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複素関数論スレッド

1 :132人目の素数さん:2001/08/07(火) 22:25
微積分の時間にテーラー展開を習った後で指数関数expxの展開式の中のxのかわりにixとおいてみたらコスエッキスプラス愛サインエッキスになったのには驚きました。
独立変数を実数から複素数に広げたら関数はどんなふうに見えるのだろうかという疑問はその後複素関数論を学ぶことによって氷解しました。目から鱗が落ちるとはこのとこを言うのでしょう。
みなさんも複素関数論を勉強したら、こんなことに感動した!というのはありますか?

364 :132人目の素数さん:02/01/28 18:29
答えは 0 です。
これはひっかけ。
1と-1での留数もとめて消しあうのを確かめるまでもない。
半径を2から∞に近づけたとき値が変化せず 0 にいくから。

同様にして一般に
有理関数で分母の次数が分子の次数+2以上なら
全部の極の外側をまわる積分は0

365 : :02/01/28 18:39
>>364
どうも、ありがとうございます。
助かりました。


366 :132人目の素数さん:02/01/28 18:41
>>107-109
直感的イメージをあてにするなら,
どんな形の格子(回路)
でも成り立ちそうな気はする。

367 :132人目の素数さん:02/01/28 20:40
>>366
その予想面白そうだが、平面の格子に限るか?あるいは
その制限もはずすか?349からあとを読んで、明確な問題
にされたし。
現在、平面でわかっているのは、一つずらしが成功する
場合、つまりもとの4角、また3角で平面を埋め尽くす
ものとハシゴと一直線。ダメなことがわかっているのは
サイクルのない型。6角はわかっていない。

368 :132人目の素数さん:02/01/28 20:52
ラプラス方程式相当品が
キルヒホッフの法則か

369 :132人目の素数さん:02/01/30 20:48
複素関数やってると心が落ち着く。
代数、解析はどうもなあー
なぜかは解らんが。

370 :132人目の素数さん:02/01/31 01:48
>>369
複素関数も一応は解析ではないですか?
関数解析のような「抽象的」な解析は嫌いだ、ということ?

371 :132人目の素数さん:02/01/31 10:59
368はその感覚で解析数論の勉強やるといい。
そのうち代数にも親しみもてるように
なると思う。

372 :371訂正:02/01/31 11:00
369は

373 :132人目の素数さん:02/02/01 20:35
無限のグラフを考える。
各リンクは一定の電気抵抗であり,
各ノードは電極でないとする。
(流入する電流の総和はゼロ)
このグラフに定常電流が流れているとすると
各ノードでの電位は定数であるか
または電位は上にも下にも有界でない。


374 :132人目の素数さん:02/02/01 20:59
ってのが証明できたらいいのにねぇ

375 :132人目の素数さん:02/02/01 21:25
>>373
354 に反例をかいてあるのだけど、別の問題もできたのでちょっと
丁寧に書いておこう。常に分かれている木は反例となる。簡単のた
め典型的2分木のときてっぺんを 1 として左 1/2 右 3/2 として
左はあと自然に半分づつとして、右は増えていく方だから均等に増やして
いけばよい。

問題:有限分岐の木で反例となる条件をグラフの性質として述べよ。

端点は切り取ることができるので、端点のないものだけ考えてよい。
また一本道になればそこは一定あるいは増加としなければならない。
有限分岐の木でどこから先でもどこか分岐していても、一本道の長
さでどんどん長いものがでてくるようなものは一定値しかもてない。
という状態なのでこれ面白いかもしれない。

376 :132人目の素数さん:02/02/01 21:48
>>373の最も単純な反例は
1次元グラフで抵抗の総和が
どちらか方向に有限なときだ。
2進木の反例も束ねると
これに帰着する。

377 :132人目の素数さん:02/02/02 07:01
>>376
ちょっと意味がつかめないのですが?
373の設定はノード間の抵抗が一定なので、どちらかに一定の
場合というのはノードの個数が有限ということである。375に
あるように端点はとなりと同電位だから結局、その部分は反例
意味がないので、どうして反例ができているのか疑問です。

378 :377:02/02/02 08:40
>>376
「抵抗の総和が有限」という意味は回路としての意味なのでしょうね。
それだと多少理解できますが、それでも無限に延びているとき、ハッキリ
反例となるような流れかたがあるとき初めて「抵抗の総和が有限」という
ことがわかるのではないでしょうか?
ともかく「抵抗の総和が有限」という意味を明確にされたし。

379 :376:02/02/02 13:57
抵抗の総和が有限の例:
一次元だから各リンクに整数で番号づける。
リンクnの抵抗値がたとえば 2^(-|n|)。

グラフが無限2進木状で抵抗値一定のとき
すべての枝分かれを束ねるとこれと同じこと。

380 :379:02/02/02 14:00
>>373の「一定の電気抵抗」というのは,
全部が同じ値という意味ではなく,
各リンクに固有のそれぞれの抵抗値という意味にとる。

381 :132人目の素数さん:02/02/02 16:24
>>379
状況がわかりました。
一次元といわれているのは直線のことですね。

382 :福田和也:02/02/05 05:44
誰か、コーシーの積分定理の証明のヒントをおしえれ。気になって眠れん。


383 :福田和也:02/02/05 05:46
あげ

384 :>>382:02/02/05 05:48
閉曲線が三角形の場合は結構簡単だった。
それともストークスの定理使う?

385 :福田和也:02/02/05 06:01
いや、一般的な場合がしりたいっす。ヒントだけでいいんで。ぷリー図。
>>ストークスの定理
あ、それか。グリーンの定理と勘違いして、
解析の教科書見て詰まってたーよ。

386 :132人目の素数さん:02/02/05 06:29
>>385
閉曲線を閉折れ線でうまく近似すると
閉曲線上の線積分の値が閉折れ線上の線積分の値に幾らでも近くなる。
だから閉折れ線に関してコーシーの積分定理が証明できればいい。
閉折れ線は三角形分割できるから
三角形に関してコーシーの積分定理が証明できればいい。

387 :132人目の素数さん:02/02/10 18:40
実級数が条件収束(つまり収束するが絶対収束しない)のとき、項を並べ替えると
任意の実数値に収束させることができる、という定理があるよね。
複素級数が条件収束のときはどうなんだろう?
たとえば項の実部を取り出した級数が絶対収束で虚部を取り出した級数が条件収束なら、
もとの級数を並べ替えて収束させることができるの値の集合は垂直線になる。
奇数番目の項が実数、偶数番目の項が純虚数で、奇数番目だけの級数も偶数番目だけの
級数もともに条件収束なら、並べ替えて収束させることのできる値は全平面になる。
一般には何が言えるんだろう?

388 :132人目の素数さん:02/02/10 20:10
>>387
実数部と虚数部にわけ、一方が絶対収束の場合は、実数の結果
を適用すれば結果はわかる。
問題は両方条件収束の場合だな。
これいい問題だぞ。両方条件収束でも、部分列は絶対収束になって
る場合があるからどこにでも収束するとはいえないからな。
これは長引く予感あり。

389 :132人目の素数さん:02/02/10 20:34
a[2n-1]=1/n
a[2n]=i/n

このようにあらゆる複素数値に近づけられる例もある。

390 :389訂正:02/02/10 20:53
a[2n-1]=(-1)^n/n
a[2n]=i(-1)^n/n

391 :報告:02/02/13 20:37
今月の数学セミナーのP.101の「お詫びと訂正」を見てみれ〜。
2chのことが載ってるぞ〜。

山田氏曰く「その解答の方が私の解答よりエレガントでした.インターネットの力はすごいですね」

392 :72:02/02/13 20:59
>奇数番目の項が実数、偶数番目の項が純虚数で、奇数番目だけの級数も偶数番目だけの
>級数もともに条件収束なら、並べ替えて収束させることのできる値は全平面になる。

??? xy平面じゃない?

393 :392:02/02/13 21:08
72ってのはまちがいです。
で、>>392は私の勘違いでした。すみませんでした。

394 :132人目の素数さん:02/02/13 23:06
「インターネットの力はすごいですね」
ってなんか痛くないか?

395 : dd:02/02/18 19:46
調和関数の話題が出てたのでEdward Nelson の有名な論文を貼っておきます
これであなたも「数学の論文を1本読み通した!」 と自慢できます。
打ち間違いがありますが、敢えて直しません。コピペして恥をかくのはあなたです。


       A PROOF OF LIOUVELLE'S THEOREM
              EDWARD NELSON
 Consider a bounded harmonic function on Euclidean space.
 Since it is harmonic, its value at any point is its avarage over any sphere,
and hense over any ball with the point as center.
 Given two points, choose two balls with the given points as centers and of
equal radius.
 If the radius is large enough, the two balls will coincide except for an
arbitrarily small proportion of their volume.
 Since the function is bounded, the averages of it over the two balls are
arbitarily close, and so the function assumes the same value at any two
points.
 Thus a bounded harmonic function on Euclidean space is a constant.

Proc.A.M.S.12(1961)995

まさに芸術品!



396 : 395:02/02/21 18:06
上の証明を利用すると非負値調和関数は定数であることも証明できます。


397 :132人目の素数さん:02/02/21 18:11
できます.が,離散バージョンには,通用しません.

398 :132人目の素数さん:02/03/01 17:58
複素解析のテスト終わりました。
また来年のお楽しみ

399 :132人目の素数さん:02/03/12 03:50
みんな複素関数論のお世話になってるくせに、感謝しない。
いわば、空気みたいなものだな。

400 :132人目の素数さん:02/03/12 22:39
400あいてた。げと。

401 :132人目の素数さん:02/03/14 00:10
>>399ガイイコトイッタ

402 :132人目の素数さん:02/03/15 02:51
399ってもしかして東...以下自粛

403 : :02/03/15 09:29
コーシーの閉曲線定理は、はたして、閉曲線がいたるところ微分不可能な
曲線(フラクタルなど)であってもなりたつか?

404 :132人目の素数さん:02/03/15 09:34
コーシーの閉曲線定理って積分定理のこと(違ったらスマソ)?
だったら成り立つと思う。適当な折れ線に対してホモトープだから。

405 :132人目の素数さん:02/03/15 16:05
>>403
有界変動な曲線でないと
そのままでは線積分が定義できないが
フラクタルの場合,生成規則の極限として
定義することができる。
極限だから
等号はそのまま成り立つ



406 :132人目の素数さん:02/03/19 00:00
複素関数って大学一年でやりますか?


407 :132人目の素数さん:02/03/19 00:10
普通はやらないとおもわれぇ。

408 :132人目の素数さん:02/03/19 01:37
普通は2回生からかと。

409 :132人目の素数さん:02/03/19 03:25
複素関数論の演習書で、例題が豊富で、問題の解答もかなりていねい、
というのはありますか?

410 :132人目の素数さん:02/04/04 20:40
おちてるな、、、あげ

411 :132人目の素数さん:02/04/04 21:15
どなたか、パワーアップ複素関数 渡邊 共立出版
を使ってる方いませんでしょうか?
評判はどうなんでしょうか?
これがテキストなんですが、お勧めの演習書などありませんでしょうか?
電気系の学生です。

なんか、見た感じ字の感じとかがサイエンス社の黄緑の微積の本に似てる。

412 :132人目の素数さん:02/04/06 02:19
>>411
演習書ではないけど
アールフォルス「複素解析」現代数学社
はお勧め.
特に第5章の「級数展開と無限積展開」は優れてると思う.
工学部向けの教科書だと無限積展開は省略されているものがほとんどだから、
手にとってみると良いですよ.
ここがわかるとゼータ関数とカシミール効果の不思議な関係も
興味深く感じることができるようになります.

413 :132人目の素数さん:02/04/06 02:58
>ここがわかるとゼータ関数とカシミール効果の不思議な関係も
>興味深く感じることができるようになります.
ワラタ

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