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次のことを証明せよ

1 :132人目の素数さん:02/02/21 19:08
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上のような3行3列の行列がある。
この中から
@任意に一つ好きな数字を選び、○をつける。
Aその数字の属する行と列の数字に全てXをつける。
BXも○もついていない残りの数字から、また任意に数字を一つ選び、○をつける。
Cまたその数字の属する行と列の数字にXをつける。(すでにXがついている数字はそのまま)
D残った一つの数字に○をつける。

○のついた数字を合計すると必ず15になる。
なぜか。

2 :にげっと:02/02/21 19:10
マリックのやつだーーーーー!!!!!!

3 :132人目の素数さん:02/02/21 19:21
全部の場合についてやってみて15になることを確認したらそれで証明終わりじゃん

4 :132人目の素数さん:02/02/21 19:24
n-4 n-3 n-2
n-1  n  n+1
n+2 n+3 n+4

この行列を考えるとする.
ルールの性格上例えば最初に左の列を選んだとすると,その次に丸がつく数字は
真ん中か右の列である.また3番目に選ばれるのは1番目,2番目で選んでいない
列に属する数である.さらに,同様にして同じ行の数は選ばれない.
以上のことから,この3数の合計は,同じ行,同じ列から数字を取らない条件のもとにおいて
必ず3nとなる.すなわち,この行列の成分の合計は9nであることより,3数の合計は
その3分の1となる.

5 :132人目の素数さん:02/02/21 19:52
>以上のことから,この3数の合計は,同じ行,同じ列から数字を取らない条件のもとにおいて
>必ず3nとなる.

それを証明しろってことじゃないの?
結局一つ一つの場合について調べてるにすぎないじゃん

6 :132人目の素数さん:02/02/21 20:00
>>5
オカリー発見

7 :132人目の素数さん:02/02/21 20:10
>>3>>5
はぁ?取り方は3!しかないんだから全通りやっても問題ないだろ.
それともそれだと証明にならないのか?
自分は
>全部の場合についてやってみて15になることを確認したらそれで証明終わりじゃん
とか言ってるくせになんでダメなんだ?厨房は早く死ねよ

8 :132人目の素数さん:02/02/21 20:20
単発質問スレでマジレスした>>4の負け。

9 ::02/02/21 21:46
おれは5じゃないよ

10 :132人目の素数さん:02/02/21 21:58
とにかく単発質問スレだからもう続けちゃ駄目。
こういうのは「わからない問題は〜」スレで聞け

11 :sage:02/02/21 21:59
とりあえず記念に15まで何か書け!

12 :132人目の素数さん:02/02/21 22:07
\|+1|+2|+3|
------------
+0|1|2|3|
------------
+3|4|5|6|
------------
+6|7|8|9|
------------

フォロー(のつもり)。異なる横列について1回ずつ足されるので、
1+2+3=6
縦も同様にして、0+3+6=9
よって和は15.QED

13 :10:02/02/22 02:23
もう話題は終ったよね?単発質問スレだから削除対象ですので以後放置をよろしくお願いします

14 :14:02/02/22 03:29
辺の長さN、D次元に一般化。
格子点(k1,k2,…,kD)にある数をZ(k1,k2,…,kD)とする。

q(d,k)=(k-1) * N^(d-1)とおくと
【1】ΣΣq = (1+2+…+(N-1)) * (1+N+N^2…+N^(D-1))
【2】Z(k1,k2,…,kD) = Σ[d]q + 1

○の数はN^(D-2)個なので、
○をつけた数の総和、Σ[kn≠km]Z
= N^(D-2) * (ΣΣq + Σ[k]1)
= N^(D-2) * (ΣΣq + N)
= N^(D-2) * { (1+2+…+N-1) * (1+N+N^2…+N^(D-1)) + N}

特に3x3のとき、
Σ[kn≠km]Z = 1*{3*(1+3) + 3} = 15
3x3x3のとき、
Σ[kn≠km]Z = 3*(3*(1+3+9)+3) = 126

15 :132人目の素数さん:02/02/22 11:26
これを応用すれば1〜25でも可能ってこと?

16 :132人目の素数さん:02/02/22 16:28
そうそう。立体でも4次元でも。

17 :132人目の素数さん:02/02/22 16:31
帰納的にも証明可能だけどね。
ある1パターンで合計をとる。
関係が壊れないように○×と○×の2対を交換する
交換には必ずかたっぽが+k^d、かたっぽが-k^dとなるので合計は変わらない

18 :132人目の素数さん:02/02/22 16:37
全パターンを任意パターンからの交換で形成できるかはめんどいから略すけどw

19 :132人目の素数さん:02/03/17 05:15
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