y-x)]

実数x<y<zにおいて
(y-x)と(z-y)のうちのどちらかは必ず(z-x)の(1/2)倍以下になるから
log_2(y-x) と log_2(z-y) のどっちかは必ず
(log_2(z-x))-1 以下になるってことでしょ?

きれいじゃん。問題あんの?

18 :>13 :2000/10/05(木) 21:06
>とりあえずそういう整数-有理数の全単射関数が必要やと思います

h:N X N -> N なる全単射は用意できます。
h:(x@`y) = (x+y-2)(x+y-1)/2 + x

この hは
正の有理数 (二つの自然数で表せる)からNへの単射
であるともいえます。

一方で
N から 正の有理数への単射があることは明らかですね。
( 恒等関数でいい)

そうするとカントールの定理から
正の有理数全体)の自然数の
間に全単射があるこになります。

この全単射を p:正有理数->自然数
と書きましょう

このpを容易に 有利数全体から整数への全単射に拡張できます。

P:Q->N
P(x) = p(x) (x>0)
0 (x=0)
-p(x) (x<0)

とすれば、Pは全単射。。 

19 :17 :2000/10/05(木) 22:03
>7
>lim|g(a)-g(b)|>1@`{a→bのとき}が少なくとも成り立つg(x)を探すことになるよね。

f(x@`y)とf(y@`z)がことなるようなfを求めるためにはその考え方になるだろうけど、
ここではf(x@`y)=f(y@`z)=f(x@`z) になりさえしなければいいんじゃないの?

とか言いつつ、
f(x@`y)とf(y@`z)が必ずことなるようなfを求める旅も面白そうですね。

20 :9. :2000/10/05(木) 23:07
>f(x@`y)とf(y@`z)が必ずことなるようなfを求める旅も面白そうですね。

9はそれを満たしてるけど、、ちょっとウサンくさくて
だめかなという気もしてます。




21 :132人目の素数さん:2000/12/10(日) 23:46
上に参りま〜〜す

22 :132人目の素数さん:2001/02/26(月) 00:46


23 :132人目の素数さん:2001/02/26(月) 01:48


24 :132人目の素数さん:2001/03/02(金) 02:56
さげ

25 :132人目の素数さん:2001/03/04(日) 13:50
sage

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