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自然数のべき乗の和

1 :132人目の素数さん:02/03/08 21:14
a,b,cは自然数でa^2+b^2=c^2を満たすとします。
皆さんご存知のように、このような自然数(a,b,c)の組を求める式として
a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2 (m,nは自然数)
というのがあります。
同様にa^2+b^2+c^2=d^2を満たす自然数の組(a,b,c,d)は
a=m^2+n^2-l^2, b=2ml, c=2nl, d=m^2+n^2+l^2 (l,m,nは自然数)
と表せます。(既約とは限らないですが)

ところでa^3+b^3+c^3=d^3を満たす自然数(整数でもいいけど一応)の組
(a,b,c,d)を表す式はないものでしょうか?
高校の時から考えてたのですがうまくいかないので
何かいいアイデアがあったら教えて下さい。



2 :132人目の素数さん:02/03/08 21:25
a=b=-c=d
なんちゃって。

3 :132人目の素数さん:02/03/08 21:40
>>1
>ところでa^3+b^3+c^3=d^3を満たす自然数(整数でもいいけど一応)の組

整数でもいいけどって・・・。あんた数学には向いてないよ。

4 ::02/03/08 21:40
>>2
それはちょっと...(^^;
とりあえずa,b,cは正整数でお願いします。



5 ::02/03/08 21:44
>>3
a,b,cの中に符号が違うものがあり
かつ|a|,|b|,|c|全てが等しくなることはないという可能性も
考えられるので。
実例は未確認ですけどね。



6 :132人目の素数さん:02/03/08 21:46
>>5
整数でもいいけどって言った瞬間>>2のような自明な解がでてくるって
気付かんかったのかね?

7 ::02/03/08 21:51
>>6
すみません。すっかり忘れてました。
とりあえずa,b,cは全て正整数か、
または>>5の条件を満たすものとして本題に入りましょう。



8 :132人目の素数さん:02/03/08 21:52
>皆さんご存知のように、このような自然数(a,b,c)の組を求める式として
>a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2 (m,nは自然数)
>というのがあります。

すべての組を表すんじゃないよね?

9 :2:02/03/08 21:54
すまん。俺のせいで話が変な方向にいってしまった。

10 :132人目の素数さん:02/03/08 21:55
「非自明な」整数解とかしないと
しょうもないケチがつくと言う良い例ですね。

11 :132人目の素数さん:02/03/08 21:56
ネタの一つもつかずにかわいそうなことになってないか?

12 :132人目の素数さん:02/03/08 21:58
>>11
ネタはもういいよ。。

13 :132人目の素数さん:02/03/08 21:59
マトモな答えがなかなか浮かばない時はそうやってお茶を濁すしかないんだから仕方ないやん。

14 :132人目の素数さん:02/03/08 22:01
そうよお〜
もうみんなアフォなレスしながらも
ブラウザの向こうでは必死こいて計算してるんだからあ

15 :132人目の素数さん:02/03/08 22:04
俺だって,ネタばっかりやってるわけじゃない.
>高校の時から考えてたのですがうまくいかないので
って言ってるわりに,なかなか問題設定が決まらないから.
はよしてー>>1

16 ::02/03/08 22:16
>>15
>>7は問題設定として不十分でしたか?
とりあえず
命題※:a,b,c,dがa^3+b^3+c^3=d^3を満たす。
条件(1):a,b,c,dは正整数
条件(2):a,b,cは整数でa>0,b>0,c<0,|a|≠|c|,|b|≠|c|
それぞれの条件の元で命題※が成り立つa,b,c,dを表せる式を求める。

ということでよろしいでしょうか。
ちなみに全ての場合を尽くしてなくても構いません。



17 :132人目の素数さん:02/03/08 22:25
>皆さんご存知のように、このような自然数(a,b,c)の組を求める式として
>a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2 (m,nは自然数)
>というのがあります。

定数倍すれ

18 :132人目の素数さん:02/03/08 22:54
やっと書けるようになった.

>>16
ものすごく幅がひろい(条件がゆるい)条件だけど考えてみる.
でも,一つ解が見つかって,それを(A,B,C,D)とすると,
「a=kA,b=kB,c=kB,d=kD」っていっても正解だよね.

19 ::02/03/08 23:13
>>18
げぴっ!!
確かに(1):(k,6k,8k,9k)とか(2):(9k,10k,-k,12k)とかありますね。
んじゃそれは第1段ということで、
更にカバーする範囲の広い式を考えていきませう。



20 : ◆GaussrLU :02/03/08 23:17
a^3 + b^3 + c^3 = d^3
を満たす、非自明な整数解 a,b,c,d を求めよ。
でよいのではないか?

場合分けをして整理すると、
i) d > 0 の場合.
※ a, b, c が共に負数というのはありえないから
イ) a, b < 0, c > 0 の場合.
c^3 = (-a)^3 + (-b)^3 + d^3

ロ) a < 0, b, c > 0 の場合.
b^3 + c^3 = (-a)^3 + d^3

ii) d < 0 の場合.
※ a, b, c が共に正数というのはありえないから
ハ) a, b > 0, c < 0 の場合.
a^3 + b^3 + (-d)^3 = (-c)^3

ト) a > 0, b, c < 0 の場合.
a^3 + (-d)^3 = (-b)^3 + (-c)^3

これより、
1) a^3 + b^3 + c^3 = d^3
2) a^3 + b^3 = c^3 + d^3
を満たす非自明な正整数解 a, b, c, d を求めよ。
がスッキリしてよいと思う。

ちなみに 2) については、ラマヌジャンに聞いたところ、
1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3
となって、これがこのタイプの最小解だそうだ。参考にしてくれ。


21 :132人目の素数さん:02/03/08 23:18
>げぴっ!!
萌え〜

22 : ◆GaussrLU :02/03/08 23:27
かぶった。スマソ。
SCSI ケーブルで逝ってきます。

ところで、一つの解の整数倍は同じとみなしてよいのでは?

23 ::02/03/08 23:28
>>20
ありがとうございます。
ちなみに本題は
「そのような条件を満たす正整数解a,b,c,dを生成する一般式を求める」
というわけなのでよろしく>ALL



24 : :02/03/08 23:32
              

25 :132人目の素数さん:02/03/08 23:53
>そのような条件を満たす正整数解a,b,c,dを生成する一般式を求める
”=”で結んで,四則演算しか使わないとかしたほうがいいよね?
計算機プログラムみたいな記述(検索アルゴリズムとか)まで許すと,なんでもありありになりそうだし.

26 :132人目の素数さん:02/03/09 00:29
質問者の分際で偉そうにしてんじゃねぇよ本来は単発質問スレで削除依頼なんだぞそこら辺分かってんのかこの野郎


等と言ってみる。
…まぁディオファントス方程式の一般解を求めるスレとして利用するか

27 ::02/03/09 05:44
自分でやってみた途中経過。
正整数m,nが
18m^3+9m^2+75m=25n^2+35n
を満たすとき
(3m-3)^3+(3m+4)^3+(5n+3)^3=(5n+4)^3
が成り立つことが判明しました。
nについて解くと
n=(1/10)(-7+√(72m^3+36m^2+300m+49))
この平方根の部分を、mに適当な式を代入して有理化できるか奮闘中。

ちなみに実例としては
(m,n)=(2,3)(5,10)があります。



28 :27:02/03/09 06:39
式をよく見たら全く意味のないことをやってるっぽい...
せっかく実際の正整数解調べて考えたのに。あbone

今日はもう安らかに寝ます。お休み。


29 :132人目の素数さん:02/03/09 17:57
>質問者の分際で偉そうにしてんじゃねぇよ
どのへんが偉そうなんだ?

30 :132人目の素数さん:02/03/09 18:43
ノリだ。

31 :132人目の素数さん:02/03/30 03:08


32 :132人目の素数さん:02/04/01 02:13
一般のディオファントス方程式に対しても整数解が無数に存在する時は、
それら全ての解を>>1のようにパラメータ表示出来るのだろうか?

33 :132人目の素数さん:02/04/01 17:45
>>32
x^2-2y^2=1の解は
x+y√2=(1+√2)^2nだが?

34 :     :02/04/02 11:52
x^a + y^b = z^c
において、a,b,c>=2 ただし、a=b=c=2 ではないとする。
x,y,z>0 であるとき、等式を満たす(x,y,z,a,b,c) の組をなるべく
沢山見つけよ。

35 :132人目の素数さん:02/04/02 12:18
>>34
条件少な過ぎない?

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