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任意の無理数はよい乱数を与えるのか?

1 :132人目の素数さん:02/01/05 17:14
「√2の小数第1000000桁目が5である」という
ことがあっている確率は1/10なんでしょうか?
それとも各数ごとに出現確率はことなる?

10進に限らず2進でも3進でも等確率な気がします。
これは証明は可能なんでしょうか?

2 :132人目の素数さん:02/01/05 17:53
2

3 :菊川玲:02/01/05 18:13
3

4 :132人目の素数さん:02/01/05 19:06
連分数展開をまず考えようぜ。

それから数字の出現確率が一様かどうかだけで、よい乱数として扱えるかどうか決めるのは無理がある。
色々な検定をやってみるべし。とりあえず2次元度数分布ぐらいは確かめないとな。まんこっこ。

5 :132人目の素数さん:02/01/05 19:12
偶数番目の桁は0,奇数版目の桁は「√2の対応する桁とすれば0が多い無理数になります。

6 :132人目の素数さん:02/01/05 20:00
つまり「任意の無理数」じゃダメということね。
当たり前だね。
0.101001000100001000001000000010・・・も無理数

7 :132人目の素数さん:02/01/05 20:42
√2の小数点以下5万桁の数の出現回数
順に0,1,2,・・・の出現回数を表す。
偶数番目2459,2553,2492,2434,2561,2450,2491,2506,2535,2519
奇数番目2472,2512,2483,2543,2582,2519,2482,2484,2436,2487
√2の小数点以下10万桁の数の出現回数
偶数番目4956,5008,4936,5132,5054,5026,5027,4975,4912,4974
奇数番目5003,5099,4940,4925,5046,4976,4912,5033,5095,4971
√2の小数点以下20万桁の数の出現回数
偶数番目10025,10011,10018, 9848,10127, 9986, 9839, 9951,10074,10121
奇数番目 9805, 9964, 9998,10007,10126,10095,10106,10041, 9968, 9890

8 :132人目の素数さん:02/01/05 20:54
n進法で表した時少なくとも2種類の数字が無限回現れ任意のkについて
ある数字がk回以上続けて現れるならその数は無理数。

9 :132人目の素数さん:02/01/05 21:04
任意の無理数はだめ。2次無理数だとどうなるでしょうかね。
f(i,n)で、√2の小数点第n桁までにiが現れる回数を表す。
0<=1<=9なら、lim(n→∞)f(n,i)=1/10か。

10 :132人目の素数さん:02/01/05 21:21
>4 乱数と出現比率は別に考えないといけないんですね。一緒にしてました。
>5>7 0多いですか?
>6 0.101001000100001000001000000010、気づきませんでした。
狭めて次のタイプの無理数なら成り立ちませんか?
「自然数、ルート、四則演算、π、eを有限回使うことで
書ける無理数は何進数表示でも各数の出現比率は等しい。」

11 :親切な人:02/01/05 21:27

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12 :132人目の素数さん:02/01/05 21:35
とりあえずπ、eと代数的無理数は分けたほうがいいのでは?>>10

13 :1:02/01/06 06:51
>>12 分けてみました。

1. 2次無理数
2. 自然数、ルート、四則演算
3. 代数的無理数
4. 代数的無理数、π、e
5. さらに大きな集合で成り立つか?
1〜5の反例、証明がわかったら教えてください。

14 :132人目の素数さん:02/01/06 10:04
A={x∈無理数| あるnに対しxのn進展開の各数の出現頻度が等しい}
B={x∈無理数|任意のnに対しxのn進展開の各数の出現頻度が等しい}
としたときまずA=Bなのかわからない。
1が言ってることはA⊃{二次無理数}やB⊃{二次無理数}などと同じ。

15 :132人目の素数さん:02/01/06 10:31
>14
A=Bなわけない。
2進法で小数点以下01か10を繰り返してえられる無理数はAに入るが、
4進法では1か2しか現れないのでBには入らない。

16 :132人目の素数さん:02/01/06 11:37
√2∈Aかどうかも分ってないのに√2∈Bを予想しているわけか。

17 :132人目の素数さん:02/01/06 12:19
乱数の定義というのは、色々ある。
たぶん、1のいって意味は n 桁までの各文字の出現回数の
極限が 1/m となるというものだと思う(m進展開で)。
もう少し条件の強いものもふくめ、確率1で乱数となるの
だから、大抵乱数であるといってよい。これはすべての m
進展開共通でよい。
しかし、具体的な数についてはほとんど知られていない。
とくに、√2は有名な問題。

18 :132人目の素数さん:02/01/06 17:17
循環小数0.01234567890123456789...は各数字の出現頻度が一様だが、
乱数とは呼びたくない・・・

19 :  :02/01/07 01:09
「ほとんどすべての実数は」(つまり確率1でという意味)よい乱数を
与えるなどという定式化でないと、無理。乱数そのものの定義に置いて
コロモゴルフの公理を仮定すること。

20 :132人目の素数さん:02/01/07 02:36
B={x∈無理数|任意のnに対しxのn進展開の各数の出現頻度が等しい}
としたとき、√2、√3、√5、・・・∈Bはあってるの?

21 :132人目の素数さん:02/01/07 05:42
.__
| o | 牛丼を注文できません
| .U |
. ̄ ̄
来店中の吉野家は現在、利用できません。吉野家に技術的な問題が発
生しているか、注文の設定を調整する必要があります。

---------------------------------------------------------

次のことを試してください :

   ・ 回 [客に150円やる] ボタンをクリックするか、後でご来店ください。

   ・ 人がめちゃくちゃいっぱいで座れない場合は、店頭に「150円引き」
     の垂れ幕があるかどうかを確認してください。

   ・ 注文の設定を確認するには、[ツール] メニューの [注文 オプション]
     をクリックします。[接続] タブで [牛丼の設定] グループの [設定] ボタン、
     または [牛皿の設定] グループの [設定] ボタンをクリックしてください。
     設定情報は、店舗の管理者か、YDC (吉野家 ディー・アンド・シー) が
     提供する情報と一致する必要があります。

   ・ 店舗の管理者がつゆだくの設定を使用可能にしていれば、Yoshinoya
     Windows を使用して、隣の客を小1時間問い詰めたり、おめでたい4人
     の親子連れを見つけることができます。
     Windows でつゆだくって言いたいだけの客、また、150円引き如きで
     普段来てない吉野家に来た客を見つけたりするには、
     Q [そこでまたぶち切れるの検出] をクリックしてください。

   ・ 店舗によっては 128 ビットの殺伐とした雰囲気を要求するものがあり
     ます。[ヘルプ] メニューの [バージョン情報] をクリックして、インスト
     ールした雰囲気強度を確認してください。

   ・ 店員のマークで保護された「ねぎだく」を注文するには、セキュリティの
     設定でそのサポートがされているかどうかを確認してください。[ツール]
     メニューの [注文 オプション] をクリックします。[ねぎだく詳細設定]タブ
     で、[セキュリティ] までスクロールし、[大盛り を使用する]、[ギョク(玉子)
     を使用する]、[得意げな顔をしない]、および [女子供はすっこんでろ] チェ
     ック ボックスをオンにしてください。

   ・ 牛鮭定食を注文するには、[ド素人] ボタンをクリックしてください。


空席が見つからないか、諸刃の剣エラーです。
Yoshinoya Explorer

22 :132人目の素数さん:02/01/07 07:50
>>20
2 進展開したとき √2 について 0,1 の出現頻度が 1/2 というのが
解けていない有名な問題。たしかボレルの予想だと思った、自信なし。
だから、この辺は簡単そうだけど、何もわかってないことだらけだと
思う。

23 :132人目の素数さん:02/01/10 19:09
lim[N→∞]N^-1*納n<N]exp(2πih*exp(n√2*log10))=0が、
任意の自然数hに対して成り立つ事証明すれば十進法の場合はOKだけど…
メンドクサ

24 :132人目の素数さん:02/01/11 19:55
解答期待あげ

25 :132人目の素数さん:02/01/11 20:09
>>24
こんなところに簡単にかきこんで解ける問題じゃないよ!

26 :132人目の素数さん:02/01/13 02:24
lim[N→∞]N^-1*納n<N]exp(2πih*exp(nα*logm))=0となる
2以上の自然数mの数がいくつあるかでαを分類すれば解決なわけだが。

だれか手伝ってくれる人いません?

27 :132人目の素数さん:02/01/13 08:38
>>26
それで問題を易しくしたことになるの?オニイサン。

28 :132人目の素数さん:02/01/13 15:10
実数αを 0<=α<1の範囲で任意に選ぶ。選ぶ際には一様分布を用いて
ランダムに選択する。
この実数αは確率1で無理数となる。
この実数αのm進小数展開のn桁目がk (0<=k<m)になる確率は
1/mだというのは一様分布性から自明だと思うのだがいかがか。

恣意的に選択した実数αが上記の性質をみたすか否かは、αの
性質によるはず。

29 :132人目の素数さん:02/01/13 17:28
>>28
17に書いてあるとおり。19の Kolomogorff の名前がでてるが
最近は Kolomogorff-Solovay なんていわれててありとあらゆる
方法で定義できないというような感じで乱数の定義ってのが
されて、それ測度1。で、乱数かどうかわかるのはすぐわかる
けど、わかんないのはちぇんちぇんわかんないって感じなんしょ。

30 :132人目の素数さん:02/01/13 22:01
>>4
√2 の連分数展開は 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ... になるみたいですね。
(1+1/(2+1/(2+1/(2+...))) という意味)

√3 の連分数展開は 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2...
√5 の連分数展開は 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4...

ああ連分数ってきれい。

31 :132人目の素数さん:02/01/14 09:44
>>28
そもそも任意の実数を具体的に選ぶということが可能だろうか?
人間の記号が表現可能な概念は高々可算個でしょ?

32 :132人目の素数さん:02/01/14 19:54
>>31
「任意の実数を具体的に選ぶ」って、伺いますが、誰の任意で、
誰が選ぶんですか?

33 :132人目の素数さん:02/01/14 19:59
>>31

ほとんどいたるところで成り立つ、つまり、成り立たない無理数の集合の測度は0

と読みかえれば問題無いと思うけど

34 :132人目の素数さん:02/01/15 05:03
Kolomogorff-Solovay ってなに?
定義可能なのはたかだか可算とかっておちじゃないよね。

35 :132人目の素数さん:02/01/15 10:48
>>34
非常にまともな話です。Random real で検索されるとよいかと
思います。Solovay は集合論で有名な人でこれはその関係です。
Kolomogorff はもっと昔でもっと素朴です。

36 :石風:02/01/26 11:21
は〜い、質問!
そも「乱数」ってなんですか?

「一様性」と「独立性」の検定が通ったら、乱数と言えるのですか?


37 :132人目の素数さん:02/01/26 12:26
>>36
独立性ってどういうことですか?

38 :132人目の素数さん:02/01/27 00:00
>>37
前の桁と関連性がないということでは。
そういういみでは
0.123456789123456789…は乱数ではないと。

よし、√2においてk桁とk+1桁の数について関連性を証明して
このスレの終了としよう

39 :132人目の素数さん:02/01/27 13:19
>>38
その手のこと何か証明できたら、有名になれるよ。22を読んで
ごらん。

40 : :02/01/27 19:52
>>任意の無理数はよい乱数を与えるのか?

任意ということだから、良い乱数を与えないような無理数を
選べば、否定できるわけだな。良い乱数とはどういったもの
であるかを定義しなければ無理だす。二進数の少数以下の桁を
kが素数の冪ならk桁目を1とし、それ以外は0とすれば、
そのような数は無理数だ。だが、規則的な構造をしているので、
予測可能である。

41 :132人目の素数さん:02/01/27 20:49
40 のは否定の答えになっているが確率の極限の計算が簡単で
ない。簡単なのは例えば1のあらわれる平方数のところとすれ
ば無理数で、1の現れる確率は大体 1/n だから0に収束するか
ら乱数でない。

42 :132人目の素数さん:02/01/27 21:08
よいらんすう一様性標本を無限桁までととったときの一様性だったね

43 :42:02/01/27 21:10
ああっ…!ボタン押してしまいました。>>42はもはや日本人でないので無視してください

44 :132人目の素数さん:02/01/27 21:11
一様性はたいして問題ではないのではと。あ〜いいたかった。

45 :石風:02/01/27 21:25
37>>独立性ってどういうことですか?
要するに、それぞれの出現確率が独立ってことかな。




46 :132人目の素数さん:02/01/27 21:31
29に書いてありますが、01列のなす集合に積の測度を
いれる({0,1}で2分の1づつにしておいて)。
この部分集合で測度が1のもののうち、定義可能なもの
を十分沢山もってきて、その共通部分に入るものが乱数。
定義可能というのは、専門的な勉強をされている人が理解
されるところのようですね。この定義から一様性や√2が
乱数にならないことが導ける。

47 :132人目の素数さん:02/01/28 00:05
一様分布論や準モンテカルロ法勉強したいんだけど
どーしたらいいの?

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