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◆ わからない問題はここに書いてね 8 ◆

1 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 20:53

    , ― ノ)
 γ∞γ~  \   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 人w/ 从从) )  わからない問題はここに書いてね♪
  ヽ | | l  l |〃 過去スレと関連スレは >>2,数学記号の書き方例
  `wハ~ ーノ)   は >>3,業務連絡・その他は >>4 を読んでね♪
   / \`「   \_________________

【前スレ】
◆ わからない問題はここに書いてね 7 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592


2 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 20:53
【過去スレ】
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=967755172
◆ わからない問題はここに書いてね 2 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775
◆ わからない問題はここに書いてね 3 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042
◆ わからない問題はここに書いてね 4 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589
◆ わからない問題はここに書いてね 5 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=981372834
◆ わからない問題はここに書いてね 6 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985594205
◆ わからない問題はここに書いてね 7 ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592

【数学板要望スレ】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=981797747

【数学板削除依頼スレ】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=986384122 (レス削除)
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=974165593 (スレッド削除)


3 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 20:54
【掲示板での数学記号の書き方例】
●スカラー:a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ...
●ベクトル:x=[x[1],x[2],...], |x>, x↑, vector(x) (← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい.通常は(成分を横で書いても)縦ベクトルとして扱う.)
●行列(1成分表示):A[i,j], I[i,j]=δ_(ij)
●行列(全成分表示):A=[[A[1,1],A[2,1],...],[A[1,2],A[2,2],...],...]=[a1,a2,a3,...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],[0,0,1,...],...] (← ここでは列ごとに表示(縦ベクトルを横に並べる).行ごとに表示しても構わないが,統一して使わないと混同するので注意.)
●関数:f(x), f[x]
●数列:a(n), a[n], a_n
●足し算:a+b
●引き算:a-b
●掛け算:a*b, ab (← 通常"*"を使い,"x"は使わない.)
●割り算・分数:a/b, a/(b+c), a/(bc) (← 通常"/"を使い,"÷"は使わない.)
●複号:a±b=a士b, a干b (← "±"は「きごう」で変換可.他に漢字の"士""干"なども利用できる.)
●平方根:√(a+b)=(a+b)^(1/2) (← "√"は「るーと」で変換可.)
●指数・指数関数:a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) (← "^"を使う."exp"はeの指数.)
●対数・対数関数:log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) (← 底を省略する場合,"log"は常用対数,"ln"は自然対数.)
●三角比・三角関数:sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●内積・外積・スカラー3重積:a・b=(a,b), axb=[a,b], a・(bxc)=(axb)・c=[a,b,c]=det([a,b,c])
●行列式・トレース:|A|=det(A), tr(A)
●絶対値:|x|
●ガウス記号:[x] (← 関数の変数表示などと混同しないように注意.)
●共役複素数:z~
●階乗:n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ:P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk (← "Π"は「ぱい」で変換可.)
●微分・偏微分:y', dy/dx, ∂y/∂x (← "∂"は「きごう」で変換可.)
●ベクトル微分:∇f=grad(f), ∇・A=div(A),∇xA=rot(A), (∇^2)f=Δf (← "∇"は「きごう」,"Δ"は「でるた」で変換可.)
●積分:∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, 点[C]f(r)dl (← "∫"は「いんてぐらる」,"∬"は「きごう」で変換可.)
●数列和・数列積:Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) (← "Σ"は「しぐま」,"Π"は「ぱい」で変換可.)
●極限:lim[x→∞]f(x) (← "∞"は「むげんだい」で変換可.)
●図形:"△"は「さんかく」,"∠"は「かく」,"⊥"は「すいちょく」で変換可.

●その他
・関数等の変数表示や式の括弧は,括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある.
・ギリシャ文字はその読み方で変換可.
・上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号"⇒∀≠≧≒∈±≡∩∽"などは「きごう」で順次変換できる.


4 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 20:55
【業務連絡・その他】
●900を超えたら新スレに移行準備.
●旧スレ側 → 終了宣言,新スレへの誘導.
●新スレ側 → 開始宣言と目次,旧スレのリンク,掲示板での数学記号の書き方例,業務連絡・その他,旧スレ側の残り問題の移動.
●数学板の要望スレで数学板の注意書き(リンク先)の変更依頼.


☆__________________________.
|.            │
│ はにゃ〜ん.   │
| γ∞γ~  \    │
│人w/ 从从) )   │
│ ヽ | |┬ イ |〃  │
│ `wハ~ . ノ)    │
│  / \`「 .     │
| 数学板さくらスレ. │
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(● ´ ー ` ●)ノ さくらスレ旗掲揚


5 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 21:00
移転完了 ъ( ゚ー^)

******************* 第 8 部 開 始 **************************


6 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 21:05
要望スレと削除依頼スレ(スレッド専用)が機能していない.....


7 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 09:54
次の問題を教えて下さい。

(1)x^2+y^2=z^2 の整数解(x,y,z)をすべて求めよ。
(2)2x^2+y^2=5z^2 の整数解は(x,y,z)=(0,0,0)以外ないことを証明せよ。
(3)一般に ax^2+by^2=cz^2 の整数解が(x,y,z)=(0,0,0)以外ないための整数(a,b,c)の必要十分条件を求めよ。

よろしくお願いします。


8 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 09:56
あらら、答をもらう前にスレッドが更新されちゃった・・・
もう一度書きますね。
物理を勉強している学生ですが教えてください。
与えられた密度 ρ に対するポアッソン方程式 △φ=ρ の解は、普通

φ=(1/4π)∫ρ/r d^3r (d^3r は体積要素)

で与えられますよね。
でもこれは ρ が有限な領域にある場合の話で、
そんな条件のない場合、
つまり早い話が ρ/r の空間積分が発散してしまう場合には
この公式は使えなくなります。
そんな場合でも、もとの方程式 △φ=ρ の解は存在するのか、
というのが質問です。

 どうかシツコイと仰らずによろしくお願いします。


9 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 10:13
偏微分方程式の本をみなさい。
楕円型方程式のシュワルツ超関数による取り扱いが書いてあればなんでもいい。
ちょっと古いけど溝畑茂「偏微分方程式論」岩波書店

10 :z:2001/05/31(木) 10:24
そーいえば学コンの時期だな…

11 :8:2001/05/31(木) 10:46
>>9

をを、ありがとうございます。その本持ってます(読んでないけど)。
何ページ(どのあたり)に載ってるのか教えてください。
呼んでみないとわからないですけど、解は超関数になる、ってことでしょうか

12 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 15:18
>>8
>与えられた密度 ρ に対するポアッソン方程式 △φ=ρ の解は、普通
>φ=(1/4π)∫ρ/r d^3r (d^3r は体積要素)
>で与えられますよね。

物理でやる、与えられた密度ρに対するポアッソン方程式って、ふつー
△φ=-ρ
じゃねーのか? まぁ+ρでやりたきゃそれでもいいけど,解は
φ=-(1/4π)∫ρ/r d^3r
符号が反対になるぜ。

一般に
△φ(r)=-ρ(r)
の領域Vでの解は、
φ(r)=(1/4π)∫_[V]ρ(r')/|r-r'| dV'
+(1/4π)点[∂V][∇φ(r')/|r-r'|-φ(r')∇(1/|r-r'|)]・dS'
dS'は面積ベクトル。
第2項の∂V上での∇φ(r')とφ(r')は境界条件として与える。
8が書いた解は、φ(r')→0 (r'→∞)の境界条件のもとでの解。

で、積分が発散するような解なんて求めて意味があるの?


13 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 15:24
高校Lvの解き方で証明しなさいといわれたのですが、わかりません。
教えてください。

連鎖律を証明せよ。(*これは上級問題である)

なお、連鎖律は
DY/DX=DY/DZ・DZ/DX
と簡便に表すことができる。

以上です。よろしくお願いします。


14 :素人の回答.:2001/05/31(木) 15:26
>>8

きわどい質問と思います.
ポワッソン方程式は φが解ならφ+一次式も解だから,

> φ=(1/4π)∫ρ/r d^3r

は遠方で 0 に行く解を選んでいますね.
つまりφの遠方での振る舞いを指定しないと解の存在
(というより一意性)は議論しにくい.
ρが遠方まで大きく残ると,
「φの遠方での振る舞いを指定する」というのがしにくいですね.

だからいつでもだめ,という意味ではありませんが,
「遠方」についてもう少し条件が付かないと議論しにくいと
思いますよ.


15 :8:2001/05/31(木) 15:47
12さん,14さん,ありがとうございます。確かに符号が間違っていました。
ご指摘ありがとうございます。

ところで、ポアッソン方程式 △φ=−ρ で
ρ/r の積分が収束しない場合なんて物理で考えることがあるのか、
というご質問ですが、
これは電磁気学のゲージ変換を考えていたときに出くわしたものです。
ゲージ変換というのは、ベクトル・ポテンシャル A というベクトル場に対し、
任意にスカラー場 f を与えて
A'=A−gradf
という変換を行うことをいいます。
ゲージ変換の中に、
輻射場や量子化を考えるときに重要なクーロン・ゲージというものがあります。
これは、最初に与えられたベクトル・ポテンシャル A に対して
ゲージ f をうまく選んで
div A'=0
となるようにしたベクトル場のことをいいます。
つまり、f の方程式として見れば、
△f=divA
となります。
右辺は既知の場(関数)ですが、輻射場の場合、
空間全体でゼロでない値(遠方で 1/r のオーダー)を持つので、
divA/r は全空間で積分が収束しません。
つまり、このような場合でも △f=divA を満たす f の存在は保証されるのか?
保証されないとクーロン・ゲージの存在自体が保証されません。

長くなりましたが、質問の背景は以上のとおりです。
よろしくお願いします。


16 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 17:50
>13

これは微分or微分作用素に限定しての質問なのか
それとも一般の連鎖律
X〜Z,Y〜Z → X〜Y
について聞いているのかさっぱりわからん


17 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 18:35
n個の点が一直線上に等間隔にならんでいる。これらの点の中から、隣り合う2点のいくつかの組を選び、
各組の2点線分で結んでできる図形を考える。
このような線分と点からなる図形の個数をΖ(n)とする。
ただし、1つの点に対して結ばれる他の点の個数は1以下とし、互いに対称な図形も別ものとして考える。
例えば n=2のときは Ζ(n)=2
またn=3のときはΖ(n)=3である。
n≧4のときΖ(n)=Ζ(n-1)+Ζ(n-2)であることを証明し、Ζ(n)を求めよ。
回答を詳しくお願いします。

18 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 18:50
正四面体の各頂点をΑ1,Α2,Α3,Α4とする。
ある頂点にいる動点Χは、同じ頂点にとどまらず、1秒ごとに他の3つの頂点のどれかに同じ確率で移動する。
ΧがΑαにn秒後に存在する確率をРα(n) (n=0,1…)
Р1(0)=1/4 Р2(0)=1/2 Р3(0)=1/8 Р4(0)=1/8 のときР1(n)とР2(n)を求めよ。 回答を詳しくお願いします。

19 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 19:19
>>17
n-2,n-1,n番目の点が
右端(n-1とn)が結ばれているものの個数はZ(n-2)である。
なぜなら

・ ・----・
↑ここは結べない。

右端(n-1とn)が結ばれていないものの個数はZ(n-1)

・ ・ ・
↑ここは入ろうが入るまいが構わない。

それぞれの場合は排反だからその和が答え。

一般項はフィボナッチ数列なので、
参考書調べるか、または3項間漸化式を解き給え。


20 :Det:2001/05/31(木) 19:28
>>18
東大の問題だね。

A1にn秒後にいる場合はn-1秒にXがA2,A3,A4に居て、
そこから移動してくるしかない。よってその確率は

P1(n)
=1/3*P2(n-1)+1/3*P3(n-1)+1/3*P4(n-1)
=1/3*(P2(n-1)+P3(n-1)+P4(n-1))
=1/3*(1-P1(n-1))

これは漸化式になっているのでこれを解けばよいと思われ。
ちなみにP2(n)も全く同様。初期値がちがうだけ。


21 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 19:35
≫19,20さん 有り難う。 こんな様な問題は高三になればかんたんにできるよーになりますか? (現在高二)

22 :132人目の素数さん:2001/05/31(木) 20:15
>21
高3とか高2とかかんけいないと思うがどうか?
確率と漸化式を知っているか知らないだけ。


23 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 00:05
3^(3−i)のべきの主値を求めよ
ってのはどうやればいいの?

24 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 01:43
3^(3-i)
=Exp[Log[3^(3-i)]]
=Exp[(3-i)*Log[3]]
=Exp[3*Log[3]-i*Log[3]]
=Exp[3*Log[3]]*Exp[-i*Log[3]]
=Exp[3*Log[3]]*(cos[Log[3]]-i*sin[Log[3]])


25 :25:2001/06/01(金) 15:53
教えてください、お願いします。

――――――――問題――――――――
a,b,c∈R(実数)
a>0,b^2-ac<0
D={(x,y)∈R^2|xy≦0}
この時
∬[D]e^(-ax^2-2bxy-cy^2)dxdy
を求めよ。
――――――――――――――――――
Dを
D_+={(x,y)|0≦x,y≦0}
D_-={(x,y)|x≦0,0≦y}
としてx,yの順番に積分しようとしたのですが
∫[y=-∞,0]e^{(bb/a-c)y^2}∫[x=0,∞]e^{-a(x+by/a)^2}dx
のような式になってどう計算して良いか分かりません。

どうかご教授ください。

26 :13:2001/06/01(金) 17:31
>>16
合成関数の微分法です。

問題は>>13にあります。分からないので教えてください。
よろしくお願いします。

27 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 18:34
この問題わかりません。。。なぜ穴ができてしまうのですか?
http://www.dream-fact.com/lovers/gazou/img-box/img20010601171342.gif


28 :y^2=x^3+ax+b:2001/06/01(金) 18:46
>>27
上の図形全体は三角形の斜辺にあたる部分がへこんでいます

29 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 19:18
f(x,y)=√|xy|は全微分できますか?
それだけ教えてください。

30 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:19
>>27

赤い三角形は、底辺=8、高さ=3
緑の三角形は、底辺=5、高さ=2
だから、この2つは相似じゃなく、
底辺=13、高さ=5の三角形
に見える図形は、実は三角形じゃなく斜辺が途中で曲がっている。
上の図形では斜辺がへこんで、下の図形では斜辺が膨らんでいる。
この差が1マス分の大きさ。


31 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:33
>26

高校数学の教科書を読め

32 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:34
x軸上またはy軸上の点を考えてミソカツ!>29

33 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:35
>>28,30
なるほど、どうもありがとうございました。


34 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:40
>>31
ごまかしてるよ>高校教科書


35 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:43
>31

どこが

36 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:44
>34

どこがごまかしてある?
かいてみそかつ

37 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 20:54
すいません。
微分の問題を一題おしえてください。

関数f(x)は区間[0.1]で微分可能で
f(0)=0、f(1)=1であるとする。
このとき
{1/f'(x(1))}+{1/f'(x(2))}=2
となる。相異なる点x(1)、x(2)が区間[0.1]の中に存在する事を示せ

よろしくお願い致します。

38 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 21:12
>>37
平均値の定理から自明

39 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 21:15
>>38
すいません、少し詳しく書いて頂けないでしょうか?
本当によくわからないもので

40 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 21:24
>>25
一次変換u=x・cosθ-y・sinθ,v=x・sinθ-y・cosθで変数変換する。
うまくθをえらぶとax^2+2bxy+cy^2=ku^2+lv^2となる。
そういうθを探してkとlをもとめたまへ。a,b,cでかけるハズだ。
さらに(√k)u=p,(√l)v=qと変数変換したまへ。積分は∫[E]e^{-p^2^q^2}dpdq
なる形になるはずだ。Eは原点で直交する2直線ではさまれた領域だ。
もとめたまへ。さいごにp=rcos(s),q=rsin(s)と変数変換したまへ。
積分は∫[F]e^{-r^2}dsdrの形になるはずだ。
Fは{(r,s);r≧0,α≦s≦α+π/2 or α+3π/2≦s≦α+2π}みたいな
形になるはずだ。sに関して先に積分したまへ。

41 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 21:37
>>37
これ“導関数が連続”って条件ないの?
ないとけっこうむずくない?

42 :37:2001/06/01(金) 21:40
>>41
残念ながらないです

43 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 22:32
>>42
ないのね...だとするとけっこうむずいぞ。
集合{(x,y)|y=f(x)}のなかでy-xの最大値M,最小値mをかんがえる。
M=m=0ならf(x)=xなので簡単。M>0のときを考える。
(a,b)でb-a=Mとなるとする。0<a<1。がむばるとf'(a)=1,
0<x<aに対し(f(a)-f(x))/(a-x)>1,
a<x<1に対し(f(x)-f(a))/(x-a)<1がしめせる。(がむばれ!)
(f(x)-f(0))/(x-0)=α>1,(f(1)-f(x))/(1-x)=β<1 とおく。
1<α'<α,β<β'<1を1/α'+1/β'=2となるようにとれることが
示せる。(ふぁいと!)関数g(x)=(f(x)-f(0))/(x-0)(x<a),g(a)=1
とおく。するとgは[0,a]で連続な関数なのでどっか0<s<aで
g(s)=α'となる。平均値の定理から0<s'<sをf'(s')=α'と
とれる。同様にしてf'(t')=β'となるt'がとれる。これでM>0の
場合はOK。m<0の場合はやってみそ。

44 :素人のちゃちゃ.:2001/06/01(金) 22:52
>>29

こんな問題を試験に出した気が...


45 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 23:14
>>43
すまヌ。すこしまちがえてまった。
0<x<aに対し(f(a)-f(x))/(a-x)>1,
a<x<1に対し(f(x)-f(a))/(x-a)<1がしめせる。

(f(a)-f(0))/(a-0)<1,(f(1)-f(a))/(1-a)>1が示せる。
に訂正。

46 :132人目の素数さん:2001/06/01(金) 23:40
>>45
またまちがえた。<1と>1が逆。

47 :25:2001/06/01(金) 23:53
>>40
有難うございます。
計算してみます。

48 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 02:21
>>29
(0,0)において全微分可能でない

49 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 11:55
教えて下さい。

nを性の整数とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

 1+√2+√3+・・・+√n < (1/6)(√n)(4n+3)

50 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 12:33
>>49
積分じゃできないのね。nに関する帰納法。n=1はいいとして
n=kまで仮定。n=k+1のときの式とn=kのときの式を比較。
左辺の増分=√(k+1)、右辺の増分=(1/6)√(n+1)(4n+7)-(1/6)√n(4n+3)
左辺の増分ー右辺の増分>0をしめせばよい。展開、整理すると
(4n+1)√(n+1)>(4n+3)√(n)をしめせばよい。両辺2乗すればよし。

51 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 15:08
>>50
まちご〜た。
×右辺の増分=(1/6)√(n+1)(4n+7)-(1/6)√n(4n+3)
○右辺の増分=(1/6)√(k+1)(4k+7)-(1/6)√k(4k+3)
×左辺の増分ー右辺の増分をしめせばよい。
○右辺の増分ー左辺の増分をしめせばよい。

52 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 15:31
>>43
>1/α'+1/β'=2となるようにとれることが
>示せる。(ふぁいと!)

これって証明できる?
今嵌ってる。。


53 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 15:41
>>52
1<α'<αに対しβ'=1/(2-1/α')とおく。1/α'+1/β'=2。
1<α'⇒0<1/α'<1⇒-1<-1/α'<0⇒1<2-1/α'⇒0<1/(2-1/α')<1
から0<β'<1。よってα'→1+0のときβ'→1-0。
これを利用すればβ<β'<1となるようにα'をえらべる。

54 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 16:08
おれ>>43。いま自分の証明よみかえしてちょっとハズカシイ。
0<a<1はf(a)≠a,f'(a)=1ならどこでもいいね。
----
まずf'(a)=1のとこを平均値の定理でみつける。もしそこでf(a)=a
ならもっかい平均値の定理をつかってf'(b)=1なる0<b<aがとれるので
おしまい。f(a)≠aとする。連続関数g(x)を
 g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a) (x≠a)
   =1          (x=a)
で定めておくとα=g(0)>1,β=g(1)<1またはα=g(1)>1,β=g(0)<1
のいずれかが成立するので...以下>>43と同じ。
----
のほうがかっこいいね。

55 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 19:58
すいません、三角比の分野だと思うのですが
一題質問させてください

三角形ABCにおいて
sinAcosA=sinBcosBが成り立つなら
辺a、b、cの間にとある関係式が成り立つ。
その関係式を求めよ

よろしくおねがいします

56 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 20:02
とすると
43さんの解答は

f'(a)=1のとこを平均値の定理でみつける。もしそこでf(a)=a
なら再び平均値の定理をつかってf'(b)=1なる0<b<aがとれるので
おしまい。f(a)≠aとする。
連続関数g(x)を
 g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a) (x≠a)
   =1          (x=a)
で定めておくとα=g(0)>1,β=g(1)<1またはα=g(1)>1,β=g(0)<1
のいずれかが成立する。

集合{(x,y)|y=f(x)}のなかでy-xの最大値M,最小値mをかんがえる。
M=m=0ならf(x)=xなので簡単。M>0のときを考える。
(a,b)でb-a=Mとなるとする。0<a<1。f'(a)=1,
0<x<aに対し(f(a)-f(x))/(a-x)>1,
a<x<1に対し(f(x)-f(a))/(x-a)<1がしめせる。

(f(x)-f(0))/(x-0)=α>1,(f(1)-f(x))/(1-x)=β<1 とおく。
1<α'<α,β<β'<1を1/α'+1/β'=2となるようにとれることが
示せる。
関数g(x)=(f(x)-f(0))/(x-0)(x<a),g(a)=1
とおく。するとgは[0,a]で連続な関数なので0<s<aで
g(s)=α'となる。平均値の定理から0<s'<sをf'(s')=α'と
とれる。同様にしてf'(t')=β'となるt'がとれる。これでM>0の
場合はOK。

M<0も同様にやる


ていう感じ?



57 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 20:38
>>55
A,B,Cの対辺のながさをa,b,c,外接円の半径をRとされよ。
正弦定理からsinA=a/2R,sinB=b/2R
余弦定理からcosA=(b^2+c^2-a^2)2bc,cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca
を与式に代入したまへ。分母はらって全部左辺へ移項したまへ。
同類項は全部くくってしまいたまへ。のこった項はa^2,b^2,c^2
に関する式で簡単に因数分解できるはずだ。右辺は0だから
これら因数のうちのどれかが0のはずだ。
これがもとめる関係式だ。

58 :55:2001/06/02(土) 20:47
アドバイスどうもありがとうございます。
さっそくやってみます

59 :34:2001/06/02(土) 21:00
>>35
Δx/Δy ・ Δy/Δz = Δx/Δz
として極限をとり、証明しているが
yが定数関数の時などに問題あり
>高校の教科書
>>13
っつーか解析概論にのってるよ

60 :132人目の素数さん:2001/06/02(土) 21:34
>>56
おら>>43
>とすると
>43さんの解答は
...中略...
>ていう感じ?
うおすばらしい!まとめてくれてありがとう!そんなかんじ。

61 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 00:33
>>7
(1) はたとえばここ。
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai/kadai51b.html

(2) x, y, z に公約数があれば割っておいてから、mod 5 で考えれば易しい。

(3) はここ。
http://www.maths.nott.ac.uk/personal/jec/courses/G13NUM/notes/node24.html
これは (1), (2)に比べると少しむずい。

62 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 03:08
>>15

12も言ってるが、偏微分方程式は、協会条件を与えなきゃ解を決めることなどできねーよ。
たとえ積分が収束しようと、一般に変な境界条件を与えれば解なんかない。
いまのばあい、協会は無限遠方になるけど、そこでのφをどのように決めた解を尻たいんだ?


63 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 07:29
>>55
>三角形ABCにおいて
>sinAcosA=sinBcosBが成り立つなら

sin(2A)=sin(2B) が成り立つ。
これで三角形ABCがどんな三角形かわかる。
その結果a、b、cの間に成り立つ関係式が
得られる。

64 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 09:59
>>62
>>15は“解が一意にさだまるか?”ではなくて“解が存在するか?”
が問題なんだと思われ。境界条件がなかったら“解の一意性”が
いえなくなるだけで“解”がなくなるわけじゃないだろ。条件へるんだから。
>>15の文面をよむかぎり境界条件はとりあえずなんでもいいんでないの。
あるかないかだけで。

65 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 13:28
どうして(∫[0,1]((1-x^2)^1/2)の場合は円を
想像して(π/4)となり普通に積分を考えた場合の
[2/3*(-1/2x)*(1-x^2)^3/2]とはならず、
(∫[0,1](x*(a^2-x^2)^3/2)の場合は普通に積分を考え、
[-1/3*(a^2-x^2)^3/2]となるのでしょうか?

66 :49です:2001/06/03(日) 15:04
>>50 >>51さん

アドバイスありがとうございました。

67 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 15:10
正四面体に内接、外接する球の半径の求め方は?
注:高1です微積、ベクトルなどはやっておりません.

68 :駄馬:2001/06/03(日) 15:17
1、長さが4の線分ABの両端A,Bが、それぞれx軸、y軸上を
  動くとき、線分ABを3:1に外分する点Pの軌跡を求めよ。

2、点A(2,0)と直線x=1/2からの距離の比が
  2:1であるような点Pの軌跡を求めよ。

という2題がわかりません。
どなたか教えてください。
よろしくおねがいします。

69 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 15:29
>>68
1.ちょっとテクニカルだが...
A(4cosθ,0),B(0,4sinθ)とおけるのでP(X,Y)の座標は
X=(-1・4cosθ+3・0)/(3-1),Y=(-1・0+3・4sinθ)/(3-1)
とかける。cosθ、sinθをX,Yであらわしたまへ。
それをcos^2θ+sin^2θ=1に代入したものがもとめる軌跡の方程式だ。
2.P(X,Y)とすると
PA=√{(X-2)^2+Y^2}
Pと“x=1/2”との距離=|X-(1/2)|
だ。よって√{(X-2)^2+Y^2}=|X-(1/2)|がとくべき式だ。両辺2乗して
X,Yの方程式をみちびきたまへ。

70 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 15:30
>>65
>普通に積分を考えた場合の
>[2/3*(-1/2x)*(1-x^2)^3/2]とはならず、

普通に積分ってどう導いたんだろう。
結果から過程を予想してみるけど・・・

合成関数の微分 f(g(x)) ' = f '(g(x)) * g '(x) を利用すると
∫f '(g(x)) * g '(x) dx = f(g(x)) + c

これを使って
f(x) = (2/3)*x^(3/2)
f '(x) = x^(1/2)
g(x) = 1-x^2
g '(x) = -2x

(1-x^2)^(1/2)
= f '(g(x))
= f '(g(x))*g '(x)/g '(x)

∫(1-x^2)^(1/2) dx
= ∫f '(g(x)) dx
= ∫{f '(g(x))*g '(x)/g '(x)}dx ・・・ (a)
= {∫f '(g(x))*g '(x) dx}/g '(x) ・・・ (b)
= f(g(x))/g '(x)
= [2/3*(-1/2x)*(1-x^2)^3/2]

たぶんこうやったんだと思うけど
(a)から(b)にはなりません。(^_^;

ちなみに [2/3*(-1/2x)*(1-x^2)^3/2] を微分すると
(1/3)*(4x^2-1)*(1-x^2)^(1/2) になるのでやっぱり違います。

あと (1/2x) という書き方は
(2x)^(-1) と x/2 のどちらかわかりにくいです。

71 :高2の素数さん:2001/06/03(日) 16:04
∫sin(logx)dxは、部分積分を使えば良いのでしょうか?

72 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 16:17
>>71
logx=tと置換積分したまへ。∫e^tsintdtになるだろう。
e^tに対して部分積分したまへ。(*)-∫e^tcostdtの形に
なるだろう。後ろの項をもいっかいe^tに対して部分積分したまへ。
(**)-∫e^tsintdtの形になるだろう。第2項を左辺に移行して
2でわりたまへ。

73 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 16:35
ある命題P,Qがあって、P = Q の定義はなんですか?

74 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 16:56
「=」の公理を教えて下さい。

75 :高2の素数さん:2001/06/03(日) 17:09
>>72
logx=tとして置換積分をすると
1/x=dt/dx
∫sin(logx)dx=∫xsintdtとなってしまうような気がするのですが・・・
どこが間違っているのでしょうか?

76 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 17:12
>>75
x=e^tだから
∫sin(logx)dx=∫xsintdt=∫e^tsin(logx)dt
でしょ。君の最後の式まだxがのこっとるでしょ?

77 :高2の素数さん:2001/06/03(日) 17:14
>>76
説明ありがとうございます。

78 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 17:14
>>76
おっと∫sin(logx)dx=∫xsintdt=∫e^tsintdtだった。コピペ
は気つけんといかんな。

79 :132人目の厨房さん:2001/06/03(日) 18:22
「有理数も無理数も無限に存在する」のに
「有理数より無理数の方がずっと多い」って
どういうこと?

無限同士を比較できるの?


80 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 19:13

a,b>0,
f(x)={(a^x+b^x)/2}^(1/x)と置く。
  1) lim(x→0)f(x)=?
  2) f(x)は単調増大である。

手のツけようがありません。宜しくお願いします。


81 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 19:18
>>70
∫[0,1](x*(1-x^2)^(1/2))(xを付け足しました)
のような場合いに[2/3*(-1/2)*(1-x^2)^3/2]となるんですね。

じゃあ、高校範囲では積分で円の面積はだせませんか?

82 :名無し:2001/06/03(日) 19:45
>>79
小数点以下の数値を順番にならべていくとき
循環する確率は直感的に0

ちゃんとしりたければ集合の大小を本で学んでください

83 :名無しさん:2001/06/03(日) 19:46
>>81
ふつうにx=sinθで置換してください

84 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 20:46
>>80
これめちゃむずい。
g(x)=logf(x)とおく。a>bとしておく。
(1)lim[x→0]g(x)をもとめる。
さらにh(x)=log(a^x+b^x)とおくとh(0)=2から
 g(x)
 ={log(a^x+b^x)-log2}/x
 ={h(x)-h(0)}/(x-0)→h'(0) (x→0)
からg(x)→(loga+logb)/2=log√(ab)よりf→√(ab)
(2)これってx>0だよね?
xg=log(a^x+b^x)-log2を微分して
 xg'+g=(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)
からg'>0⇔(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)>g=(1/x)log{(a^x+b^x)/2}
logxの凸性を利用すれば左辺>loga,logb。
(i)x≧1のとき右辺≦(1/x)log{(a^x+a^x)/2}=loga
(ii)x≦1のとき右辺≦(1/x)log{(b^x+b^x)/2}=logb
だからいづれにしても左辺>右辺が成立。よってg'(x)>0。

85 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 21:24
>>84
うわ〜しまった。>>84の(2)はウソです。なかったことにしてくれ〜。
これおれにはムリだ〜。

86 :駄馬:2001/06/03(日) 21:42
1、点F(2,0)を通り、直線l:x=−2に接する円の中心Pの
  軌跡の方程式を教えてください。

2、円x^2+(y-2)^2=4に外接し、x軸に接する円の中心Pの
  軌跡である放物線の方程式を教えてください。

よろしくおねがいします。

87 :きえ:2001/06/03(日) 21:57
2重根号。
ルート(7−ルート(40)) = ルート(5)-ルート(2)
に成るのが判りません。
アホな私に詳しく説明してやって下さい…。

88 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 22:16
>>80,>>84
再挑戦。これx>0であるひつようないね。
(i)x>0のとき
g'>0⇔(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)>g=(1/x)log{(a^x+b^x)/2}
(ii)x<0のとき
g'>0⇔(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)<g=(1/x)log{(a^x+b^x)/2}
まではいいので右の不等式の両辺にxをかけていずれの場合も
g'>0⇔(a^xloga^x+b^xlogb^x)/(a^x+b^x)>log{(a^x+b^x)/2}
そこでa^x=α,b^x=βとおけば
D=左辺ー右辺=(αlogα+βlogβ)/(α+β)-log{(α+β)/2}
ここでxlogxの凸性(凹性?)とα+β=1を利用してさらに
D>log{(α+β)/2}-log{(α+β)/2=0
よりg'>0。よってgはx>0,x<0で狭義単調増加。
やったね!!

89 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 22:28
>>89
ありゃ?ちょいまちがい。最後のへんで利用してるのは
xlogxは下に凸(凹?)なので
(slogs+tlogt)/2≧(s+t)/2log{(s+t)/2}
等号成立はs=tのとき。
です。(つまりα+β=1ってとこがウソ。)
...おまけ...
一般に下に凸な関数f(x)にたいし
(f(a)+f(b))/2≧f((a+b)/2)
等号はa=bのとき。

90 :132人目の素数さん:2001/06/03(日) 22:39
>>87
(√5 - √2)^2
= 5 - 2*√5*√2 + 2
= 7 - √40
だから、 √(7 - √40) = √5 - √2 になる。

>>86
--1--
円の中心をP(x,y)とおく。
(Pとx=-2の接点の距離)^2 = ((x,y)と(-2,y)との距離)^2 = (x+2)^2
(PとFの距離)^2 = (x-2)^2 + y^2
この2つが等しいから、
(x+2)^2 = (x-2)^2 + y^2
4x = -4x + y^2
故に y^2 = 8x が求める軌跡。

--2--
中心をP(x,y)とする。円がx軸と接することより、円の半径は y。
x^2+(y-2)^2=4 の中心は(0,2)。
((0,2)とPとの距離)^2 = x^2 + (y-2)^2
であり、
((0,2)とPとの距離)^2
= ((0,2)と2円の交点の距離 + 2円の交点とPとの距離)^2
= (x^2+(y-2)^2=4の半径 + 中心がPの方の円の半径)^2
= (2+y)^2
よって、
x^2 + (y-2)^2 = (y+2)^2
x^2 - 4y = 4y
故に
y = (1/8)x^2
ただし、(0,0)をのぞく。

であってるかなぁ。

91 :90:2001/06/03(日) 22:56
間違った。スマソ。
--2--の方の「2円の交点」というのは、「2円の接点」の間違い。

92 :駄馬:2001/06/03(日) 23:30
90さんどうもありがとうございました。

93 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 00:31
すみません。別の板から来た者なのですが。
「次の曲線の長さを求めよ。y=logx(1<=x<=2)」
というのが話題になってまして、私は答えが「√5 - √2」だと思ったのですが、
本当のところどうなんでしょう?
それとこれって高校生でも答えられる問題なのでしょうか。
場違いな発言でしたら、放置してください。本当にごめんなさい。

94 :93:2001/06/04(月) 00:49
>93
解決しました。なんか全然違ったようですね。ホントにごめん。

95 :80:2001/06/04(月) 01:19
>>84,88、89 解答ありがとうございます。
でも
xg'+g=(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)
∴g'=(1/x)(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)−(1/x)g
ではないですか?
う〜わからない・・・

96 :95:2001/06/04(月) 01:42
>>95
それであってるよ。
g'=(1/x)(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)−(1/x)g
 =(1/x)[a^xloga+b^xlogb-(1/x)log{a^x+b^x}/2]
 =(1/x)^2(a^xloga^x+b^xlogb^x-log{a^x+b^x}/2)
よりg'>0⇔a^xloga^x+b^xlogb^x-log{a^x+b^x}/2>0
このほうがかっこいいね。うん。ではおやすみ〜。

97 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 01:44
>>95
まちがった。95≠96=84=88=89。すま&おやすみ〜。

98 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 06:32
>>73
= じゃなくて ⇔ じゃないの?命題間の接続詞に等号は使わないよ、普通。

>>74
一般の等号の公理ってのは、P(x) を変数 x に関する任意の命題とするとき、
1) x=x
2) P(x)∧x=y ⇒ P(y)
というものだ。等号じゃなくて「同値関係」の公理ならまた別だけどね

>>15,62,64
結果だけでよければ、任意の超関数 f に対して △u=f となる超関数 u が
少なくとも一つ存在する。証明はすごくややこしい(というか、物理屋さんになじ
みが少ないと思われる関数解析の結果を使ったりする)から省略。


99 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 07:14
>>93
>「次の曲線の長さを求めよ。y=logx(1<=x<=2)」

L=∫[1,2](1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx
 =∫[1,2](1+(1/x)^2)^(1/2)dx
 =∫[1,2]{(1+x^2)^(1/2)/x}dx
 =[(1+x^2)^(1/2)+logx-log(1+(1+x^2)^(1/2))]_[1,2]
 =(√5-√2)+log{(2+2√2)/(1+√5)}
 ≒1.22202

100 :99:2001/06/04(月) 08:18
x=tant
(1+x^2)^(1/2)=1/|cost|=1/cost (∵1<=x<=2)
dx=1/(cost)^2dt

∫{(1+x^2)^(1/2)/x}dx
=∫dt/(sint(cost)^2)
=∫{sint/(cost)^2 + (1/sint)}dt
=1/cost + (1/2)log|(cost-1)/(cost+1)|
=(1+x^2)^(1/2) + (1/2)log|{1-(1+x^2)^(1/2)}/{1+(1+x^2)^(1/2)}|
=(1+x^2)^(1/2) + (1/2)log|{-x^2}/{1+(1+x^2)^(1/2)}^2|
=(1+x^2)^(1/2) + logx-log(1+(1+x^2)^(1/2))

定積分なら的確に絶対値を外せるはず。↑はいいかげん。
∫dt/sint を既知としたけど高校生でもokでしょう。

101 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 09:27
>>15
もうよんでないかな〜。それ成立するみたい。

定理 UをR^nの開集合、KをUのcompact領域、ρをKをsupportとする
実関数とするときある実関数φで△φ=ρかつsuppφ⊂Uなるものが
存在する。

証明は>>12のPoissonの公式を利用すれば簡単にできる。あるいは
“解析概論”(高木貞治、岩波)にものっている。そこでR^nの開集合と
compact集合と関数の族(U_i,K_i,u_i)を以下を満たすようにとる。

i)K_i⊂U_i、任意のx∈R^nに対しx∈U_iなるiは高々有限。
ii)supp u_i⊂K、0≦u_i≦1、盃_i=1。

(いわゆる“partition of unit”)ii)中の狽ヘi)よりwell defined。
そこであたえられたρに対し関数の族φ_iを定理からsuppφ_i⊂U_i、
△φ_i=u_iρとなるようにとる。そこでφ=買モ_iとさだめれば
これがもとめるものである。
もう3日もまえじゃよんでね〜か。数学板の住人じゃないみたいだし。

102 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 09:33
>>101
ごめん。“partition of unit”の定義のなかの
i)K_i⊂U_i、任意のx∈R^nに対しx∈U_iなるiは高々有限。

i)K_i⊂U_i、任意のx∈R^nに対し開集合x∈VでV⊂U_iなるiが
高々有限しかない。
に訂正。スマ。

103 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 09:39
>>101
当人がいない(?)場で議論するのも何だが・・・

> そこであたえられたρに対し関数の族φ_iを定理からsuppφ_i⊂U_i、
> △φ_i=u_iρとなるようにとる。

これウソじゃない?確かに supp(u_iρ)⊂K だけど、その解は suppφ_i⊂U_i
とできるとは限らないよ。


104 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 10:28
>>101-103
すま。おれ101。これウソだった。見つかるまえに訂正しようと
おもったのに〜。まにあわんかった。

105 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 10:34
>>101-104
ついでに質問。
ρがあたえられた関数で△φ=ρなるφが“実関数の範囲で”
(超関数はゆるさず)絶対とれないものって作れます?ρがある程度
よい性質(無限回微分可能とか有界とか)をみたしてるものなかで。
>>15の反例をみつけようとがむばったんだけどなかなか見つかりません。
どなたかつくれますか?

106 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 10:42
>>105
△ のような楕円型微分演算子の場合、ρ が滑らかなら必ず φ も
滑らかになります。だから反例が作れないのは当然です。これと
98 により、任意の滑らかな f に対し、解 u が存在し、それは
必ず滑らかになります。


107 :80=95:2001/06/04(月) 17:34
>97=96=84=88=89
ありがとうございます。すごいですね。特に
>g'=(1/x)(a^xloga+b^xlogb)/(a^x+b^x)−(1/x)g
> =(1/x)[a^xloga+b^xlogb-(1/x)log{a^x+b^x}/2]
> =(1/x)^2(a^xloga^x+b^xlogb^x-log{a^x+b^x}/2)
の中で a^xloga+b^xlogb から a^xloga^x+b^xlogb^x を作り、
凹凸に持ち込んじゃう所にかんどーしました。


108 :重心について質問:2001/06/04(月) 18:02
頂点の座標(f(x1,y1),f(x2,y2)・・・)が
与えられている空間図形の重心はどのように求めたら
よいのでしょうか?

109 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 18:39
Poisson方程式の質問をした15です。
週末見ないうちにずいぶん進行したんですね。
で、結局どうなのでしょう?

>>98
そうなんですか。証明が長くなるから省略というのはわかりますが、
どういう証明なのか、さわりだけでも教えてくれませんか?


110 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 19:41
頂点の座標が(x_k,y_k)(1=<k=<n))の正多角形の重心は
(Σx_k[k=1->n]/n,Σy_k[k=1->n]/n)だといわれたんですけど。
n=>4のとき重心があるとは限らないし、単純すぎると思います。

cos(180/7)°を解に持つ3次方程式を作ってください

111 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 22:40
>cos(180/7)°を解に持つ3次方程式を作ってください

学コンUzee

112 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 23:16
n個の任意の自然数からなる数列a1.a2.a3....anに対して
その中の何項かの和(1項以上の和)はnで割り切れる事を示せ

上記の問題を質問させてください。
自分としては帰納法かな、、と思ったのですが
どうしてもとけません。
すごく簡単にいくらしいのですが・・・

113 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 23:29
>>112
s(m)=Σ[k=1,m]ak とおく。
s(m) (m=1,2,3,…,n) の中に n で割り切れるものがないとする。
s(m) を n で割った余りは 1,2,3,…,n-1 の n-1 通り。
ハトの巣原理から、余りの等しいものがある。
それらの差を取ればよい。

114 :132人目の素数さん:2001/06/04(月) 23:40
>>113
すいません、112ではないですが
もう少し詳しく教えていただけませんか?
鳩ノ巣原理とかいうのをしらないもので、、

115 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 00:18
>>110
>n=>4のとき重心があるとは限らないし、単純すぎると思います。

えっ?Σ( ̄□ ̄;
その4以上ってのは何?正多角形だよ?正方形から考えてみよう!(ワラ

>cos(180/7)°を解に持つ3次方程式を作ってください

(x-cos(180/7)°) x^2 = 0
お安い御用だ(ワラ

116 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 00:40
>>114
367 人以上の人間がいれば、誕生日が同じ人がいる。
(閏年も入れて誕生日には366通りしかないから)。

ここでは、n 個の物が n-1 種に分かれているので、種類の同じ物があるということ。
s(b) と s(c) の余りが同じとする(b<c)。
そのとき s(c)-s(b)=Σ[k=b+1,c]ak は n で割り切れる。

鳩ノ巣原理について詳しくは、Google あたりで検索して調べてね。

117 :>>111:2001/06/05(火) 01:49
学コンはここで聞いていいものなのか?

118 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 06:24
>>117
全然構わない
解答をここで広めるのも自由
ただ大学への数学用のスレッドがあるのでそちらへ書かれるといい。

119 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 07:39
>>109
Hilbert-Schmidt
本にちゃんと書いてあるから本読め。

120 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 07:46
>>114
>鳩ノ巣原理
N個のはとの巣があって、はとがN+1羽いれば、2羽のはとがいる巣がある。

121 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 09:50
>>109
シンプルな証明。
任意の台がコンパクトなテスト関数に対して
φ=(-1/4π)∫(△φ)/r dV
が成り立つから、△φ=0 なら φ=0
しかも D(Ω) の位相で △φ_i → 0 なら φ_i → 0 もわかる。
よって、△φ に〈f,φ〉を対応させる対応は連続な線形汎関数。
よってハーン・バナッハにより、
これは D(Ω) 全体の連続線形汎関数 u に拡張できる:
〈u,△φ〉=〈f,φ〉
つまり超関数の意味で △u=f


122 :13:2001/06/05(火) 12:37
高校の教科書、解析概論に載っているというアドバイスありがとうございます。
でも、私は数学Uの教科書しか持っていないので、調べられません。
問題は>>13にあるので誰か教えてくれませんか?
よろしくお願いします。

123 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 14:03
∫u(y)dS(y)=∫u(x+rz)dS(z)への変数変換はy-x=rzと置けばいいのは
分かるのですが、その後はどうやればいいのですか?どうか教えて下さい。


124 :Det:2001/06/05(火) 15:10
>>110

>cos(180/7)°を解に持つ3次方程式を作ってください
実数係数でいいなら >>115 氏の言うように

>(x-cos(180/7)°) x^2 = 0
>お安い御用だ(ワラ

で正解でしょう。
「有理数係数で」ってことね。そう解釈します。

まず(180/7)°=θとおく。
すると7θ=180°なので、4θ=180°-3θ。
両辺の cos をとると cos4θ=cos(180°-3θ)=-cos3θ
つまり、cos4θ+cos3θ=0をみたすものを考えればよい。
ここで
cos4θ=(cosθの4次式)
cos3θ=(cosθの3次式)
となるので求める方程式が4次方程式の形で得られる。
その方程式は cosθ-α (αは自分で考えてみてください)
で割り切れるので、求める3次方程式が得られる。

同じようにして18°に関しても求まります。練習してみてはいかがでしょう。


125 :arg:2001/06/05(火) 15:48
>すると7θ=180°なので、4θ=180°-3θ。
>両辺の cos をとると cos4θ=cos(180°-3θ)=-cos3θ

sinを取れば電車道

126 :cos:2001/06/05(火) 18:03
x/k/5+y/(1-k/5)=1
kを変えたときにグラフが通らない範囲を求めなさい
どうやって解くんでしたっけ?

127 :ume:2001/06/05(火) 18:38
ある確率空間上で定義された確率変数Xの分布が2項分布B(n,p)で
あるとする。(n∈Ν,0≦p≦1)。確率変数cos(πX)の平均お
び分散を求めよ。ってどうやって解けば良いですか?さっぱり
わかりません。


128 :東海コロ助:2001/06/05(火) 18:48
わからない問題あるんで
質問していいですか?

129 :paipann:2001/06/05(火) 18:54
助けてください。宿題17問中以下の2問だけ分かりません。

∫[1/(1+x^2)^n]dx=?

∫[logx/1+x^2]dx=?

ともに積分区間は0→∞です

130 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 18:56
行列の固有値とか固有ベクトルってどんな意味があるんですか?
一体その行列の何を表しているんですか?
どなたか教えてくださいませんでしょうか。よろしくお願いします。

131 :paipann:2001/06/05(火) 19:00
はじめの方はx=tanθとおいて
与式=∫cos^(n-2)dx
とするんでしょうか?
答えがあわないんですよね〜
できれば途中の計算、面倒であればヒントみたいなの下さい

132 :高1:2001/06/05(火) 19:46
多分簡単だと思うのですが
男5人女5人で円をつくるとき男女が交互になる
場合は何通りあるのですか?

133 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 20:13
4!*5!

134 :基本的な質問:2001/06/05(火) 20:17
確率を推定する方法を教えてください。砂浜でごま粒を探すとします。
ごまつぶ探しでAさんは、仮に60%の量のごまを発見したとします。
このとき、ごまの量は単位面積あたり0.5個でした。では、0.6の場合はどうやって推定すればよいのですか?

また、Bさんは50%のごまを発見しました。単位面積あたり、0.4個でした。
AさんとBさんの優劣は、どうやって決めればよいのですか?

135 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 20:33
http://www.geocities.com/aho21st/test.html

136 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 21:29
おそらく既出ですんまそ。
n角形((x1,y1),...,(xn,yn))の獣心を表す式を教えてくらーさい。

137 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 22:18
>>136
多角形の重心
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/heso/heso3.htm

138 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 23:32
明日板書しないといけないので教えてください。

3次方程式X^3+aX+b=0(a,bは実数)を考える。
複素数p+i(pは実数、iは虚数単位)がこの方程式の解のとき、
a.bをpを用いて表すと、a=□、b=□である。
この方程式の実数解をpを用いて表すと□である。
x=7がこの方程式の解のとき、pの値は□である。

□のところの穴埋めです。お願いします。

139 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 23:51
>>138
>明日板書しないといけないので

やけにリアルだな(w

>3次方程式X^3+aX+b=0(a,bは実数)を考える。
>複素数p+i(pは実数、iは虚数単位)がこの方程式の解のとき

このときp-iも解だとゆうのはよろしいか?
あとは解と係数の関係を使えば即座に出来る。

140 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 00:21
与式が3次なので、解と係数の関係をどうやって使えばいいのかわかりません。
ちなみに答えは順に1-3p^2,2p+2p^3,-2p,-7/2となっています。

141 :(゜Д゜):2001/06/06(水) 00:26
http://cheese.2ch.net/math/index2.html#7
『〜〜解けたら1億2000万円もらえる問題〜〜 』
の215
『正三角形を、2/3と1/6と1/6の面積の図形に分割する。
ただし、できた3つの図形は全て相似形でなくてはいけない』
なんですが、向こうはスレ違いなのでこちらにて質問させていただきます。
どなたか、解ける方いらっしゃいませんか?

142 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 00:47
待ち行列の問題ってこの板でいいんですか?

問題
「M/M/∞の系内呼数の定常状態分布を表す確率母関数を求めなさい。
ただし、呼の生起率をλ、保留時間をμとする。」

検索エンジンで調べたら
M/M/1(∞)となっていたのですが
M/M/1と同じと考えていいのでしょうか?
よろしくお願いします

143 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 00:53
>>140
それなら、単純に x=p+i を代入すれば?
(p+i)^3+a(p+i)+b=0
展開して、実部と虚部がそれぞれゼロになることから解けるよ。


144 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 01:00
>>126
k/5=t と置き換えた方が計算しやすい。
t について整理して、t^2-(x-y+1)t+x=0.
これが、実数解を持たない条件を求めればよい。
ただし、t=0,1 が解になる場合については注意がいる。

145 :今年:2001/06/06(水) 01:01
x=rcosθ、y=rsinθとする。zをx、yの関数として、
次の式をr、θを用いて表せ。
Δz=(zをxで二階偏微分)+(zをyで二階偏微分)
という問題なんですが教えてください。

146 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 01:08
>>127
馬鹿正直に計算すればいいんじゃないの?

E(cos(πX))=Σ[k=0,n]nCk*p^k*(1-p)^(n-k)*cos(πk)
E({cos(πX)}^2)=Σ[k=0,n]nCk*p^k*(1-p)^(n-k)*{cos(πk)}^2
V(cos(πX))=E({cos(πX)}^2)-E(cos(πX))^2

cos(πk)=(-1)^k だから計算は容易。

147 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 01:08
>>143
ありがとうございます。
でも、3個目の□以降がわかりません。

148 :tr:2001/06/06(水) 01:25
>>147 = 138 さん
p+i, p-i が解だから, 与式の左辺は
  {x -(p+i)}{x-(p-i)} = x^2 -2px + (p^2+1)
で因数分解できる。いま x^3, x^2 の係数に注目して
  x^3 + ax + b = {x^2 - 2px + (p^2+1)}(x + 2p)
これを展開, 元の式と係数比較して
  a = -3p^2 + 1
  b = 2p(p^2 + 1)
  残りの解 : -2p
てな感じです。

149 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 01:40
>>148
わかりました。
本当にありがとうございました。>>139,143,148

150 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 01:57
>>142
質問の意味が良く解らないな。
M/M/∞と M/M/1は同じか? ってこと?
結論から言うと、多分違う。
A/B/s/r で、A→到着の分布、B→サービスの分布、
s→窓口の数、r→待合い室の容量だよ(r=∞のときは省略)。
M/M/1 の場合、M→到着間隔が指数分布、M→サービス時間が指数分布、
1→窓口がひとつ、待合い室の容量が無限 てことになるね。
で、問題の M/M/∞ だけど、これだと窓口の容量も無限になっちゃうね。
「定常状態分布を表す確率母関数を求めなさい」ってことは、
多分、平衡方程式から状態確率を求めろってことなんだと
思うけど、窓口が無限にあるなら、定常状態にはならないんじゃないかな??
少なくとも、僕には解けません。
だれか頭のイイ人、補足お願い。


151 :数学オンチ:2001/06/06(水) 02:37
あのー既出かも、それぐらいわからんのかヴォケ!かも、知れませんが、
ID:xxxが出るまでage続けるスレ
って、いろんな板にありますよね。この確率ってどう計算するんですか?
52(アルファベット 大文字小文字)+10(数字) +記号
で大体65?として、
65の8乗−5(Jobsとならぶ場合)
ということでしょうか?


152 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 04:57
(1) 2^(1/2), 3^(1/3), 5^(1/5)の大小関係を求めよ。
(2) 2^x=3^y=5^z(x,y,zは正の実数)のとき、2x,3y,5zの大小関係を求めよ。


153 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 05:04
>>152

(2^(1/2))^6=2^3=8
(3^(1/3))^6=3^2=9
→ 2^(1/2)<3^(1/3)

2^x=3^y
x*ln(2)=y*ln(3)
6x*ln(2)=6y*ln(3)
2x*3ln(2)=3y*2ln(3)
2x*ln(8)=3y*ln(9)
ln(8)<ln(9) → 2x>3y

のこりは自分でやれ


154 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 05:22
>145
らぷらしあんの計算ぐらい自分でやれ
ヴォケ!


155 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 05:38
>>129
初めのは ∫[0,π/2](cos t)^(2n-2)dt になる。
2n-2 を n-2 と間違えているんじゃないの。

2番目の答えはゼロ。
1/x=t と置換することで、logx/(1+x^2) の積分は、0<x<1 の部分と
1<x<∞ の部分がぴったり相殺するとわかる。

156 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 07:52
>>153
>2^x=3^y
>x*ln(2)=y*ln(3)
>6x*ln(2)=6y*ln(3)
>2x*3ln(2)=3y*2ln(3)
>2x*ln(8)=3y*ln(9)
>ln(8)<ln(9) → 2x>3y

これでももちろんいいけど、
2^x=3^y
x*ln(2)=y*ln(3)
2x*(1/2)ln(2)=3y*(1/3)ln(3)
2x*ln(2^(1/2))=3y*ln(3^(1/3))
2x>3y

の方が(1)の結果を使っているからいいんじゃない?


157 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 07:59
この問題、昨日どこかのテレビ番組で燈台生に質問してなかったっけ?
しかも全員結局解けなかったよーな。
燈台と言っても所詮こんなもんか?


158 :>150:2001/06/06(水) 11:57
M/M/∞ は M/M/1/∞ の ミスタイプと思われる。

窓口が無限にあれば、客が来たらすぐ処理可能だから、待ちはないでしょ。。。。

でも、とすると 142なんか
教科書のしょっぱなにでていそうだから
わざわざ何でここで聞くのか不思議だが

159 :秋山仁の師匠は中島洋介:2001/06/06(水) 12:07
皆勉強熱心でよろしい。


160 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 13:08
実計量ベクトル空間ではTが対称変換のとき{x|(αI-t)x=0}={x|(αI-t)(αI-t)x=0}を示せ
(内積を用いて)。内積を用いてのしょうめいのしかたがよくわからないのですが。

161 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 13:14
Tの随伴変換が基底によらないことをトランスAバー(下のような感じ)を用いて示せ。教えてください
                     tー
                      A

162 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/06(水) 14:23
>>161
随伴変換の定義をみればそんなことは自明。
こんなことがわからないのは線形代数をきちんと習得しておらん証拠。


163 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 15:42
>>160
x=0ならば(x,y)=0
(x,x)=0ならばx=0

164 :東海コロ助:2001/06/06(水) 19:02
xy平面上で曲線y=x^2 (x>0)上に中心を持ち、
x軸に接する円が通過する領域を求めよ

165 :東海コロ助:2001/06/06(水) 19:11
って問題なんですが、
僕が思うにy>0以上の領域全てになるような気がします。
ただし、式で導くことは出来ませんでした。
(僕の力では円上のどの点の集合が領域の境界かを
 決定できなかったので)
みなさんの解答をお聞かせ下さい。

166 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 19:41
空間図形に関する質問。
xyz空間で、実数a(0<a<1)に対し、
A(0、0、0)B(1+a、0、0)C(0、1、a)を
頂点とする三角形Z軸のまわりに一回転したときにできる
最大の体積をもとめよ。

空間がすごく弱くてわかりません、、
どなたかよろしくおねがいします

167 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 19:47
>>165
典型的な受験数学だが、もしわからなきゃ、シミュレーションしてみるという
手もある。IT時代なんだからとにかく数学でも実験してみることをお勧めする。


168 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 19:48
方程式 xy−2x+y=0で定められる
xの関数yの導関数を求めよ

なんか陰関数とか変数関数微分とかいうらしいのですが
よくわからないもので。。
質問おねがいします

169 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 19:59
>>168
y+xy'-2+y'=0
(x+1)y'=-y+2
y'=(-y+2)/(x+1)=2/(x+1)^2

170 :東海コロ助:2001/06/06(水) 20:10
>167
典型的って言いますが、
円自体が通過する領域を求める問題なんてのは
あらゆる問題集(5,6冊は読みました)に載ってませんし、
最近の大学入試問題にも出題されていません。
どなたか数学がお出来になる方、解いてもらえませんか。




171 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:21
>>166
平面 z = t ( 0 <= t <= a ) で△ABCを切断したときの両端の点を D , E として
D , E の座標を t であらわす。平面 z = t による立体の断面積を s(t) とすると
s(t) = |π( D と z 軸の距離)^2 - π( E と z 軸の距離)^2|
立体の体積を v(a) とすると
v(a) = ∫[0,a]s(t)dt
以下略。

172 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:24
>>165
y軸上の任意の点が含まれるかどうかがぁゃιぃので
それがちゃんと含まれているかどうか調べてみればよろし。
明らかに|x|>1では|x|<|y|なので、y≧1の任意の点は
ちゃんと含まれる。
よってあとは0<y<1を調べればOK。



173 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:30
>>172 つづき
2点(0,y),(t,t^2)に対して
t^2+(t^2-y)^2≧t^4
がy>0に対して成立するか調べよ


174 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:33
>>165
曲線上の点(t,t^2)が中心でx軸に接する(半径t^2の)円の方程式は
(x-t)^2+(y-t^2)^2=(t^2)^2
これはt^4が消えてtの二次以下の式になるので
tの実数解条件を考えて判別式≧0が答えかな。

175 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:37
y:0〜1/2あたりはふくまれないんちゃう?



176 :東海コロ助:2001/06/06(水) 20:43
>172さん,175さん
ありがとうございます!

177 :東海コロ助:2001/06/06(水) 20:49
すいません、
判別式取ったんですが、
−2x^2yとか出てきたんですが
どうしましょう?

178 :東海コロ助:2001/06/06(水) 20:51
あと、173でおっしゃている式は
どう導けばいいのでしょうか?
不等号の表す意味は何なんでしょう?

179 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:56
>>178
2点(0,y),(t,t^2)の距離の2乗=t^2+(t^2-y)^2
x軸と(t,t^2)の距離の2乗=t^4

t^2+(t^2-y)^2≧t^4
となっていれば(0,y)は円の中にはいるだろ



180 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 20:59
>>177
判別式D/4=y(2x^2+2y^2-y)≧0
2x^2+2y^2-y=0は円だから…

181 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:03
>cos(180/7)°を解に持つ3次方程式を作ってください
これ大数の問題なの?有理数係数でってことならちょっと考えればわかる。

182 :東海コロ助:2001/06/06(水) 21:05
>180
判別式から導ける式は
y>0かつX^2+(Y−1/4)^2<=1/16
でいいですか?

183 :東海コロ助:2001/06/06(水) 21:06
y>0かつX^2+(Y−1/4)^2>=1/16
でした。すいません


184 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:11
>>182
y≧0に直してok

185 :東海コロ助:2001/06/06(水) 21:14
>184
あと、179の式からは
Y>=0とY>=1/2でいいですか?

186 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:17
!!
って何でしょう?
階上を2回するの?
[2(n-1)]!!=2^(n-1)(n-1)!
になるみたいなのですが、どうして?

187 :東海コロ助:2001/06/06(水) 21:18
>184
X>0より、Y>0とはなりませんか?

188 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:18
>>186
偶数だけ、或いは奇数だけの階乗

189 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:18
∫logx/(1+x^2)dx
を教えてください。
積分区間は0→∞です

190 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:21
>>188
偶数か奇数かは自分で決めていいんですか?
すみません、よく分かりません。
なにか、簡単な例をいくつか教えてください。

191 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:25
>>187
x>0なのか。忘れてた。
それなら原点を除くだけ。
問題文の円とx軸との接点ではy=0でしょう。

192 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:26
!!をテキストで調べたいんですが、これは索引でなんて調べれば委員でしょう?

193 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:27
>>190
6!!=6*4*2
7!!=7*5*3*1

194 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:34
>>193
なるほどっ!!分かりました。では、(2n-3)!!=(2n-3)!
desuka?

195 :191:2001/06/06(水) 21:37
違うな…

(x-t)^2+(y-t^2)^2=(t^2)^2
このtの二次式が正の解を持つ条件が答え。

196 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:40
>>194
???
{(2n-3)!!}*{(2n-4)!!}=(2n-3)! なら成立するkedo

197 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:45
194はあってますか?
それと、どうして
[2(n-1)]!!=2^(n-1)(n-1)!や
(2p+2q-2)!!=2^(p+q-1)(p+q-1)!
のように、!!を!にする時(?)、共通の係数を外にだしてn-1などのように
外に出すものでくくってたものを、階上するのでしょうか?

198 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 21:53
>>197
ほんとだ、成り立たないや・・・
∫1/(1+x^2)^n dx 『積分区間0→∞』
の問題を、x=tanθっておいて、
与式=∫cos^2(n-1)θ dθ=(2n-3)!/2^(n-1)(n-1)!*π/2
って解きたいんだが、答えがうまく合わない。
どっかま違えてます?

199 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 22:19
>>189
これは >>155 に答えが既出。

>>197
次のようなことをやっている。
8!!=8*6*4*2=(2*4)*(2*3)*(2*2)*(2*1)=2^4*4!

>>198
∫cos^2(n-1)θ dθ=(2n-3)!!/2^(n-1)(n-1)!*π/2 だと思う。
(2n-2)!/{2^(n-1)(n-1)!}^2*π/2 でも同じ。

200 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 22:40
>>199
そうですよね、答えそうなりますよね?
教科書の答えは、(2n-3)!!じゃなくて(2n-3)!になってるんですよ。
まちがってんのかな?

それと、答え既出でしたか。すみません。
1/x=tとおいて、相殺するって書いてありますが、分かりません
すみません。もうすこし、程度を下げてご教授ください

201 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 23:01
>>200
I=∫[0,∞]logx/(1+x^2)dx とする。
1/x=t と置換積分すると、
I=-∫[0,∞]logt/(1+t^2)dt
となる。すなわち、I=-I だから、I=0。

相殺するというのは、
P=∫[0,1]logx/(1+x^2)dx
Q=∫[1,∞]logx/(1+x^2)dx
とおくと、上記の置換で、P=-Q がいえる。
∴ I=P+Q=0

202 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 07:46
次の積分を教えて下さい。

∫[-1,1] x^2/(1+e^x) dx

宜しくおねがいします。

203 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 08:18
>>202
x=-tと置換してみろ

204 :202:2001/06/07(木) 08:57
>>203さま

x=-t と置換しますと、
(与積分)=∫[-1,1] t^2/(1+e^(-t)) dt
になりましたが・・・
この後どう考えればいいのでしょう?


205 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 09:42
>202
その積分は初等関数ではかけません

206 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 09:46
>>202
ヒント。
1/(1+e^x)+1/{1+e^(-x)}=1

207 :202:2001/06/07(木) 11:08
>>206さま
ヒントありがとうございます!

この解答であっているでしょうか?
「与積分をIとおく。
 x=-tと置換することにより
  I=∫[-1,1] t^2/(1+e^(-t)) dt
 と書けるので、
  2I=∫[-1,1] {x^2/(1+e^x) + x^2/(1+e^(-x))} dx
   =∫[-1,1] x^2 dx
   =2/3
 よって、I=1/3 。」

もしこれで合ってるとしても、
こんな変形、とても自力ではおもいつきません・・・

208 :205:2001/06/07(木) 12:35
fが直接積分できない場合、
(1)置換積分
(2)部分積分
(3)展開・分解(部分分数展開など)
(4)原始関数からの狙い撃ち
ぐらいしかないと思っていたが、置換したgが積分できなくても
f+gが積分できればOKという方法もあったのか

べんきょうになった


209 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 14:06
数列Α(n),Β(n)がΑ(1)=1,Β(1)=0,Α(n+1)=Α(n)−3Β(n),Β(n+1)=Α(n)+Β(n)
(n=1,2,3…)を満たすとき。

(1) Α(n)^2+3Β(n)^2 の値を求めよ。
(2)Α(n)≠0を示せ。 さらにΒ(n)/Α(n)のとる値をすべて求めよ。
(3) 整式Χ^nをΧ^2−2Χ+4で割った余りがΒ(n+1)Χ−4Β(n)であることを示し、Β(n)を求めよ。
解答をくわしくお願いします。

210 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 14:07
数列Α(n),Β(n)がΑ(1)=1,Β(1)=0,Α(n+1)=Α(n)−3Β(n),Β(n+1)=Α(n)+Β(n)
(n=1,2,3…)を満たすとき。

(1) Α(n)^2+3Β(n)^2 の値を求めよ。
(2)Α(n)≠0を示せ。 さらにΒ(n)/Α(n)のとる値をすべて求めよ。
(3) 整式Χ^nをΧ^2−2Χ+4で割った余りがΒ(n+1)Χ−4Β(n)であることを示し、Β(n)を求めよ。
解答をくわしくお願いします。

211 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 14:08
数列Α(n),Β(n)がΑ(1)=1,Β(1)=0,Α(n+1)=Α(n)−3Β(n),Β(n+1)=Α(n)+Β(n)
(n=1,2,3…)を満たすとき。

(1) Α(n)^2+3Β(n)^2 の値を求めよ。
(2)Α(n)≠0を示せ。 さらにΒ(n)/Α(n)のとる値をすべて求めよ。
(3) 整式Χ^nをΧ^2−2Χ+4で割った余りがΒ(n+1)Χ−4Β(n)であることを示し、Β(n)を求めよ。
解答をくわしくお願いします。

212 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 14:17
何回も書いてすみません

213 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 15:41
>>209
誘導に沿ってやってみた。ヘボ回答でよければ書く。
つーか(1)と(2)を使った(3)の示しかたがわからなかった。
そーいうものなのかな?

214 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 15:45
>>211
(1)
A(n)^2+3B(n)^2
=(A(n-1)-3B(n-1)^2+3(A(n-1)+B(n-1))^2
=4A(n-1)^2+12B(n-1)^2
=4(A(n-1)^2+3B(n-1)^2)
=4^(n-1)(A(1)^2+3B(1)^2)
=4^(n-1)

(2)
A(n)^2+3B(n)^2=4^(n-1)≧1>0 → A(n)>0, B(n)>0
また
B(n+1)/A(n+1)
=(A(n)+B(n))/(A(n)-3B(n))
=(1+B(n)/A(n))/(1-3B(n)/A(n))
B(n)/A(n)=C(n)とおくと
C(n+1)=(1+C(n))/(1-3C(n))
C(1)=0, C(2)=1, C(3)=-1, C(4)=0=C(1) 以後くりかえし
よって取りうる値は{-1,0,1}


215 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 15:49
>>211

(3)
[A(n+1),B(n+1)]'=[[1,1]',[1,-3]'][A(n),B(n)]'
ここで、行列[[1,1]',[1,-3]']の固有多項式がX^2-2X+4より自明


216 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 15:56
>A(n)^2+3B(n)^2=4^(n-1)≧1>0 → A(n)>0, B(n)>0

↑よーわからん

217 :132人目の素数さん :2001/06/07(木) 16:56
sin(Arccosx)=√(1-x^2)を示せ。
教えてください。宜しくお願いします。

218 :助けてSOS!:2001/06/07(木) 17:05
順列系なのでしょうか・・頭が悪いのでよくわかんないです。ただこの問題を解けるかどうかが知りたいのですがどなたかお力を貸していただけないでしょうか?

A・B・C・D・Eの5人が二人一組になり10週ごとで一つのローテーションを作成しています。それぞれが自分以外の全員と組になり、かつ2週連続担当がつづかないようにすることは可能かどうかを検討してくだちぃ。

だめな例)
AC
BD
CE
DA
EB
DC
BA
ED
CB
AE

※組が入れ替わっているが最後と最初でAが重なっているため2週連続になってしまう。


219 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 17:15
>>217
両辺自浄してsinはcosに直す□

220 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 17:21
そっか。ありがとうございます。>>219

221 :助けてSOS!:2001/06/07(木) 17:41
>>218ですが、どうも無理みたいです。
すいませんでした。

222 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 17:44
216さんと同じでなんでそうなるか解りません。

223 :213(≠214=215):2001/06/07(木) 17:56
>>214の(1)に補足

>A(n)^2+3B(n)^2
>略
>=4^(n-1)

以上がn≧2で成立するがn=1のときもokなので(以下略

224 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 17:57
>>222
A(n),B(n)は整数でしょ。
もしあるnでA(n)=0なら、3B(n)^2=4^(n-1)で
左辺は3の倍数なのに右辺はそうじゃない。
おかしい。

225 :213:2001/06/07(木) 18:01
(2)
Α(1)とΒ(1)は整数なので漸化式から帰納的に
Α(n)とB(n)はどちらも整数である。 ・・・ (c)

n=NのときΑ(N)=0と仮定する。
(1)の結果より
 3{Β(N)}^2=4^(N-1)
 ∴Β(N)=±2^(N-1)/√3
これは(c)に反するから任意のnでΑ(n)≠0が示される。

226 :213:2001/06/07(木) 18:03
(3)
整式Χ^nをΧ^2−2Χ+4で割った余りがΒ(n+1)Χ−4Β(n)であることを
帰納法で示す。(省略) ・・・ (e)

θ=π/3とするとΧ^2−2Χ+4=0の2解は
 α=(1+√3i)=2{cosθ+isinθ}
 β=(1-√3i)=2{cos(-θ)+isin(-θ)}
とおけて、
 α-β=2√3i
 αβ=4
 α^n=2^n{cos(nθ)+isin(nθ)}
 β^n=2^n{cos(-nθ)+isin(-nθ)}=2^n{cos(nθ)−isin(nθ)}

(e)でX=αとすると
 α^n=αΒ(n+1)−4Β(n) (n≧1) ・・・ (f)
(e)でX=βとすると
 β^n=βΒ(n+1)−4Β(n) (n≧1) ・・・ (g)
(e)*β−(f)*αを計算して
 β*α^n−α*β^n=4(α−β)Β(n)
 Β(n)=(β*α^n−α*β^n)/4(α−β)
    ={αβ/4(α−β)}{α^(n-1)−β^(n-1)}
    =2^n/(2√3i)[i2sin{(n-1)θ}]
    ={2^(n-1)}sin{(n-1)π/3}/√3 ・・・ (答)

227 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 18:07
(3)を順列を使わないで解いてください

228 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 18:10
>>227
行列使うなって言いたいのかな

229 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 18:12
226さん,もうちょっとスマートな解き方はないですか?

230 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 18:15
>228 はい,そういうことです。

231 :213:2001/06/07(木) 18:26
>>229
あって当然だと思うけど考えつかなくて。スマソ

(2)の結果から
 B(3m-2)/Α(3m-2)=0 ⇔ B(3m-2)=0
 B(3m-1)/Α(3m-1)=1 ⇔ B(3m-1)=Α(3m-1)
 B(3m)/Α(3m)=-1 ⇔ B(3m)=-Α(3m)
とかを使うのかな・・・

>>226の結果から推測するに
6(5)パターンの場合分けが要るような・・・
一回で済むというのが226の利点。あとは他の人に。

232 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 18:29
231さん、本当にありがとうございました。

233 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 20:06
p>0のとき、∫[0,+∞]exp^(-cx^p) dx=Γ(1+1/p)
を誰か、証明してください。
僕は、部分積分、∫[0,+∞]x^a*exp^(-cx^b) dx=1/bc^[(a+1)/b]*Γ(a+1/b),
Γ(p+1)=pΓ(p)を使いましたが、答えとあわないんです・・・(;´Д`)



234 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 20:49
>>224
>A(n)^2+3B(n)^2=4^(n-1)≧1>0 → A(n)>0, B(n)>0

でも↑コレは嘘でしょ

235 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 20:50
最近、やたら積分してくれって質問が多いけど、
公式集かマスマティカとかつかったらどう?
びんぼーにんども!


236 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 21:08
>>235
すみません。
では、どのようなものを買ったらいいか指南してください。(公式集、マスマチカ)
詳しく教えてください。明日にでも買います。
ちなみに、工学部1回です。
で、マスマティカとは、何ですか?


237 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 21:25
>>236
数式処理ソフトです。
http://www.wolfram.com/
生協とかで学生版が売ってるはずです。3万円くらい

238 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 21:28
十分統計量を見分ける因子分解定理の証明ってどうやるんですか?
教えてください
あと完備十分統計量って何ですか?

239 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 23:11
>>233
>∫[0,+∞]x^a*exp^(-cx^b) dx=1/bc^[(a+1)/b]*Γ(a+1/b)
これが正しいみたいだね。
∴ ∫[0,+∞]exp^(-cx^p) dx=1/c^(1/p)*Γ(1+1/p)

240 :132人目の素数さん:2001/06/07(木) 23:26
>exp^(-cx^b)

sin^θを見るような違和感。
exp(x)=e^xなのでexp(-cx^b)と書いておくれやす。

241 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 01:10
ほかのスレでも聞いてるんですけど、
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem.cgi/t2/math?page=2
問題は'98東大後期の第3問(2)です(問題は↑これ、解答は↓これです。)
http://www.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/answer.cgi/t2/math?page=5
解答のなかで「B_n∩W_n=φ」というところがわかりません。
これは自明なんでしょうか?

242 :233:2001/06/08(金) 05:59
>>239
僕も、その解答になりました。
この教科書、誤植多すぎ・・・今回の宿題の答えだけで3箇所も。
答えが違うからどれだけ計算しなおしたか・・・

243 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:09
45、87、150、の3つの数字をある整数で割ると同じ余りがでる。割る数の中で最大のものを求めよ。

整数問題だと思うのですが
ちょっとつまってしまいました。
お願い致します

244 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:22
>>243
もとめる自然数をnとしrを共通の余りとすると
45=an+r,87=bn+r,150=cn+r
から42=87-45,105=150-87はnの倍数であることが必要。
(十分性もがんばるといえる。)最大公約数は42。
十分性はうえの(...)のなかをがんばってしめしてもいいけど
ちょくせつ割り算してもすぐわかる。

245 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:23
>>244
しまった。最大公約数は21だ。あほみすした。スマ。

246 ::2001/06/08(金) 22:26
「cos(π/7)が解である(係数が有理数の)3次方程式を作れ」
結局解けませんでした、、、
誰か教えて

247 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:31
いくつかの数値が与えられたときに
それらの総和/2に最も近くなるような組み合わせを探す
アルゴリズムを知りたいのですが。

248 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:35
1:連続な全単写で、同相写像にならないものを求めよ。

2:f(x)=x^2*y/|x|+y for(x,y)≠(0,0) , f(0,0)=0
が連続であることを、ε−δ論法によって示せ。必ずεに対して
δをどれだけ小さくとればよいかを具体的に書け。三角関数や微分は
使うな。

困っちゃいました。助けてください。

249 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:36
>>246
α=π/7として
 sin4α=-sin3α
の両辺を(cosαの式)sinαに変形してsinαでわればよし。

250 :248:2001/06/08(金) 22:38
失礼。2:は f(x,y)= でした。


251 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:39
>>246
π/7=θとおくと7θ=πからcos3θ=cos(π-4θ)すなわち
cos3θ+cos4θ=0となる。あとは倍角の公式でcos3θ+cos4θ
をcosθで表して(cosθ+1)でくくればでるはず。


252 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 22:52
おれ>>249
スマsin4α=sin3α
だ。>>251でもいけるね。お好きなほうをどうぞ。

253 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 23:06
>7=2466
>「cos(π/7)が解である(係数が有理数の)3次方程式を作れ」
>結局解けませんでした、、、

わかんなけりゃ白紙で提出しろ。学コン厨氏ね。

254 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 23:08
>>7
君の周りに数学マニアとかいないの?
そいつに聞けば?(w

255 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 23:35
xy平面上の曲線K:x^2+2bxy+2y^2=√2ーbを、原点を中心として反時計回りにθだけ回転して得られる曲線の方程式をAx^2+2Bxy+Cy^2=√2ーbとする。ただし、ーπ/4≦θ≦π/4とする。
(1)B=0となるとき、tan2θをbを用いて表せ。
(2)Kが楕円となるようなbの値の範囲を求めよ。
(3)(2)で求めたbの範囲で、Kの焦点と原点との距離が最小となるようなbの値を求めよ

上記の問題がわかりません、、
どなたかよろしくお願いします

256 :132人目の素数さん:2001/06/08(金) 23:42
>>241
自明じゃないと思う。解答者が勘違いしているんじゃないのか。
それとも、なにか簡単な根拠があるのかな?

「B_n∩W_n=φ」自体は正しい。
証明できたけど、俺のやり方ではかなり面倒。

257 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 00:36
>>254

いまごろだれに返答しているんだ?
この基地外は(笑)


258 :(゚д゚)ハァ?:2001/06/09(土) 00:40

246 名前:7 投稿日:2001/06/08(金) 22:26
「cos(π/7)が解である(係数が有理数の)3次方程式を作れ」
結局解けませんでした、、、
誰か教えて

259 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 00:40
>>257
読みが甘いな。
7は246として再びこの地に舞い降りたのさ

260 :257:2001/06/09(土) 00:46
>>258-259
そりゃ変だねぇ
7を投稿したのは私なんだけど
246は投稿していない



261 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 00:48
7≠7

262 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 00:51
>>260
どっちにしたって同じことさ。
別人だろうと自作自演だろうと結局は叩かれ引き篭もり
バスをのっとるんだろ(w

263 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 00:53
>>262

馬鹿発見!


264 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 01:02
結論:7は今井ということでよろしいですね?

265 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 01:39
>>264

*************** 警 告 *******************
 
   264より、うじ虫が検出されました!

*******************************************



266 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 02:10
荒らすなボケ。
学コンうぜーよ

267 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 02:24
学コンだってさ・・・
これしかしらないんだね
ぷぷっ


268 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 02:27
△ABCで次を示せ
sinA+sinB+sinC≧sin2A+sin2B+sin2C


269 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 04:47
一辺の長さが10センチメートルの正三角形に
同半径の円が3つ内接している(円同士も接しあっている)。
このとき、3つの円の面積の合計はいくらか (95福岡工大改)

このもんだいがどうしてもわからないです。。。
1時間考えてるのに。。。


270 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 05:08
>>269
オイオイまじかよ

円の半径をrとすれば、
円の接点と,三角形の頂点との長さは、(√3)r
円の接点と,となりの円の接点との長さは、2r
つーことで、(2√3)r+2r=10 → r=(5/2)*(√3-1)
あとはできるだろ

つーかこれ中学数学じゃないの?


271 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 05:09
>>269
内接円の半径をxとしたら、
root(3)*x+x+x+root(3)*x=10
となるだろ?

272 :127人目の素数さん:2001/06/09(土) 05:26
京大の梅田助教授ってどこの大学出身ですか?

273 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 06:56
>>248
(1) [0,2π) から、単位円への写像を次のように定めればいい。

 t → (cos t, sin t)

(2) f(x,y)=(|x|+1)*y なんだから、簡単すぎるぞ。

274 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 08:52
多項式関数は無限回微分可能というのがどうもいまいち掴めないんですが・・・

例えばn次多項式関数f(x)があるとします。
このnは当然有限値です。(n<∞)
これをn+1回微分すると定数関数f(x)=0になっちゃいますよね。

これをさらに、何回微分しても0のまんまだから無限回微分可能、
という理解でいいんでしょうか?なんか怪しい気がする・・・


275 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 09:09
メビウスの輪と円柱の側面が位相同型でない事を証明する時は如何すれば良いんでしょうか?
トポロジーの問題は概念が抽象的だったり、想像しにくかったりで分かりにくいです。
よろしければ誰か教えてください。

くだらない問題スレの方にも書いたんですけど誰も教えてくれなかったので。
これで駄目なら諦めます。

276 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 10:18
>>274

いいんだよ。

277 :248:2001/06/09(土) 10:43
>>273
すいません。
2:f(x,y)=(x^2*y)/(|x|+y^2)   for(x,y)≠(0,0) , f(0,0)=0
が連続であることを、ε−δ論法によって示せ。必ずεに対して
δをどれだけ小さくとればよいかを具体的に書け。三角関数や微分は
使うな。

でした。まったくわからないのでお願いします。




278 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 15:41
>>275
この答えはかんがえてるカテゴリー、定義で答えがぜんぜん
ちがいます。あなたの証明したいカテゴリーと定義を
明らかにしてください。

279 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 15:57
すげぇくだらん質問なんだけど、
半径Rの円の周上をすべることなく、
 1)半径Rの円が
 2)半径R/2の円が
 3)半径R/3の円が
一回転するとき、転がす円の周上の点Pは何回転する?


280 :(m\m):2001/06/09(土) 16:24
a(1)=0, a(n+1) = (n+1)a(n)−(−1)^n

の一般項は求めることは可能でしょうか?
(n+1)!で割ったりしても出来ないぽい・・・
あるいは a(n)=b(n)+α+βn+γn^2+・・・ みたいな感じで
普通の漸化式に持ち込めないのかなぁ

281 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 16:54
>(n+1)!で割ったりしても出来ないぽい・・・

できそうじゃん。シグマが消えないかもしれないけど。

282 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 18:33
(X,d1),(X,d2)を距離空間とする。ある正の実数C1,C2(C1≦C2)
が存在して、すべてのx、y∈Xに対しC1d1(x,y)≦d2(x,y)≦C2d1(x,y)
を満たすとき、距離d1とd2によって定まる位相は同じであることを示せ。

なんとなく簡単そうなんだけどわかんないよぉ。

283 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 18:55
{y∈X ; d1(x,y)<ε}⊂U ⇒ {y∈X ; d2(x,y)<C2ε}⊂U
よって(X,d1)の開集合は(X,d2)の開集合、その逆も
{y∈X ; d2(x,y)<ε}⊂U ⇒ {y∈X ; d1(x,y)<ε/C1}⊂U
から言える

284 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 21:48
>>278
すいません、問題にはそのくらいしか書いてなかったんですよ。
岩波のトポロジーって本に載っていたんですけど。
この分野は始めたばかりなので定義とかカテゴリーとか言われてもちょっと…
ある図形とある図形が位相同型ならオイラー標数も同じだとかその辺の問題なんですが。

285 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 22:13
>>284
なるほど。しかしアニュラスA=S^1×IとメビウスバンドMは
ホモトピー同値なのでその手の不変量では区別がつきません。
しかし質問の趣旨はだいたいわかりました。では位相空間Xに
たいし∂Xを

 ∂X={x∈X|xは[0,1)×(0,1)に同相な単連結近傍をもつ}

と定義して∂A≡S^1∪S^1,∂M≡S^1をしめすというのは
どうでしょう?(≡は同相のつもり)

286 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 23:03
>285
凄く馬鹿な質問するかもしれませんが、
xの単連結近傍っていうのは開集合です…よね?
もしそうなら[0,1)×(0,1)と同相になるんでしょうか?

それともう一つ。
これまた馬鹿な質問かもしれませんけど、
I^2からアニュラスAを作る際に同一視する部分を考えると
一次元が半開区間になりそうなのは分かるんですけど
もう一つの要素は開区間にしてしまって良いのでしょうか?
もしかしたら根本的に感違いしてるかもしれませんが。

でも一応方向性は掴めたつもりなので、もう一回本読み直して頑張ってみます。
ありがとうございました。

287 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 23:16
>>277
やり方はいろいろありそう。以下は一例。

|x|<a, |y|<a のとき、|f(x,y)| を評価する。

(1) x=0 のとき。
このときは、|f(x,y)|=0

(2) x≠0 のとき。
|f(x,y)|=x^2*|y|/(|x|+y^2)≦x^2*|y|/|x|=|x|*|y|

いずれにせよ、次のことが成立する。
|x|<a, |y|<a ⇒ |f(x,y)|<a^2

∴ δ=√ε と取ればよい。

288 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 23:30
>>286
なるほど。あなたの定義ではアニュラスやメビウスバンドは
I^2の商空間として定義してるんですね。ではその空間が以下の
空間

 A={(r,θ,z)|r=2,-1≦z≦1}
 B={(r,θ,z)|z^2+r^2≦1,rcos(θ/2)+zsin(θ/2)=0}

と同相であることをしめしてみればどうでしょう?そうすると
>>285の∂Xという記号をつかえば

 ∂A={(r,θ,z)|r=2,z=±1}
 ∂B={(r,θ,z)|z^2+r^2=1,rcos(θ/2)+zsin(θ/2)=0}

であることがしめせるはずです。
ちなみにメビウスバンドやアニュラスは2次元境界付き多様体と
よばれるもので各点の単連結開近傍は(0,1)×(0,1)または
(0,1)×[0,1)と同相になります。前者のあつまりを内点集合、
後者の集まりを境界集合とよびます。∂Xは境界集合をあらわす
記号です。いろいろな本で紹介されているのでしらべてみて
ください。

289 :132人目の素数さん:2001/06/09(土) 23:40
Σ の (i C k) ・(n C 2i) の i が k から n/2 までを計算すると、

n*(n−k  C  k)/(n−k)*2^(n-2*k-1)になることを示せ


どなたかよろしくお願いします。
どうやっていいやら見当もつかなくて

290 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:07
>>274
・多項式関数の集合:R[x]
・解析関数の集合:C^ω
・無限回微分可能関数の集合:C^∞
・連続関数の集合:C^0
のように関数を分類すると、
R[x]⊂C^ω⊂C^∞⊂C^0
となっているので自明。


291 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:11
α、β、γはα>0、β>0、γ>0
α+β+γ=πを満たす
このときsinαsinβsinγの最大値を求めよ

京大の問題ですがうまくいきません。
どなたかよろしくお願い致します

292 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:16
>291
がいしゅつ
しね


293 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:22
>>289
ひんと

(1) Σ_[k=0,n]C[n,k] は?
2項定理より
(1+x)^n=Σ_[k=0,n]C[n,k]x^k
x=1を代入
2^n=Σ_[k=0,n]C[n,k]

(2) Σ_[k=0,n]k*C[n,k] は?
(1+x)^n=Σ_[k=0,n]C[n,k]x^k
2項定理より
(1+x)^n=Σ_[k=0,n]k*C[n,k]x^(k-1)
xで両辺を微分
n*(1+x)^(n-1)=Σ_[k=0,n]C[n,k]x^k
x=1を代入
n*2^(n-1)=Σ_[k=0,n]k*C[n,k]


294 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:22
log(sinα) + log(sinβ) + log(sinγ) ≤ 3log(sin((α+β+γ)/3)) = 3log(sin(π/3))

295 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:25
>>292
291じゃないけどこの問題がいしゅつか?
レス見たけどみあたらないよ

296 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:33
>>279を教えていただくわけには行かないのか知らん?

297 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:35
>>290>>274への説明になってるのか????

298 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:36
よくさがせ
ばか!
つーか、月に1度必ずこの問題を書く厨房がいるな。


299 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:39
>>279
紙・定規・コンパス・ハサミがあれば実験できるでしょ。

300 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:43
|x|≦1、|y|≦1のとき
関数f(x,y)=(y^2)-xy+2y-x+2
はx=@のとき、y=Aのとき、最小値Bをとり、x=Cのとき、y=Dのとき最大値Eをとる。
空欄に数字をいれよ

関西学院の問題ですがどうやっていいか全然わかりません。
どなたか教えてください
よろしくお願いします

301 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 00:48
>>298
われず厨房のクイズだからな(w

302 :295:2001/06/10(日) 00:58
>>298
どこのスレにあるの?


303 :>295:2001/06/10(日) 01:03
で、今回の割れは何?

304 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 01:06
>>279
正方形で考えればいいかな


305 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 01:06
>>291
別にがいしゅつじゃないだろ。
変な荒らしがいるだけ。

3√3/8が正解だと思う

306 :ワレザー:2001/06/10(日) 01:11
Lagrangeの未定乗数法を使え
ワレズのクイズとしては不正解だが

307 :291:2001/06/10(日) 01:18
>>305
どうもありがとうございます。
でもどうやって解かれたのでしょうか?
できれば導き方も教えて頂けないでしょうか?

308 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 02:04
この問題が解けません。教えてください。

三角形ABCについて次の等式が成り立つことを証明せよ。
sinA+sinB+sinC>=sin2A+sin2B+sin2C

309 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 02:39
>>308
A+B+C=π ならば、
sinA+sinB+sinC=4*(cos A/2)*(cos B/2)*(cos C/2)
sin2A+sin2B+sin2C=4*(sin A)*(sin B)*(sin C)
が成立する。

2番目の式の右辺に半角公式を適用すれば、示すべき不等式は、
(sin A/2)*(sin B/2)*(sin C/2)≦1/8
となる。

あとは、>>291 >>294 のまねをする。

log(sin x) は、0<x<π/2 の範囲で上に凸。

∴ log(sin A/2)+log(sin B/2)+log(sin C/2)≦3*log(sin{(A/2+B/2+C/2)/3})=log 1/8

310 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 02:44
>>308
これ受験数学の範囲でとくのはけっこうむずいね。
まずf(A,B,C)=sinA+sinB+sinC-sin2A-sin2B-sin2Cとおいて
Aを固定しBの関数とおもって最小値をもとめる。CはC=-B+(π-A)
にしたがって変化する。sinA-sin2Aはことのき定数だからのこりの
4項だけを計算する。和積公式などをつかえばそれは(B-C)/2=θとおくと
 2sin{(B+C)/2}(cosθ-2cos(B+C)/2・cos2θ)
 =a{(cosθ-b)^2+c}
の形になる。(やってみそ。)a<0,b>0が示せるので上はθ=0の
とき最小となる。(cosθにかんする2次式とおもえば上に凸で軸が
左よりになるから。わかるよね?)よってAを固定したときf(A,B,C)は
B=C=(π-A)/2のとき最小となる。そこでg(A)=f(A,(π-A)/2,(π-A)/2)
とおいてこれの最小値をもとめる。微分してもいいし、倍角の公式を
何度かつかえばg(A)=2cosα(sinα-1)^2(sinα+1)となる。
(ただしα=A/2。)これはα=π/6のとき(i.e.A=π/3のとき)最小値0
をとる。ゆえにg、よってfの最小値は0。

311 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 02:46
おら310
>>309
うわ!カコイイ!こんなときかたあったのか!はづかし!!

312 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 03:06
291って結局どう解くのでしょうか、、

313 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 03:22
>>300
f(x,y)=-(y+1)x+(y^2)+2y+2
まず、y を定数とみる。
-(y+1)≦0 なので、この関数は、x について単調減少。
最大:f(-1,y)=(y^2)+3y+3
最小:f(1,y)=(y^2)+y+1
(ただし、y=-1 のときは、x に何を入れても同じ。論述ならこの点を
きちんと押さえておく必要がある)

f(-1,y) で y を動かして最大を求め、
f(1,y) で y を動かして最小を求める。

314 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 03:24
>>308
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=ED&action=m&board=1834900&tid=bft3xad5a1a6a3aa1a1ad6a1a6a3ba1a1ad7a1a6a3ca4ka4da4a4a4fa4nbcald&sid=1834900&mid=789


315 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 04:04
>>255
(x,y) をθ回転した点を (X,Y) とする。
x=(cosθ)X+(sinθ)Y
y=-(sinθ)X+(cosθ)Y
これを、曲線Kの式に代入すれば、回転後の曲線の式がわかる。
B=2b*(cos 2θ)-sin 2θ となるから、tan2θ=2b のとき B=0。

B=0 のとき、A+C=3, AC=2-b^2 となっている。
(直接計算しても示せるが、一般に、回転により
ax^2+2bxy+cy^2 → Ax^2+2Bxy+Cy^2
となるなら、a+c=A+C, ac-b^2=AC-B^2 であることは有名)

Ax^2+Cy^2=D が楕円である条件は、A,C,D の符号が一致しているとき。
(ただし、A=C なら楕円でなく円になる)
本問では、A+C=3 より、すべてプラス。
このためには、AC>0, √2-b>0 が必要十分。

楕円 Ax^2+Cy^2=D について、原点と焦点との距離を d とすると、
d^2=│D/A-D/C│
になることは難しくない。

316 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 04:08
>>315

積分領域がかわっちまうが、どーやって積分すんだよ


317 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 04:58
次の方程式の解を教えて下さい。
x=1/(1+1/(1+1/(1+x)))

318 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 05:10
>>317
x=1

319 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 05:15
>>315
がんばって整理すると、
x^2+x-1=0
になる。
高校生なら、正直に計算するしかなさそう。

320 :319:2001/06/10(日) 05:16
>>315 じゃなくて >>317 だった。

321 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 05:17
>>317
x^2+x-1=0の解。連分数がどこまで続いても解は同じ。

322 :315:2001/06/10(日) 05:22
>>316
ん? 何の話だ?
もしかして、>>25 と勘違いしているのか?

323 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 05:22
杷(x)*Δx≠∫f(x)dx やと思うんやけどどうや。

324 :99京大後期理系2番:2001/06/10(日) 05:50
>>291
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589&st=869&to=870&nofirst=true
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=981372834&st=564&to=564&nofirst=true

325 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 06:39
>>323
なんのこっちゃ?

326 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 10:10
sinA+sinB+sinC>=sin2A+sin2B+sin2C・・・(1) って
内接円の半径をr、外接円の半径をRとした時、
R>=2rが成り立つってことに等しいでしょ。
R>=2rは初等的に示せないかな?
それとも(1)が示せて、初めてR>=2rが言える?

327 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 13:32
必要性から十分性を絞る全称問題をやっているのですが
図書館情報大の問題と東工大の問題を質問させてください。
この分野がどうも苦手でして御手を煩わせて申し訳ありません。

[図書館情報大]
0以上の整数nについて、
{2^(3^n)}+1は何回3で割り切れるか?

[東工大]
x.y.z.wを正数とする。
任意の正数m.nに対して
([{x^(1/m)}+{y^(1/m)}]^n)+([{z^(1/m)}+{w^(1/m)}]^n)
=([{x^(n/m)}+{z^(n/m)}]^(1/n)+[{y^(n/m)}+{w^(n/m)}]^(1/n))^n
が成り立つための必要十分条件を求めよ

328 :焼肉野郎:2001/06/10(日) 13:39
291の京大後期の問題をラクランジュの未定乗数法使うと
どういうすばらしい解答になるのでしょう?

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589&st=869&to=870&nofirst=true
↑の解答は使ってませんよね


329 :竹田篤史:2001/06/10(日) 14:02
ラグランジュの未定乗数法という定理を使っては?詳しくは
東京大学出版会の解析演習95ページをどうぞ。
4,5分もあれば解けると思いますよ。

330 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 14:09
f(α,β,γ)=sinαsinβsinγ-λ(α+β+γ-π)
とおいて、α、β、γで偏微分、出てきた3つの方程式と付帯条件からλ、α、β、γを求める

こんな感じ?

331 :331:2001/06/10(日) 15:37
>>327
>[東工大]

とりあえず m=1、n=2 で考えたら?
(おまけ)一般には「≦」が成り立ちます。
「=」を「≦」に置き換えた式は、ふたつのベクトル
(x^(1/m), z^(n/m))と(y^(1/m), w^(1/m))
に関する(n 乗平均ノルムでの)三角不等式そのものです。

[図書館情報大]のほうは考えてないです。

332 :331:2001/06/10(日) 15:39
>>331
誤:(x^(1/m), z^(n/m))
正:(x^(1/m), z^(1/m))

333 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 16:00
>>329
誰にレスしてるの?


334 :tr:2001/06/10(日) 16:14
>>327 の図書館情報大
  2^(3^n) + 1 = (3-1)^(3^n) + 1
と 2項展開するといいみたいですよ。

335 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 16:26
>>327
>0以上の整数nについて、
>{2^(3^n)}+1は何回3で割り切れるか?

n=0,1,2と代入して一般解を予想→証明

336 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 16:55
>>335
多分それだと簡単すぎる。
なんか特殊性があると思う

337 :331:2001/06/10(日) 17:07
おまけの話は n≧1 という条件のもとでは正しいけど
0<n<1 の場合は駄目かもしれないです。すんません。

338 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 18:16
>>336
{1+2^(3^k)}が3で(k+1)回割り切れる、つまり、
1+2^(3^k)=3^(k+1)*(3m±1)=3^(k+1)*Mと仮定する。

 1+2^(3^(k+1))
=1+2^(3*3^k)
=1+(2^3k)^3
=1+[{3^(k+1)*M}-1]^3
={3^(k+1)*M}^3-3*{3^(k+1)*M}^2+3*{3^(k+1)*M}
={3^(k+2)}*M*[1+3*{(3^2k)*(M^2)-(3^k)*M}]
       ↑          ↑
       どちらも3で割り切れない

339 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 18:20
>>336は何を言いたいんだ?????

340 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 18:46
>>289
複素解析まで援用して解いたんだけど・・・。これ、簡単にできるものなのか?
>>293 は解答を持っているの?

2項定理より、
(1+1/x)^n=C[n,0]+C[n,1](1/x)+C[n,2](1/x)^2+… ・・・(1)

1/(1-x)=1+x+x^2+… を k 回微分して、
1/(1-x)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x+C[k+2,k]x^2+…
x を x^2 で置き換えると、
1/(1-x^2)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x^2+C[k+2,k]x^4+…・・・(2)

(1) と (2) を掛け合わせたとき、右辺の (1/x)^(2k) の係数が、求める和。
それを S とおく。留数定理より、
S={1/(2πi)}(1+1/x)^n/(1-x^2)^(k+1)*x^(2k-1)dx
である(積分の経路は、複素平面上、反時計回りに原点をまわる小さな円)。

1/x=z と置換積分。
S={1/(2πi)}(z+1)^n/(z^2-1)^(k+1)*zdz
積分の経路は、反時計回りにまわる大きな円。

(z+1)^n/(z^2-1)^(k+1)*z=(z+1)^(n-k-1)/(z-1)^(k+1)*z
なので、極は z=1 のみ。見やすいように z-1=u と置き換えると、
(u+2)^(n-k-1)*{(u+2)-1}/u^(k+1)={(u+2)^(n-k)-(u+2)^(n-k-1)}/u^(k+1)
であり、分子を展開して、1/u の係数を調べることから、留数は、
C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1)
とわかる。

∴ S=C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1)

341 :駄馬:2001/06/10(日) 20:20
1,媒介変数表示 x=2cosθ+1、y=3sinθ-1はどんな曲線を
 表すか。
2,媒介変数表示 x=3/cosθ、y=4tanθは
 どんな曲線を表すか。
3,tは媒介変数とする。
 媒介変数表示 x=1-t^2/(1+t^2),y=6t/(1+t^2)
 はどんな曲線を表すか。
4,双曲線x^2-y^2=1と直線y=t(x-1)との交点について考え、
 この双曲線を、tを媒介変数として表せ。
多くてすみませが、どうかよろしくおねがいします。

342 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 20:22
有界ってどういうことなんですか?
サインは有界で、x^2は下に有界で、タンジェントは有界じゃ
ないで、あってますか?
う〜ん、よく分からん・・・

343 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 20:30
>>342
値域が有限の範囲であるって事。


344 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 20:36
>>343
で、例はあってるの?
もう少し簡単に説明&例を少しお願いします。

345 :343:2001/06/10(日) 21:28
>>344
合ってますよ。
下か上かというのは、グラフの形を見れば良いんじゃないかな?
下に有界というのは、値域の下限が有限の値である
ということです。
例えばy=x^2の値域は(0<=x)で、値域の下限値が有限値です。

346 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 21:42
>>345
分かりました!親切にありがとうございました。
確実にしたいので、もうちょっと聞いていいですか?
x^3は有界じゃない、指数関数は下に有界、対数関数は有界じゃない
って感じですよね?

347 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 22:03
複素数を勉強しているのですが
組立除法の左上はどうやって決めるのですか?

348 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 22:05
順番に適当なの代入して見つける。

349 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 22:06
>>348
分数の時も適当で代入ですか?

350 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 22:14
君、高1?2?
定数項の約数かなんか考えたら?

351 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 23:11
(2x+3y)(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)(4x^2-6xy+9y^2)
の展開がどうしても合わないんですが、
{(2x+3y)(2x-3y)}^3としたらいけないんですか?

352 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 23:39
(2x)^2=A (3y)^2=B とおくと、与式は
(A-B)(A+√AB+B)(A-√AB+B)=(A-B)(A^2+AB-B^2)=A^3-B^3

353 :132人目の素数さん:2001/06/10(日) 23:50
>>351
一寸違わない?
(4x^2+6xy+9y^2)>>>(4x^2+12xy+9y^2)
と思われる。

354 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 00:42
f:X→Yを連続写像とし、AをXの稠密な部分集合とすれば、
f(A)はf(B)で稠密であることを示せ。

ありゃーさっぱり。誰か『解答』を教えてください。

355 :T・S:2001/06/11(月) 01:02
X-2y=3と2x+y=0を連立方程式でといたらなんでX=3/5、y=-6/5になるんですか?
普通はそうならないとおもうんですけど、私の解き方がまちがっているんでしょうか?
連立方程式でとくものではないとか?
*チャート式解法と演習BEST数学U+BのPRACTICE3の(1)の問題

356 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 01:10
>>355
>X=3/5、y=-6/5になるんですか?

これでOK。

>私の解き方がまちがっているんでしょうか?

まちがってるっつーか計算ミスがあるんでせう。
どうやったのか書いてみなんしょ。

357 :名無しさん:2001/06/11(月) 01:13
>>354
距離空間の話?
っていうかf(B)って何?

f(A)がYの稠密な部分集合というのを示したいのではないかと思ったんだけど。

358 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 01:15
f:X→Yを連続関数とし、AをXの稠密な部分集合とすれば、
f(A)はf(X)で稠密であることを示せ。

でした。すいません。


359 :357:2001/06/11(月) 01:15
訂正。

f(A)がf(X)の稠密な部分集合というのを示したいのではないかと思ったんだけど。


360 :ぴんちくん:2001/06/11(月) 01:18
宿題なのですが困ってます。

Bnは単調増加で∞に発散する数列
このとき
An+1 - An / Bn+1 - Bn → c (n→∞)
ならば
An / Bn → c (n→∞)
を示せ

という問題なんですがよく分かりません。
分かる方はいらっしゃるでしょうか?

お願いします。

361 :名無しさん:2001/06/11(月) 01:22
>>358
距離空間なら点列を取ったらどう?

362 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 01:26
>>361うーん、もっと具体的に教えてください・・・・・


363 :名無しさん:2001/06/11(月) 01:31
>>362
∀k∈f(X)に対して、kに収束するような集合f(A)の点列{a_n}を取れるんじゃないの?

364 :341:2001/06/11(月) 02:03
341です。最初の2問は解けたのですが、残り2問が
どうしても解けません。
お願いします。

tは媒介変数とする。
媒介変数表示 x=1-t^2/(1+t^2),y=6t/(1+t^2)
はどんな曲線を表すか。

双曲線x^2-y^2=1と直線y=t(x-1)との交点について考え、
この双曲線を、tを媒介変数として表せ。


365 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 02:14
>>341
(3) x=1/(1+t^2) なので、y=6tx が成立。t=y/(6x) を元の式に代入して、t を消去。
整理すると楕円の式になる。(正確には、x≠0 の条件が付く)。

(4) 2式から y を消去して、x^2-{t(x-1)}^2=1 。これは、(x-1){(1-t^2)x+t^2+1}=0
と因数分解できる。x=1 の方は無視して、x=(t^2+1)/(t^2-1) を採用。
このとき、y=t(x-1)=2t/(t^2-1) 。
∴ ((t^2+1)/(t^2-1),2t/(t^2-1)) は双曲線上の点。

366 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 02:17
>>360
∀ε>0、∃N;n≧N⇒|(A_{n+1}-A_n)/(B_{n+1}-B_n)-c|<ε
これより
(c-ε)(B_{n+1}-B_n)<A_{n+1}-A_n<(c+ε)(B_{n+1}-B_n)
この式をnについてNからmまで和をとると
(c-ε)(B_m-B_N)<A_m-A_N<(c+ε)(B_m-B_N)
各辺をB_mでわって
(c-ε)(B_m-B_N)/B_m<(A_m-A_N)/B_m<(c+ε)(B_m-B_N)/B_m
ここでlim[m→∞]B_m=∞より上式でm→∞として
c-ε<lim[m→∞]A_m/B_m<c+ε
ε>0は任意だから
lim[m→∞]A_m/B_m=c
間違ってるかもしれんので参考程度でたのむ


367 :341:2001/06/11(月) 02:19
ありがとうございます!
助かりました。

368 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 03:03
>>366
ちょっとだけ追加。

>各辺をB_mでわって

B_m>0が言えてないので・・・

>Bnは単調増加で∞に発散する数列

↑から、∃M;n≧M⇒B_n>0
Max{M,N}を新たにNとして以下同文、でどうでしょう。

369 :366:2001/06/11(月) 03:27
>>368
いいと思います thanx!


370 :ぴんちくん:2001/06/11(月) 06:55
>366さん、368さん
ありがとうございました。
参考にしてもう一回自分でも考えてみます。

371 :foolman:2001/06/11(月) 08:59
n
Σ e^ikx   を教えてください。
k=0

372 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 09:06
>>371
ただの等比級数じゃん。

373 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 09:26
>>371

Σ[k=0,n]e^(ikx)
=Σ[k=0,n](e^(ix))^k
=(1-e^(i(n+1)x))/(1-e^(ix))


374 :foolman:2001/06/11(月) 09:50
>>372-373
どうもありがとうございました。

375 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 11:28
ある高校の生徒20人についてスポーツの調査をしたところ、テニスをしている者が18人
スケートをしている者が15人、スキーをしている者が10人、ゴルフをしている者が6人であった。
以上のことから判断して確実にいえるのは次のうちどれか。
1)テニスだけをしている者は3人いる。
2)テニス、スケート、ゴルフの3つをしている者は少なくとも1人はいる。
3)テニス、スケート、スキーの3つをしている者は少なくとも3人いる。
4)テニス、スケート、スキー、ゴルのいずれもしていないものは1人もいない。
5)テニス、スケート、スキー、ゴルフの全部をしている者は少なくとも2人いる。

わかんねーよ。

376 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 12:20
>>375
スケート、ゴルフの2つをしている人は少なくとも5人いる。(1)
15+10−20=5
テニスをしていないものは多くても2人しかいない。(2)
20−18=2
(1)の5人のうち(2)の2人がすべてに含まれていても
のこりの3にんはテニス、スケート、スキーの3つをしている。


377 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 16:21
どうやってそういう方針を思いつくの?

378 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 16:34
便酢と不当四季

379 :T・S:2001/06/11(月) 16:56
>>356
問題自体をまちがえていました(鬱だ)
まあ、とりあえずありがとうございました。

380 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 17:22
>>375
方式からして入社試験か公務員試験か?

381 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 20:53
age

382 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 21:03
集合 V={{a(n)}| a(n+2) + pa(n+1) + qa(n) = 0 }が、ベクトル空間であることを示せ。

また、Vに属する任意の数列が、
(a(1),a(2)) = (1,0)、(a(1),a(2)) = (0,1) で決まる数列{α(n)}、{β(n)}の
1次結合であらわされることを示せ。

383 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 21:06
すいません、この京大の問題を教えてください

(1)A≧1、B≦1である任意の正数A.Bに対して
A+B≧1+ABとなることを示せ

(2)A(1)・A(2)・.........・A(n)=1である任意のn個(n≧2)の正の数A(1)、A(2)、.......A(n)に対して
A(1)+A(2)+.....+A(n)≧nを示せ

よろしくお願いします

384 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 21:14
>>383
京大ってほんと?これが?

(1)A≧1、B≦1から(A-1)≧0、(1-B)≧0、(A-1)(1-B)≧0 ←これを展開する
(2)相加相乗平均{A(1)+A(2)+.....+A(n)}/n≧{A(1)・A(2)・.........・A(n)}^(1/n)=1

385 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 21:16
>>383
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592&st=215&to=215&nofirst=true

386 :寝不足:2001/06/11(月) 21:18
連続する2つの奇数の大きい方の数の2乗から小さい方の数の
2乗をひいた差は、8の倍数になります。このことを、2つの奇数を
2π+1,2π+3として証明しなさい。

387 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 21:20
>証明しなさい。

・・・(藁

388 :383:2001/06/11(月) 21:21
>>384
(2)は帰納法を使って示せと書いてありました(汗
ごめんなさい。

ソウカソウジョウはとてもきれいな答えですね。
めもらせていただきます


389 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 22:38
>380
おう、公務員試験だ。
どうやってあんな解法をひらめけばいいんでしょうか?

390 :132人目の素数さん:2001/06/11(月) 23:51
高校数学Bのベクトルの問題なんですがいっこうに解けません。
チェバの定理を使うらしいのですがうまくいきません。
どなたか教えてください。

[問題]
三角形ABCにおいて、ABの中点をD、BCを3:1に内分する点をEとする。
このときAEとBCは直交する。
頂点BよりCAの下ろした垂線とAEとの交点をHとする。
 いまvector(BD)=vector(x) , vector(EC)=vector(y) , vector(EH)=vector(z)
とおくとき、vector(x) を vector(y) と vector(z) であらわせ。

391 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 01:10
>>390
2x=3(y+z/|z|^2)でいいのかな。自身無いので証明略。

392 :391:2001/06/12(火) 01:30
2x=3(y+(|y|^2/|z|^2)z) に訂正

393 :391:2001/06/12(火) 01:47
>>390
略解(∠BACが鋭角のとき)
△CAE∽△HBEより|AE||EH|=|EC||BE|=3|EC|^2
2BD=BA=(BE+EA)=3EC+(|EA|/|EH|)EH=3EC+3(|EC|^2/|EH|^2)EH
∴2x=3(y+(|y|^2/|z|^2)z)

394 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 02:54
>>390
2x=3y+kzとおくと
AC⊥BHより(3z-y)・(kz+3y)=0-(1)
BC⊥AEより4y・kz=0-(2)
(1),(2)よりk=3y^2/z^2


395 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 05:56
>>382
{x(n)}∈V, {y(n)}∈V なら、{Ax(n)+By(n)} も問題の漸化式を満たしている。
だから、A{x(n)}+B{y(n)}={Ax(n)+By(n)} と定義すれば、ベクトル空間になる。

{x(n)}∈V とする。
x(1)α(n)+x(2)β(n) は、問題の漸化式をみたし、n=1, 2 のときの値が x(n) のそれと同じ。
∴ x(n)=x(1)α(n)+x(2)β(n)

>>386
(2π+3)^2-(2π+1)^2=8(π+1)

396 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 12:33
ここで質問に答えてやってください。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=992244550

397 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 16:09
次の積分を計算せよ。

∫(Z^2+4)/Z dZ     |Z|=1

物理数学、サッパわかりません

398 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 17:12
一言お願いします。

Rは可換環、Mは(左)R-加群である。Mは{0}とM以外に部分加群
を持たない。

これって、Mは極大イデアルであるって
読み替えても大丈夫でしょうか?

399 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 17:44
微分方程式と差分方程式の良著
内容がわかりやすくて豊富な良著を探しております。
入門書とそれに続いて使ったらよい書をお聞きしたいです。
差分方程式の方は古い著しかないので困っております。



400 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 18:17
>>398  駄目

401 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 18:20
>>399
物理か工学系の板で聞いたほうがいい

402 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 18:29
>>397
∫(1/z)dz=2πi  (|z|=1)
ていうか留数が見えてるけど

403 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 19:28
>>401
なんで?

404 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 21:05
>>397
一度複素解析の教科書を読むと良いよ。
「コーシーの積分定理」「留数定理」っていうのを勉強すれば解る。

405 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 22:29
半径1の円に内接する正n角形A1A2A3....Anがある。
線分の長さの積について
A1A2×A1A3×.....×A1An=n
が成り立つ事を示せ

群馬大の問題なのですが全然わかりません、、
どなたかお願い致します

406 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 22:33
半径1の円に内接する正n角形A1A2A3....Anがある。
線分の長さの積について
A1A2×A1A3×.....×A1An=n
が成り立つ事を示せ

群馬大の問題なのですが全然わかりません、、
どなたかお願い致します

407 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 22:34
ごめんなさい二重

408 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 23:32
1問目
関数f(t,x)は次の二条件を満たすものとする。
(1)fはC2級
(2)∂^2f/∂t^2=c^2*∂^2f/∂x^2 (cは定数)
この時変数変換u=x-ct v=x+ctにより、z=f(t,x)をu,vの関数とみなせば
∂^2z/∂u∂v=0
を示せ
二門目
f,gは1変数C2級関数、cは定数とする。2変数t,xの関数
z=f(x+ct)+g(x-ct) は一元波動方程式
∂^2/∂t^2=c^2*∂^2z/∂x^2
を満たすことを示せ。

という問題なのですが、まったくわかりません。
教えてください。


409 :132人目の素数さん:2001/06/12(火) 23:43
>>405
複素平面でz^n=1の解z1,z2,・・・,znを頂点A1からAnに対応させる。
対称性からz1=1として一般性を失わない。
z1(=1),z2,・・・,znはz^n=1の解だから
z^n-1=(z-z1)(z-z2)・・・(z-zn)=(z-1)(z-z2)・・・(z-zn)
またz^n-1=(z-1)(1+z^2+z^3+・・・+z^(n-1))
2つの式より(z-z2)・・・(z-zn)=(1+z^2+z^3+・・・+z^(n-1))がzの恒等式となる。
これにz=z1=1を代入して
(z1-z2)・・・(z1-zn)=1+1^2+1^3+・・・+1^(n-1)=n
∴A1A2×A1A3×.....×A1An=|z1-z2||z1-z3|・・・|z1-zn|=|(z1-z2)・・・(z1-zn)|=|n|=n

410 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 00:07
>>398の条件のもと、
(1)M=Ru(←巡回加群)なるu∈Mが存在する。
(2)A={a∈R|au=0}はRの極大イデアル。
これを示したいのですが、どのように試みたらいいのでしょう?
どうぞよろしくお願いします。

>>400
一言、どうもでした。

411 :適当なのであてにするな:2001/06/13(水) 00:39
(1)u∈M に対し Ruは部分加群、{0}ではないのでこれはM自身。
(2)f:R→M=Ru  なるR-準同型を考えるとこれは全射、KernelがAになる。
   r → ru
よって準同型定理によりR/AはMと同型。Mが自明でない部分加群をもたないことから
Aが極大イデアルであることがわかる。

412 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 01:00
極大イデアルネタです。

xR[x,y]+yR[x,y]がR[x,y]の極大イデアルであることを示せ。

どう証明するのがいいのでしょうか?ちなみにR[x,y]は実係数の二変数多項式です。
どうぞよろしくお願いします。

413 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 01:19
2q^3/p^2はpとqは互い素であるから、p^2は2の約数でなけらばいけない
よってp^2=1&2である。
この素の意味がわかりません、簡単に例をだして教えて欲しいです。                    数学ドキュソより

414 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 01:49
R[x,y]∋f(x,y)→f(0,0)∈R こういう写像を考えると全射準同型になる。
イデアル(x,y)はその核になる。よってR[x,y]/(x,y)はRと同型。すなわち体。
ゆえに(x,y)は極大イデアル。細かいところはちゃんとcheckしてね。

415 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 04:03
>>411
∃っぽいので当てにさせていただきます。
ありがとうございました。

416 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 04:43
>>408
単に偏微分の連鎖律を使えばいいような気がするが?

417 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 04:53
>>413
1以外の公約数がないことを「互いに素」という。
12と15は公約数3を持つので「互いに素」ではない。
7と15は公約数が1しかないので「互いに素」。

素因数分解したとき共通の素数が入ってなければ「互いに素」なわけ。
次の性質はよく使われる。

ab が c で割り切れ、a と c が互いに素 ⇒ b は c で割り切れる

418 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 04:56
>>408
416 さんの言うとおりだけど、一応書いておく。

1問目は、以下のように計算していくだけ。
∂z/∂v=(∂x/∂v)(∂z/∂x)+(∂t/∂v)(∂z/∂t)=∂z/∂x+c*∂z/∂t

∂(∂z/∂v)/∂u=(∂x/∂u)(∂(∂z/∂v)/∂x)+(∂t/∂u)(∂(∂z/∂v)/∂t)=…

2問目は、単に代入して確かめるか、もしくは1問目の結果を利用して、
∂^2z/∂u∂v=0 ⇔ z=f(v)+g(u)
を示す。

419 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 11:45
・・・・・は開集合でもあって閉集合でもあることを示せ。
って問題があったのですが開集合の補集合が閉集合ですよね?
どういうことなんですか?

420 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 11:53
>>419
そう。つまりそれ自身もその補集合も開集合であることをしめす。
...位相群系か?...

421 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 11:56
そんなところです。
まだ慣れてないせいかさっぱりです。

422 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 13:02
>>414
どうもでした。

423 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 14:00
-t^3+3t^2-3=0の解を教えて下さい

424 :>419:2001/06/13(水) 14:46
密着位相みたいなものを考えれば。。。全部が開集合だわさ。

425 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 14:47
1/3
3 2
{{t -> 1 + ----------------------- +
1/3
(-27 + 27 I Sqrt[3])

1/3
(-27 + 27 I Sqrt[3])
-----------------------},
1/3
3 2

3 (1 + I Sqrt[3])
{t -> 1 - ---------------------------- -
2/3 1/3
2 (-27 + 27 I Sqrt[3])

1/3
(1 - I Sqrt[3]) (-27 + 27 I Sqrt[3])
---------------------------------------},
1/3
6 2

3 (1 - I Sqrt[3])
{t -> 1 - ---------------------------- -
2/3 1/3
2 (-27 + 27 I Sqrt[3])

1/3
(1 + I Sqrt[3]) (-27 + 27 I Sqrt[3])
---------------------------------------}}
1/3
6 2

426 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 14:50
              1/3
            3 2
{{t -> 1 + ----------------------- +
                  1/3
       (-27 + 27 I Sqrt[3])

             1/3
  (-27 + 27 I Sqrt[3])
-----------------------},
          1/3
        3 2

         3 (1 + I Sqrt[3])
{t -> 1 - ---------------------------- -
       2/3             1/3
      2    (-27 + 27 I Sqrt[3])

                      1/3
  (1 - I Sqrt[3]) (-27 + 27 I Sqrt[3])
---------------------------------------},
              1/3
            6 2

           3 (1 - I Sqrt[3])
{t -> 1 - ---------------------------- -
         2/3            1/3
        2   (-27 + 27 I Sqrt[3])

                        1/3
    (1 + I Sqrt[3]) (-27 + 27 I Sqrt[3])
---------------------------------------}}
               1/3
             6 2

427 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 15:01
>>424は何を言いたいんだ?????????????????????????

428 :423:2001/06/13(水) 15:14
>>425,>>426
ありがとうございました

429 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 15:52
>>427
全ての部分集合が開集合だから、開集合の補集合も開集合ってこと

430 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 16:15
おめーそれは離散位相だろがボケェ!

431 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 17:12
>>424
>>429
http://hb4.seikyou.ne.jp/home/peervil/ward/topo.html

432 :確率の問題です。:2001/06/13(水) 18:04
M大K営学部のM子さんは、胸毛のある男が大嫌いである。なんとか、
胸のきれいな男性と付き合いたいと思うのだが、付き合ってみなけれ
ば、分からないと言う難点がある。ところで、M子さんの所属する
サークルには言い伝えがあって、K済学部の男子学生は5人に1人が
胸毛持ち、K営学部の男子学生は4人に1人が胸毛持ち、J文学部の男
子学生は10人に1人が胸毛持ちで、H学部の男子学生は2人に1人
が胸毛持ちらしい。
 ちなみに、M大学の男子学生の比率は、
        K済:K営:J文:H学=4:3:1:2である。
M子さんは、運を天に任せ、ある男子学生と付き合い始めたが、
なんと、その男子学生は胸毛持ちだった。ショックを隠しきれない
M子さんは、その男の子に所属学部を聞いた。
 以下の問題に答えよ。
1.その男子学生がK済学部である確率は何%か。

2.その男子学生がK営学部である確率は何%か。

3.その男子学生がJ文学部である確率は何%か。

4.その男子学生がH学部である確率は何%か。
よろしくお願いします。

433 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 22:06
>>432
事象に名前を以下のようにつける。
K済学部である...A K営学部である...B J文学部である...C H学部である...D
胸毛持ちである...X
条件より
P(X;A)=P(X∩A)/P(A)=20/100 P(A)=4/10 ∴P(X∩A)=80/1000
P(X;B)=P(X∩B)/P(B)=25/100 P(A)=3/10 ∴P(X∩B)=75/1000
P(X;C)=P(X∩C)/P(C)=10/100 P(A)=1/10 ∴P(X∩C)=10/1000
P(X;D)=P(X∩D)/P(D)=50/100 P(A)=2/10 ∴P(X∩D)=100/1000
A,B,C,Dは互いに排反であるのでX∩A,X∩B,X∩C,X∩Dも互いに排反で
P(X)=P(X∩A)+P(X∩B)+P(X∩C)+P(X∩D)=265/1000
ゆえに胸毛持ちの男子学生が
K済学部である確率=P(A;X)=P(A∩X)/P(X)=80/265
K営学部である確率=P(B;X)=P(B∩X)/P(X)=75/265
J文学部である確率=P(C;X)=P(C∩X)/P(X)=10/265
H学部 である確率=P(D;X)=P(D∩X)/P(X)=100/265
...とおもわれ。...ちがうかな?

434 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 22:09
4:3:1:2
80:60:20:40 男子学生の割合
16:15:2:20 胸毛学生の割合

16/53  K済
15/53  K営
2/53   J文
20/53  H学

435 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 22:34
>>432
漏れは男だが、胸毛のある男には一種の嫌悪感を覚えるのはとてもよく分かる

436 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 22:40
A〜Rまでの18チームを、例えば
ABC DEF GHI JKL MNO PQR
のように、3つの組み合わせを6組作ろう思います。
各チームは一回しか重ねることができません。
僕は馬鹿なので、地道にやってたら
AGR BHQ CIP DJO EKN FLM
AKQ BJP CHO DIN EGM FLR
AHP BOG CJN DMR ELQ FIK
AIO BNQ CMR DGL EKP FJG
AJM BKN CGL DHP EIR FOQ
ALN BIR CMQ DKP EJO FGH
ABC DEF GHI JKL MNO PQR
で手詰まりになってしまいました。
何かこうした組み合わせを作るために法則ならなにやらがあったら、
教えてください。もしくは、お手すきであれば全パターンを示してくれると
ありがたいです。

437 :132人目の素数さん:2001/06/13(水) 22:53
>>436
たとえばチーム名を“UVWXYZ”として
ABCDEFGHIJKLMNOPQR
------------------
UUUVVVWWWXXXYYYZZZ
UUUVVVWWWXXXYYZYZZ
...
ZZZYYYXXXWWWVVVUUU
まで“多項係数の公式”から上のくみあわせの数は
18!/3!3!3!3!3!3!とおり。おなじくみ分けになるのが6!
とおりずつあるから(=チーム名の付け替えの全体)全くみあわせの数は
18!/3!3!3!3!3!3!6!じゃない?

438 :座標の計算方法?:2001/06/14(木) 00:10
がいしゅつだったらスマソ。

平面上に既知の座標ABC(三角形)があり、その内部にPがあります。
A-B,B-C,C-Aの距離と、A-P,B-P,C-Pの距離は分かっています。
この時に、三角関数や角度を使わずに、Pの座標(x,y)を求めなさい。
と言う物です。

どなたか分かる方教えて頂けないでしょうか?
定理や原理の名称などでも構わないです。

439 :確率の問題です。:2001/06/14(木) 00:20
>>433 >>434
ありがとうございました。まじで助かりました。

440 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 00:25
>>438
△ABPの辺の長さが分かっていてAとBの座標も決まってるんだからPは円の交点として出るでしょ

441 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 00:26
「三角形ABCの内部に正方形PQRSが3点P,Q,Rで接していて、BQ=QRである。
AR=9,CR=2,AP=7,BP=6(単位はcm)のとき正方形PQRSの面積を求めなさい」
算数オリンピックの問題なので、小学生らしく解いてください
三平方なども禁止です

442 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 00:27
>>438
普通に連立方程式を解くだけでは?

A(a,b),P(x,y),|AP|=pから
(x-a)^2+(y-b)^2=p^2 (1)
同様に
(x-c)^2+(y-d)^2=q^2 (2)
(x-e)^2+(y-f)^2=r^2 (3)

(1)-(2)と(2)-(3)でx,yの二次の項が消えて
なんのへんてつもない二元一次の連立方程式になる。

443 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 00:27
>>441
ヘロンの公式もいかんの?

444 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 00:28
>>438
一般に三角形内部の点Pの位置ベクトルOPは
 OP=pOA+qOA+rOC (p+q+r=1)
の形に(一意に)かける。ただし
p=△PBCの面積/△ABCの面積
q=△PCAの面積/△ABCの面積
r=△PABの面積/△ABCの面積
よってヘロンの公式つかうよろし。

445 :駄馬:2001/06/14(木) 00:40
1、0≦a<1、0≦b<1のとき、a+b<ab+1を
  あらわせ。
2、すべての自然数nについて、不等式3^n>n^2をあらわせ。
  (数学的帰納法を使うらしいです)
3、x^3+y^3-3xy+1を因数分解せよ。
以上の3問がわかりません。
お願いします。

446 ::2001/06/14(木) 00:50
74882|3584|?
29637|? |192
74826|? |?
上の表の?に数字を入れてください。一定の決まりがあるのですが
よくみればわかるはずです。この決まりは各行に一定です。

次の問題にも挑戦してみましょう。
528|116|?
793|? |335
821|? |?

447 ::2001/06/14(木) 00:54
>445
1は,(a-1)(b-1)>0より.

448 ::2001/06/14(木) 01:02
>>445
2. MIが理解できてれば明らか.

3.{ヒント}
f(x,y)=問いの整式  とすると,f(1,1)=0より.

449 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 01:13
>>445
頻出形 (x^3+y^3+z^3-3xyz)
z=1とすれば(x^3+y^3+1-3xy)

450 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 05:36
よろしくお願いします。
微分方程式。
dH/dt=α-√H

451 :名無しさん:2001/06/14(木) 06:09
>>450
dH/dt=α-√H

dH/(α-√H)=dt
∫dH/(α-√H)=∫dt
√H=kと置く
H=k^2
dH=2kdk

∫dH/(α-√H)=∫2kdk/(α-k)
=∫{2α/(α-k)-2}dk
=-2αlog(α-k)-2k=-2αlog(α-√H)-2√H

∫dt=t+C

-2αlog(α-√H)-2√H=t+C

これじゃ駄目?

452 :419:2001/06/14(木) 10:28
>>429 430
結局どっちなんですか?離散位相?密着位相?

453 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 14:05
1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある。この中から一枚抜き取り番号を記録し元に戻す。
これをn回繰り返したとき、
記録されたn個の数の積が3の倍数である確率をΑ(n),
4の倍数である確率をΒ(n)とおく。

n≧2のとき、Β(n)>Α(n)を数学的帰納法を用いて証明せよ。
くわしい解答をお願いします。

454 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 14:15
Α(1)=3,Α(n+1)=Α(n)/2+2/Α(n) とする。

(1) 2<Α(n+1)<Α(n) を示せ。

{Α(n+1)−2}<{Α(n)−2}^2/4  を示せ。

Α(4)−2<1/80000 を示せ。
くわしい解答をお願いします

455 :132人目の素数さん :2001/06/14(木) 14:25
Prop.
const a,b
∀ε
a<b+ε
であるとき
a<=bであることを証明してください。

456 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:02
Σ[k=m,∞](k-1)!
= Σ[k=m,∞]k!  (ただしm≧1)
が成立することを示せ。

これがわかりません。。。教えて下さい。

457 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:10
>>453-454

詳しい解答求めるなら出来たところまで書け。
それが出来ないなら、宿題は自分でやれ。

458 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:26
>>455,>>456
当然ε>0だよね。
両方とも差をとってもし0でなければどうなるかを考えてミソ。

459 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:26
>>455
∀ε>0 か?

460 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:26
シンクロ(w

461 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:30
X=R(実数全体) ,[ A(c)=Aの補集合   U;和集合]

であるとき

T={A;A(c)は有限集合}U{空集合}
とするとき Tは位相の公理を満たすことを示せ。

誰かわかりますか?
位相の公理3つ示してみてください。

462 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:53
>>461 明らか

463 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 15:57
Prop.
const a,b
∀ε>0
a<b+ε
であるとき
a<=bであることを証明してください。

でした

464 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:00
>457
詳しくなくてもいいからやってください。

465 :ε>0 でなくてもOKよ:2001/06/14(木) 16:02
>>455

ε=a-b

とおくと、

a<b+ε=a

となり矛盾。よって仮定が偽だから a<=b は真。(藁

466 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:03
Σ[k=0,∞]λ^k/k!=e^λ

なぜこうなるのですか?教えて下さい。。。

467 :真面目にやると:2001/06/14(木) 16:06
a>bと仮定する。
ε=a-b>0
とおくと、
a<b+ε=a
となり矛盾。

468 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:08
>>466 Taylorの定理より。

469 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:10
>>468
Taylorの定理をどのように使っているのですか?
重ね重ねすみませんが・・・

470 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:17
>>469
っていうか教科書に書いてない?

471 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:18
>>469
定理のstatementを見て、剰余項を書いてみな。
Rn=(x^n/n!)e^θx (0<θ<1)
だから、xを固定すればn→∞のとき|Rn|→0となる。

472 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:31
>>486,470,471
どうもありがとうございました。わかりました。

473 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:35
>>466
テイラー展開があれなら・・・
a(n)=(1+λ/n)^n
b(n)=Σ[k=0,n]λ^k/k! とおいて
lim[n->∞]a(n)=lim[n->∞]b(n)==e^λ を示す
a(n)を二項展開すると単調かつ有界でそれにb(n)が挟めるから・・・とかだったかな。

474 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 16:59
2:f(x,y)=(x^2*y)/(|x|+y^2)   for(x,y)≠(0,0) , f(0,0)=0
が連続であることを、ε−δ論法によって示せ。必ずεに対して
δをどれだけ小さくとればよいかを具体的に書け。三角関数や微分は
使うな。計算は省略せず詳しくかけ。

(x,y)=(0,0)のとき連続ってのは示せたんですけどそれ以外の点では
うまくいきません。誰かお願いします。

475 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 17:06
>>474

476 :474:2001/06/14(木) 17:07
>>
何?

477 :474:2001/06/14(木) 17:08
>>475
何?

478 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 17:09
>>461
>>462
明らかなことだけど証明してみてください。

479 :ロシア人の掛け算:2001/06/14(木) 17:55
掛け算をするとき
左の数を2で割っていき(余りは無視)
右の数を2倍していく
左の数が1になるまで行う
たとえば 17×5の掛け算をするとき
17  5
8  10
4  20
2  40
1  80
そして左の数が奇数のときの右の数を足す
すると80+5で答えが出る

これの証明をお願いします

480 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 18:29
R^2で水が流れていて、時刻tのときの位置(x,y)∈R^2にある水の粒子
の速度はv(t,x,y)∈R^2であるとする。このとき、v(t,x,y)の微分可能性
を仮定して、加速度a(t,x,y)∈R^2をv(t,x,y)とその偏導関数で表せ。

簡単らしいんですが誰かなるべく省略しないでお願いします。

481 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 18:49
全ての部分集合が開集合だから、開集合の補集合も開集合

これは密着位相?それとも離散位相?

482 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 18:49
>>1
なぜ0で割ると危険なの?

483 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 18:54
爆発するから

484 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 19:21
>>481
密着位相ってのは、全空間と空集合のみを開集合とする位相。
離散位相ってのは、べき集合を開集合系とする位相。

485 :774:2001/06/14(木) 20:30
>>481
一点から成る集合だったらどっちでもオッケイ

486 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 20:46
すみません。参考書で、わからない問題がありまして

F(X)がR^nでc^1級とする。
∃M>0 |fXi(X)|≦M (X∈R^N 、i=1・・・N)
が成立するならば
F(X)はR^Nで一様連続。

問題集には、例題として出ていて
解答は各自とかいてあって困ってます
よろしくおねがいします

487 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 20:55
>>486
そんなの当然じゃん
一様連続ってどんなのか知ってる?

488 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 21:05
>>487さんへ
一応定義は・・

任意のε>0に対して
δ=δ(ε)>0が存在して、

d(P、Q)<δ かつ P,Q∈S ならば
|F(P)ーF(Q)|<ε

すみません。
なぜ当然なのですか?

489 :高校生:2001/06/14(木) 22:19
YOKOHAMAという8文字を全て並べて出来る順列のうちでAOという並びまたはOAという並びの少なくとも一方を含む順列は全部でいくつあるか

まず加法定理P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)より
OAと言う並びが出来るのはこれをひとまとまりと考えて7!
AOも同様に7!
OAかつAOはこの二つをひとまとまりと考え6!
∴7!+7!−6!=7!+(7−1)*6!=13*6!
=13*6*5*4*3*2=13*720=7200+2160
=9360

または 8!-5C2*3*4!=10080-720=9360あってる?

ABC3種の玉を20個組み合わせた組を作るとAもB少なくとも一個含む組は何通りあるか

まず全ての場合
a+b+c=23 a>0b>0c>0
として 22C2=231
余事象は2つの玉両方含まない場合でこれは
20個の玉の両端にしきりがくる場合でこれはABの2種の玉から考えると6通り
A|B|CC B|A|CC A|CC|B B|CC|A CC|B|A CC|A|B
よって
225通り

いいですか?

490 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 22:48
>>489
よくない。両方とも。
1問目はそのかぞえかただとだぶりまくる。たとえばOA=*とすると
AHKMOY*,AHKM*Y,...,*OYMKHA まで7!あるように思うけど実際には
たとえばYHKMOA*とYHKM*OAはおなじYHKMOAOAをあらわしてるのに
7!では別物として2重にかぞえてしまう。
2問目は余事象のそのものがちがう。余事象はAまたはBをひとつも
含まない可能性でたとえば(A,B,C)=(0,0,20),(0,1,19),...等。
もそっと考えてみ。

491 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 22:49
p:素数、n:自然数 p=n^4+n^2+1を満たすn、pを求めよ。

整数問題まったく駄目です。。
どなたかお願いします

492 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 22:56
>>488
一変数でよいから一様連続で無い例は知ってる?
もし一様連続でないとすると、その微分はどうなると思う?
つまり>>486でN=1の時の証明は理解してる?

493 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 22:58
>>491
p
=n^4+n^2+1
=n^4+2n^2+1-n^2
=(n^2+1)^2-n^2
=(n^2+n+1)(n^2-n+1)
pが素数だからn^2+n+1=±1 or n^2-n+1=±1。
以下わかるでしょ?

494 :高校生:2001/06/14(木) 23:20
ABC3種の玉を20個組み合わせた組(含まれない種類の玉があってよい)
を作る
AもBも少なくとも一個含む組は何通りあるか
まず全ての場合 (a+1)+(b+1)+(c+1)=23 a+1>0b+1>0c+1>0 として 22C2=231
余事象はAまたはBを含まない場合でこれは
Aを含まない場合b+c=20 b>0 c>0 19C1=19
Bを含まない場合 同上
AかつBを含まないとき6通り
よって231−(19+19−6)=199通り

またもう1問
少なくとも一種類の玉が10個以上である確率
余事象はどの玉も10個未満
a<10 b<10 c<10 a+b+c=20
10-a>0 10-b>0 10-c>0 (10-a)+(10-b)+(10-c)=30-(a+b+c)=10
9C2=36
∴231−36=195
あってますか?

495 :高校生:2001/06/14(木) 23:27
YOKOHAMAという8文字を全て並べて出来る順列のうちでAOという並びまたはOAという並びの少なくとも一方を含む順列は全部でいくつあるか
まず加法定理P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)より
OAと言う並びが出来るのはこれをひとまとまりと考えて7! OAOAY○K○H○M○ となる5通りのだぶりを除くと7!−5 AOも同様に7!−5
OAかつAOはこの二つをひとまとまりと考え6!
∴7!+7!−6!−10=7!+(7−1)*6!−10=13*6!−10
=9350
ですか?

496 :高校生:2001/06/14(木) 23:36
OAと言う並びが出来るのはこれをひとまとまりと考えて7! OAOAY○K○H○M○ となる5通り*YKHMの4!というだぶりを除くと7!−5*4!
 AOも同様に7!−5*4!=41*5!
OAかつAOはこの二つをひとまとまりと考え6!
∴82*5!−6!=76*5!=76*5*4*3*2=76*120=7600+1520=9120
これが正解ですかね?

497 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 23:38
>>494
問2はOK。問1はちがう。
a=0となるのは(a,b,c)=(0,0,20)〜(0,20,0)の21通り。
b=0となるのは(a,b,c)=(0,0,20)〜(20,0,0)の21通り。
a=b=0となるのは(0,0,20)の1通り。
よってa=0またはb=0は21+21-1=41通り。
しかしこれはa'=a-1,b'=b-1と考えてa'+b'+c=18,a'≧0,b'≧0,c≧0
を解いたほうが楽。

498 :438 座標の計算方法?:2001/06/14(木) 23:47
激亀レスですみません。
>>440 >>442 >>444
助かりました、ありがとうございました、、、m(__)m

499 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 23:48
492さん>>
1変数の例だと、F(X)=x^2がありますね。
これの微分は、 F’(X)=2X
です。
お手数おかけします

500 :132人目の素数さん:2001/06/14(木) 23:51
>>496
まだちがう。7!で2重にかぞえてしまうのはOAが2回でるやつで
それを**とするとHKMY**の6文字のならべかただから
6!/2。
そもそもこの方針でこの問題をとくのがちょっとしんどい。(できるけど)
それよかA,Oの場所を○、それ以外の場所を●とするとゆるされるのは
○●○●○●○●、●○●○●○●○、
○●○●○●●○、○●○●●○●○、○●●○●○●○
の5通りでそれぞれの場所にA,Oをならべる組み合わせの数と
HKMYをならべる組み合わせの数を考えたほうが楽。
まあ、若いうちは苦労したほうがいいが。

501 :高校生:2001/06/14(木) 23:54
OAOAY○K○H○M○ となる5通り*YKHMの4!というだぶりにOAYOAK○H○M○
での5通りのだぶりを加えて
さらにAOの時も同様にして9110通り?

502 :高校生:2001/06/15(金) 00:01
答えは6!ですか

5*4C2*4!=6!

503 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 00:04
>>501
なるほ。>>490で出した例が適切でなかったので2重かぞえの可能性を
誤解させてしまったかな?2重かぞえになるのはOAOAが出現する
ときではなくOAが2回でるとき。つまりOAを*として
AHKMOY*の7文字の配列
AHKMOY*、...*YOMKHA=7!とおり
の中にはたとえばHK*MOAY、HKOAM*Yがでてくるが
これはどちらもHKOAMOAYをあらわしている。このような
現象がおこるのはOAのならびが2回でるからOAのならびが2回でる
くみあわせのかずをもとめてそれを引かんとだめ。5個じゃきかんだろ?

504 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 00:05
>>502
それが正解。

505 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/15(金) 01:04
物理学生ですが,この微分方程式で困っています.
f+2r(df/dr)-1/f=delta(r) (delta:Diracのdelta関数)
誰かご助言お願いします.

506 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 01:16
スマ!!
>>502>>504はウソだ!!まちご〜た。
正解は多分22×5!だ。もちっと検算してみる。まちゃれ。
はじかし〜。

507 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 01:32
>>506
たしかめた。もう正解をかく。いっかいミスってるので。
まずAAHKMYをならべる。6!/2=3・5!通り。
このなかでAAが2つならぶのは*HKMY(*=AA)の
ならびで5!通り。(I型とよぼう。)
よってAAが2つならばないのは2・5!通り。(II型とよぼう。)
ここにOを挿入する。その可能性は挿入できるポイントは7箇所
あるがそのなかでAの前後であるのは
i)I型のとき
Aは連続しているのでAの前後は3箇所。よって挿入可能点は4箇所
あり、そこにOをいれるいれかたは10とおり。
ii)II型のとき
AははなれているのでAの前後は4箇所。よって挿入可能点は3箇所
あり、そこにOをいれるいれかたは6とおり。
よってAO、OAのないならべかたは
10×5!+6×2・5!=22・5!
は〜。こんな問題まちがえるとは...トホホ。スマ。

508 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 05:08
>>505
両辺にfをかければ
最初の2項はd/dr (rf^2)だよ

509 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/15(金) 05:43
>>508
レスありがとうございます.
その後,右辺のデルタ関数かけるfの項をどう扱うか分からないんですが...

510 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:00
>>509
積分区間を定めないと決まらないので∫をつけたままにしておけば?

511 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:08
>>505
delta(r) (delta:Diracのdelta関数)
って何ですか?

512 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:36
>>453
A(n+1) は、次の2つの和。
(1) n 回目までの積が既に3の倍数である確率。すなわち、A(n)。
(2) n 回目までの積は3の倍数ではないが、n+1 回目に3が出る確率。これは、1/4*{1-A(n)}。

∴ A(n+1)=A(n)+1/4*{1-A(n)}=1/4+3/4*A(n) ・・・(♯)

B(n+1) は、次の2つの和より大きい。
(1) n 回目までの積が既に4の倍数である確率。すなわち、B(n)。
(2) n 回目までの積は4の倍数ではないが、n+1 回目に4が出る確率。これは、1/4*{1-B(n)}。

これ以外に、n 回目までの積は4の倍数ではないものの、2のカードが一回出ているため、
n+1 回目に2が出て積は4の倍数というケースがあるので B(n+1)>(1)+(2) 。

∴ B(n+1)>1/4+3/4*B(n) ・・・(♪)

(♯) と (♪) から、あとは易しい。

513 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:36
>>454
A(n) は明らかに正。

A(n+1)-2=A(n)/2+2/A(n)-2={A(n)-2}^2/{2*A(n)} ・・・(♪)

(♪)より A(n+1)≧2 は成立。
A(n+1)=2 と仮定すると、(♪) より、A(n)=2 になる。これを繰り返すと、
2=A(n+1)=A(n)=A(n-1)=…=A(1) となるが、A(1)=3 なのでこれはあり得ない。
よって、A(n+1)>2 。(なお、A(1)>2 なので、A(n)>2 もいえる)。

A(n)-A(n+1)=A(n)-{A(n)/2+2/A(n)}={A(n)^2-4}/{2*A(n)}
A(n)>2 より、A(n)-A(n+1)>0 。

(♪) と A(n)>2 より、A(n+1)-2<{A(n)-2}^2/4 はすぐ。

514 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:37
>>461
位相の公理を3つとも明記し、どれが分からないのかくらい書け。

515 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:37
>>474
a≠0 の場合に、(a,b) での連続を示す(a=0 の場合は自分でやれ)。
|x-a|<d, |y-b|<d として、|f(x,y)-f(a,b)| を評価する。
d<|a|/2 と取っておくことにすれば、
|a|/2<|x|<3|a|/2, |y|<|b|+|a|/2 ・・・(♯)
が成立。

|f(x,y)-f(a,b)|≦|a|*|x|*|(|x|*y-|a|*b)|+|b|*|y|*|x^2*b-a^2*y|/{(|x|+y^2)(|a|+b^2)}

|x|*y-|a|*b=|x|*y-|x|*b+|x|*b-|a|*b より、
|(|x|*y-|a|*b)|≦|x|*|y-b|+|(|x|-|a|)|*|b|≦3|a|/2*d+|x-a|*|b|<(3|a|/2+|b|)d
が成立。

|x^2*b-a^2*y| も同様にして、(正の定数)*d で押さえられる。

そして、
1/{(|x|+y^2)(|a|+b^2)}≦1/(|x|*|a|)<1/(|a|/2*|a|)
もいえる。

|x|<3|a|/2, |y|<|b|+|a|/2 でもあるから、正の定数 M があって、
|f(x,y)-f(a,b)|<Md
とできる(M の値を具体的に求めるのも暇であれば容易)。

δは、ε/M と |a|/2 のどちらよりも小さくしておけば十分。
(たとえば、δ=(ε/M)*(|a|/2)/(ε/M+|a|/2) とでもすればよい)。

516 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:38
>>479
これ、ロシアでも使われていたそうだけど、もともとは古代エジプトの方法。
17 を 2 進法で表示すると 10001 になる。
つまり、17=1*2^4+0*2^3+0*2^2+0*2+1 がヒント。

517 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:38
>>480
時刻 t に (x,y) にある特定に粒子の速度 は、v(t,x,y) 。
時刻 t+dt には、その粒子は、(x+v_x(x,y)dt,y+v_y(x,y)dt) の位置にいる。
(v(x,y) の x 成分、y 成分を v_x(x,y),v_y(x,y) で表した)。
そのときの速度は、v(t+dt,x+v_x(x,y)dt,y+v_y(x,y)dt) 。

加速度={v(t+dt,x+v_x(x,y)dt,y+v_y(x,y)dt)-v(t,x,y)}/dt

∴ a(t,x,y)=(∂v/∂t)+(v・grad v)

518 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:39
>>486
以下は n=2 or 3 のイメージで。
2点 X, Y を直線で結ぶ。直線に長さを表すパラメータ s を入れておく。
直線上の点を L(s) とする。
g(s)=F(L(s)) とおいて、g(s) に平均値の定理を適用。
d(X,Y) を X, Y の距離、v を直線の方向ベクトル(長さ1)とすると、
{F(Y)-F(X)}/d=(v・grad F)
の形に書ける(右辺の grad F は適当な点におけるもの)。
これより、|F(Y)-F(X)|≦nMd(X,Y) がいえる。
δ<ε/nM としておけばよい。

519 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/15(金) 06:43
>>510
これだけじゃfはもとまらないということでしょうか?

520 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/15(金) 06:44
>>511
delta(r)=∞ for r=0 ,otherwise 0
∫delta(r)dr=1
で定義される超関数です.

521 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 06:49
>>519
r≠0 では、f+2r(df/dr)-1/f=0 だから、まずこれを解く。
で、積分定数が残るけど、それをうまく選んで、原点で
f+2r(df/dr)-1/f がデルタ関数になるようにするんじゃないの?

522 :521:2001/06/15(金) 12:01
>>505=519
上のでは、うまくいかないみたい。

523 :517:2001/06/15(金) 12:03
(v・grad v) では記号の使い方が変みたい。
正しくは、(v・∇)v かな。

524 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/15(金) 13:30
>>521,522
レスありがとうございます.お手数おかけします.
フーリエ変換もできないし,一体どうすれば...

525 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 18:48
定数a,bがある。
a<xのとき
b<xならば
b<=aであること証明せよ。

526 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 19:52
ハァ?

527 :幾何の問題ですが:2001/06/15(金) 21:02
http://mathlove.virtualave.net/a.bmp

↑図のような四角形ABCDが与えられたとする。
線分ACと線分BDの交点をFとおく。
そして
∠ABF=20°、∠FBC=60°、
∠FCB=50°、∠FCD=30°
を満たすと言う。
このとき∠ADBの値を求めよ。

という問題です。
中学生のような問題ですが全然とけません、、
どなたか教えてください。
よろしくお願い致します

528 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 21:30
x,yが2つの不等式3y≦-x,y≧x^2-4x+1を満たすとき、p=y/xの値の範囲は(ア)である。

この問題教えていただけませんか?お願いします。

529 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 21:56
三次方程式の解の公式を画像で説明している所ってないですかね?

530 :529:2001/06/15(金) 21:58
http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/mathUniv/no06.htm
いきなり発見しました。

531 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/06/15(金) 23:12
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)g(x,y,z)
ここでg(x,y,z)は2次の同次式(だっけな。計算してみて)
x^3+ax+b=0という方程式を解くために
a=-3yz
b=y^3+z^3
となるy,zを求めれば、上の恒等式から一つの解x=-y-zが
求まる。
-a^3/27=y^3*z^3だから
y^3,z^3は二次方程式t^2-bt-a^3/27=0を解いて求まる。
(計算間違いあったらスマソ)

532 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 23:29
age

533 :132人目の素数さん:2001/06/15(金) 23:49
>>527
これとけるの?
なんかかなりむつかしいんだが。。

534 :132人目の素数さん:2001/06/16(土) 00:00
>527
http://www.mitene.or.jp/~tomo-s/langley/langley10.html

535 :132人目の素数さん:2001/06/16(土) 00:58
>>525
定数a, bがあって、
a<xを満たす全てのxに対して
b<xならば、b<=aは成り立つね。

もし、b>aとすると、b>s>aなるaが
存在しちゃうから。

536 :132人目の素数さん:2001/06/16(土) 01:18
次の等式を示せ。
f^(ax)=1/|a|・f^(ξ/a)
^は指数じゃなくて、フーリエ変換のマークみたいなやつです。

是非とも示してください、
フーリエ変換というか、積分とか全然わからない、あぅぅ。
よろしくお願いします。

537 :↑変数変換(y=ax)するだけ:2001/06/16(土) 05:59


538 :132人目の素数さん:2001/06/16(土) 06:02
>>528
xy-平面上に 3y≦-x, y≧x^2-4x+1 の領域を図示。
p は、原点と (x,y) を結ぶ直線の傾き。

539 :537:2001/06/16(土) 06:25
>>536
問題を書き直したほうがいいかもしれん。

a は 0 でない実数の定数とする。関数 f(x) に対して
F(ξ)=∫f(x)exp(2πixξ)dx(積分範囲は−∞から+∞まで)、
g(x)=f(ax)、
G(ξ)=∫g(x)exp(2πixξ)dx(積分範囲は−∞から+∞まで)
とおく。このとき
G(ξ)=(1/|a|)F(ξ/a)
が成り立つことを示せ。

…こおゆう問題でしょ?
で、やりかたは537で書いた通りで
G(ξ)=∫f(ax)exp(2πixξ)dx
と書いて変数変換(y=ax)する。あとはじぶんでやって。

540 :479:2001/06/16(土) 18:49
10進法を2進法にする方法って何でしたっけ?

541 :132人目の素数さん:2001/06/16(土) 20:52
その方法かどうかわからんが2で何回も割ってみてその余りをみればよい。

542 :132人目の素数さん:2001/06/16(土) 23:55
数Tの「2次不等式」の問題でわからないところがあるので、教えて
ください。ドキュンな質問ですいません。

Xの範囲が −2<X<1 のとき、
2次不等式 2X^2+4X−a<0 が常に成り立つように、定数aの
値の範囲を求めよ。

(解答例の抜粋です)

y=2X^2+4X−a とすると、
X=1のとき、「y≦0」であれば、−2<X<1のXすべてについて
y<0となる。 (略) 答え  6≦a

「y≦0」のところが理解できません。なぜ「y<0」ではないので
しょうか? 「注」に「X=1のとき、y=0でも題意は満たすことに
注意」と書いてありますが、なぜ y=0でも題意を満たすので
しょうか? よろしくお願いします。

543 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 00:11
>>542
X=1となることはないから、1より少し小さくなったときにyも0より少し小さくなってればOK

544 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 00:14
いっぺんグラフ書いてみろ

545 :>540:2001/06/17(日) 00:43
Xの二進表記 C_n C_n-1 .. C_1 C_0 って
X = C_0 * 2^0 + C_1 * 2^1 + C_2 * 2^2 + .....
のことだから
C_0は X_0=X を2でわったあまり
C_1 は X_1 = (X-C_0) /2 を 2でわったあまり
以下これを繰り返せ。

546 ::2001/06/17(日) 01:43
ADSL信号波形からデータを抽出する計算式を求む。

547 :駄馬:2001/06/17(日) 02:07
1、極座標が(3,0)である点をAとし、
  Aを通り始線OXに垂直な直線をlとする。
  極Oを焦点とし、lを準線とする放物線の
  極方程式を求めよ。
2、極座標で表された2点A(1,0)、
  B(−2、π/3)について、2点A,Bを
  通る直線の方程式を求めよ。
以上の2問、よろしくお願いします。

548 :きゃん:2001/06/17(日) 05:05
>>542
まず状況はわかる? y=2X^2+4x-aとして、
平方完成(懐かしいなあ)すると、
この2次関数の軸は直線x=-1,頂点の座標は
(-1, -2-a)だね。 だからaが変化すると,
関数のグラフは軸上を滑っていく(aの値を
いろいろ変えてグラフ書いてごらん)。
で,問題は,こういう状況のときに,

-2<x<1 ならば y=2x^2+4x-a<0

が成り立つためにはaはどの範囲になきゃいけないか?ってこと。
ここで、解答の抜粋の(注意)にあるように,x=1のときはy=0でもいいって
ことね。 わかる?

で、この関数は,-2から-1までは減少して,-1から1までは増加する。
ってことは、x=-2のときのyの値-aと、x=1のときのyの値6-aのうちの
大きい方,つまり6-aが0以下ならばOKということになる。 よって、

6-a<=0  6<=a

が答えになる。 いい?

549 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 06:44
>>548
包絡線っすか?

550 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 09:05
質問です。
G=<a>は巡回群でGの位数はnであるとします。
この時、a^iがGの生成元であるための必要十分条件は
(i,n)=1であることの証明を読んでいるのですが、
最初の必要性を証明する「<a>=<a^i>とすれば、
a=a^ij(j=Z)、したがってij≡1(modn)となる。この時、
(i,n)=1となる。」という箇所がわかりません。
<a^i>={1,a^i,a^2i,....,a^(n-1)^i}なので、
任意の整数jに対し、a=a^ijとすれば<a^i>の元は
全部aになってしまうと思うのです。
(a^i,a^2i,...,a^(n-1)i∈a^ij(j=z)だと思うので)
どこで、誤解してるのか誰か教えてください。
つまらない質問ですいません・・。

551 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 09:14
>>550
jは任意の整数ではなくて、適当な整数jが存在して
だと思われ

552 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 20:57
質問お願いします。
1問目
 P(i)を小さい方から順番にならべた素数とする。
 つまり,P(1)=2,P(2)=3,P(3)=5,・・・・とします。
 このとき,P(k+1)≦P(1)*P(2)*・・・*P(k)+1
 を示せ。

2問目
 π(x)=#{P:素数|P≦x}  x>2 x:実数 とする。
 このとき, π(x)>ln{ln(x)} なることを示せ。

以上2問です。よろしく頼みます。

553 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 22:21
>>552
当然1問目は分かってますよね?(汗

554 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 22:26
>552
なんか素数は無限にある、の証明みたい。
それを使えば1問目はいけるとおもうが。

 もし素数が有限個だとして最大の素数をP(k)とおく。
 するとP(1)*P(2)*・・・*P(k)+1 は素数となるので矛盾。
 というわけで素数は無限個ある。

というやつ。

555 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 23:00
>>553
 いや,ちょっとあやしいです。

556 :132人目の素数さん:2001/06/17(日) 23:27
>>555
1問目できないレベルだとちょっと2問目は無理じゃないかな?
>>554
惜しい!

557 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 00:16
>>551
550です。ありがとうございました。

558 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 00:22
(2)P(k)≦x<P(k+1) であったとする。Q(k)=P(1)*P(2)*・・・*P(k)とおく。
P(k+1)≦Q(k)+1≦Q(k-1)(Q(k-1)+1)+1=Q(k-1)^2+Q(k-1)+1≦(Q(k-1)+1)^2
    ≦(Q(k-2)+1)^4≦・・・≦(Q(1)+1)^(2^(k-1))=3^(2^(k-1))
よってlogx<logP(k+1)≦2^(k-1)*log3
 log(logx)<(k-1)log2+log(log3)<k-1+1=k=π(x)

559 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 04:30
a(n+2) + pa(n+1) + qa(n) = 0

数列{a(n)}の項を一段進ませる作用をTで表す。つまり、T:{a(n)}|→{a(n+1)}
とする。TはR^2においてどのような行列で表されるか。

560 :536:2001/06/18(月) 04:43
>>537
ありがとうございました、
って、全然わかんない(泣
根本的にダメなのかも。。。

どっちにしても今日発表なので、先生に、
わかりませんでしたぁ
と、言うことにします。

自分、理系ではあっても、化学なんですよ、数学ダメダメ。
みなさん、すごいですねぇ、はぁ。

561 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 04:45
>>560
あなたの2chまでを使う心意気やよし!!

562 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 06:48
>>547
(1) 点 P の極座標を (r,θ) とする(r>0 としておく)。
P から l に下ろした垂線の足を H とすれば、
OP=r, PH=|3-r*cosθ|
求める放物線上に P がある条件は、OP=PH 。
r=|3-r*cosθ| より (a) r=3/(1+cosθ), (b) r=-3/(1-cosθ) となるが、
r>0 より、(a) が答え。

(2) 普通の直交座標では、A(1,0), B(-1,-√3) であり、求める直線は、
y=√3/2*(x-1)
これに、x=r*cosθ, y=r*sinθ を代入すれば、極方程式になる。
r(√3/2*cosθ-sinθ)=√3/2 が答え。
(cosα=√(3/7), sinα=-2/(√7) となるαをとれば、r*cos(θ-α)=√(3/7) とも書ける)

563 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 06:50
>>559
基底のとり方によるんじゃないの?

>>382 の {α(n)}、{β(n)} を基底にとるなら、次の式から求まる。
T{α(n)}=-q*{β(n)}
T{β(n)}={α(n)}-p*{β(n)}

564 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 07:04
>>560
f(x)のフーリエ積分は
f^(ξ)=(1/2π)∫[−∞→+∞]f(x)exp(ixξ)dx-(1)
なので
f^(aξ)=(1/2π)∫[−∞→+∞]f(x)exp(ixaξ)dx-(2)
となる[(1)式のξをaξにおきかえる]
ここで(2)の左辺の積分に
x=t/a-(3)とおいて置換積分をつかう
(3)を微分してdx/dt=1/a-(4)

よってa>0なら積分範囲は変わらないので(2)は
f^(aξ)=(1/2π)∫[−∞→+∞]f(x)exp(ixaξ)dx
=(1/2π)∫[−∞→+∞]f(t/a)exp(i(t/a)aξ)(dx/dt)dt
=(1/2π)∫[−∞→+∞]f(t/a)exp(itξ)(1/a)dt
=(1/a)(1/2π)∫[−∞→+∞]f(t/a)exp(itξ)dt
=(1/|a|)f^(ξ/a)-(5)

よってa<0なら積分範囲が+∞→−∞になるので(2)は
f^(aξ)=(1/2π)∫[−∞→+∞]f(x)exp(ixaξ)dx
=(1/2π)∫[+∞→−∞]f(t/a)exp(i(t/a)aξ)(dx/dt)dt
=−(1/2π)∫[−∞→+∞]f(t/a)exp(itξ)(1/a)dt
=(-1/a)(1/2π)∫[−∞→+∞]f(t/a)exp(itξ)dt
=(1/|a|)f^(ξ/a)-(6)

以上より
f^(aξ)=1/|a|・f^(ξ/a)

565 :559:2001/06/18(月) 09:35
>>563
ご指南ありがとうございます。
基底の取り方は>>382のとおりでよいです。

もう一つ愚かな私に教えてください。
>T{α(n)}=-q*{β(n)}
>T{β(n)}={α(n)}-p*{β(n)}
ここまでは分かりました。
ここからどう求めるか教えてください。

566 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 13:18
>>565
{a(n)}∈V は、{a(n)}=x*{α(n)}+y*{β(n)} と書ける。
これを、ベクトル (x,y) とみなす。

T{a(n)}=x*T{α(n)}+y*T{β(n)}=y*{α(n)}+(-qx-py)*{β(n)}
であるから、T{a(n)} を、ベクトル (x', y') とみなすとすると、
x'=y
y'=-qx-py
∴ T=[[0,-q],[1,-p]] (表記は >>3 に従った)

あるいは、{α(n)}=(1,0), {β(n)}=(0,1) とみて、これを、
T{α(n)}=-q*{β(n)}
T{β(n)}={α(n)}-p*{β(n)}
に代入して T を求めてもよい。その方が簡単。

567 :559=565:2001/06/18(月) 15:43
>>566 本当にありがとうございました。

568 :neko:2001/06/18(月) 16:23
どうして『d(x転地Px)/dx=2x転地P』になるのか教えてください。
xはn次の列ベクトル。Pはn×nの正定対称な行列です。

569 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 16:35
Edward Nelsonの数式の無い論文について
教えて下さい。
確か調和関数に関する論文だったとおもいます。

570 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 17:59
>>569
マジで?数式ない数学の論文なんてあるの?

571 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 18:11
ビミョーに混乱してない?>>564

572 :Tex練習屋:2001/06/18(月) 18:57
>>568
ほらよ。
\documentclass[]{jarticle}
\begin{document}
$\displaystyle \nabla x^tPx=2x^tP$の証明(3次行列の場合) \\
$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{ccc} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} p_{11}x_1+p_{12}x_2+p_{13}x_3 \\ p_{21}x_1+p_{22}x_2+p_{23}x_3 \\
p_{31}x_1+p_{32}x_2+p_{33}x_3 \end{array} \right) \\ \\
=p_{11}x_1^2+p_{22}x_2^2+p_{33}x_3^2+2p_{12}x_1x_2+2p_{23}x_2x_3+2p_{31}x_3x_1 $ \\ \\
よって、\[ \displaystyle \nabla x^tPx= \left( \begin{array}{c} 2x_1p_{11}+2x_2p_{12}+2x_3p_{13} \\
2x_1p_{21}+2x_2p_{22}+2x_3p_{23} \\ 2x_1p_{31}+2x_2p_{32}+2x_3p_{33} \end{array} \right)
=\left( \begin{array}{ccc} 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{array}
\right) \]
\end{document}

573 :わんこ:2001/06/18(月) 19:14
2問お願い致します

@2以下の目が出る確率がp(0<p<1)のさいころを一つ投げて、出た目の数によって数直線上を動く点Pを考える。
 Pは点0から出発し、2以下の目のときは正の向きに2、それ以外のときは正の向きに1だけ進むものとする。
 いま、Pが点nに止まらず、点2nに止まるという事象をXnとするとき、Xnが起こる確率を求めよ。

Axy平面において、点(3/2、a)からy=x^4−3/2x^2へ引いた接線の本数をaの値で分類せよ。

574 :564:2001/06/18(月) 19:38
そうかもしれん・・

575 :訂正です:2001/06/18(月) 20:28
>>571
f(x)のフーリエ積分=f^(ξ)=(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(x)exp(ixξ)dx-(1)

f(ax)のフーリエ積分=(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(ax)exp(ixξ)dx-(2)
ここで(2)の左辺の積分に
x=t/a-(3)とおいて置換積分をつかう
(3)を微分してdx/dt=1/a-(4)

よってa>0なら積分範囲は変わらないので(2)は
f(ax)のフーリエ積分=(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(ax)exp(ixξ)dx
=(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(t)exp(i(t/a)ξ)(dx/dt)dt
=(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(t)exp(it(ξ/a))(1/a)dt
=(1/a)(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(t)exp(it(ξ/a))dt
=(1/|a|)f^(ξ/a)-(5)

よってa<0なら積分範囲が+∞→−∞になるので(2)は
f(ax)のフーリエ積分=(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(ax)exp(ixξ)dx
=(1/(√(2π)))∫[+∞→−∞]f(t)exp(i(t/a)ξ)(dx/dt)dt
=−(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(t)exp(it(ξ/a))(1/a)dt
=−(1/a)(1/(√(2π)))∫[−∞→+∞]f(t)exp(it(ξ/a))dt
=(1/|a|)f^(ξ/a)-(6)

以上より f(x)のフーリエ積分をf^(ξ)として
f(ax)のフーリエ積分=1/|a|・f^(ξ/a)

どうでしょう・・

576 :数学初心者:2001/06/18(月) 20:45
研究で確率を使うことになったのですが、数学の専門家ではないので
難しくて自力ではどうしようもなく書き込みました。
わかりやすく教えていただきたいのですが、お願いします。

確率密度関数Φ(lnW)の平均、標準偏差が
μlnw=a
σlnw=b
で与えられていて
lnV=(1/3)ln(c×(16W)^(5/3)+d)+lnf (a,b,c,d,fは定数)
のとき、lnVの、平均μlnv及び標準偏差σlnvはどのようになるのですか?
できれば過程もわかるように説明していただきたいです

577 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 23:21
kを実数とするとき、方程式x^3−(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x−4k^2=0
の解をz1、z2、z3とし、それらを複素数平面上の点と見なす。

(1)z1、z2、z3が一直線上にあるようなkの値を求めよ。

(2)z1、z2、z3が直角三角形をなすようなkの値を求めよ。

(3)3点z1、z2、z3を原点の周りに角θだけ回転して
  得られる3点をw1、w2、w3とする。w1、w2、w3、
  および、それらと共役な複素数w1のバー、w2のバー、w3のバーとが
  原点中心の正六角形の頂点となるとき、
  k、およびθ(0≦θ≦π)の値を求めよ。

この複素数平面の問題がとけません、、
どなたかよろしくお願いします

578 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 23:23
n×n行列の値を出力する再帰プログラムをCで書きたいのですが・・・
くだらなくてすみません・・・

579 :neko:2001/06/18(月) 23:30
>572さん
ありがとうございました。

580 :132人目の素数さん:2001/06/18(月) 23:32
>>577
因数分解できるだろ。もうチョット考えて見ろ。

581 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 00:19
>>577
 x^3−(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x−4k^2=0 ⇔ (x-1)(x^2-2kx+4k^2)=0

(1) z1、z2、z3が一直線上にある ⇔ (z2-z1)=t(z3-z1)をみたす実数tが存在
(2) z1、z2、z3が直角三角形をなす ⇔ (z2-z1)=(z3-z1)(cos60°+isin60°)≠0
(3) |w1|=|w2|=|w3|=|z1|=|z2|=|z3|が必要

582 :訂正:2001/06/19(火) 00:32
× (z2-z1)=(z3-z1)(cos60°+isin60°)≠0
◎ (z2-z1)=(z3-z1)(cos60°±isin60°)≠0

583 :名無しの歌が聞こえてくるよ♪:2001/06/19(火) 00:34
すいません、ご教授ください。

(1) ^(3)√54+3/2*^(6)√4+^(3)√-1/4=2^(P)の時のPの値を求めよ。

(2) 3つの数 ^(3)√4/9 ^(3)√9/16 ^(4)√8/27を大小順にせよ。

です。どうかお願いします。

584 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 00:45
n乗根はx^(1/n)がよさげ

585 :名無しの歌が聞こえてくるよ♪:2001/06/19(火) 00:59
>>584さん
私にレスをつけてくださったのですか?
すいません。言い訳になりますが不慣れなもので。

586 :名無しの歌が聞こえてくるよ♪:2001/06/19(火) 01:14
(1) (3)^√54+3/2*(6)^√4+(3)^√-1/4=2^(P)の時のPの値を求めよ。

(2) 3つの数 (3)^√4/9 (3)^√9/16 (4)^√8/27を大小順にせよ。

直してみました。よろしくお願いします。

587 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 01:35
>>586
誤解なり。

(1) 54^(1/3)+(3/2)*4^(1/6)+(-1/4)^(1/3)=2^Pの時のPの値を求めよ。
(2) 3つの数 (4/9)^(1/3) (9/16)^(1/3) (8/27)^(1/4)を大小順にせよ。

(1)
54^(1/3)=((3^3)*2)^(1/3)=3*(2^(1/3))
4^(1/6)=(2^2)^(1/6)=2^(1/3)
(-1/4)^(1/3)=(((-1/2)^3)*2)^(1/3)=-(1/2)*2^(1/3)

(2)
それぞれ12乗して通分してもいいけど…

(4/9)^(1/3)=(2/3)^(2/3)
(8/27)^(1/4)=(2/3)^(3/4)

y=a^x、0<a<1
y=x^a、0<a<1のグラフと照らし合わせてみれ。

588 :586:2001/06/19(火) 01:36
答えはわかってるんです。
(1)は7/3
(2)は3番目<1番目<2番目になるのですがその考え方が・・・
明日数学があるんで切実です。スレッド汚してすいませんがどうかお願いします。

589 :586:2001/06/19(火) 01:40
ああ、かぶってしまった・・・
夜分遅くにすいませんでした。587さん本当にありがとうございます。
感謝感激です。マジで。

590 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 01:44
>>586
直ってないだろ?
>>585さんは、54の3乗根とかは 54^(1/3) と書け、
て言ってるんだよ。
だから、

(1) 54^(1/3) + (3/2)*4^(1/6) + (-1/4)^(1/3) = 2^P の時のPの値を求めよ。

(2) 3つの数 (4/9)^(1/3)、(9/16)^(1/3)、(8/27)^(1/4) を大小順にせよ。

て書くべき。分かる?不慣れだとか言わないで
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=991223596&st=3&to=3&nofirst=true
を読め。

591 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 01:45
>>586
(xy)^n=(x^n)*(y^n)
(x^m)^n=x^(mn)

592 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 01:46
カブッタ。鬱氏・・・。

593 :586:2001/06/19(火) 01:54
皆さんご迷惑かけました。
590さんの所は目を通したつもりだったのですが反省しております。
答えてくださった方々、本当にありがとうございました。

594 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 02:01
(x^m)*(x^n)=x^(m+n)も追加

595 :586:2001/06/19(火) 02:06
>>594さん
何度もすいません。指数本当に分からないので助かります。

596 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 02:32
この問題、がいしゅつなんですがわかりません。

t = cos(x)sin(y) = sin(x) + cos(y) であるとき
(1) sin(x)cos(y) を t で表せ
(2) t のとりうる値の範囲を求めよ

答えは
(1)は sin(x)cos(y) = -1 + (√2)|t|
(2) -2√2 + 2 ≦ t ≦ 2√2 - 2

従属変数が x、y と2個あってどういう方針で解けばいいのか
見当がつきません。(1)の解き方の方針を教えてください。
この質問をした人は、(1)は解けたみたいで(1)の解き方は
何とも書いていなかったので、教えて下さい。

597 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 03:26
t²=(sinx+cosy)²=sin²x+2sinxcosy+cos²y-(1)
t²=(cosxsiny)²=(1-sin²x)(1-cos²y)=1-sin²x-cos²y+sin²xcos²y-(2)
(1)+(2)
(sinxcosy)²+2(sinxcosy)+1=2t²-(3)
A=sinxcosyとして(3)は
A²+2A+1-2t²=0-(4)
(4)をといて-1≦A≦1より
A=-1+√(2t²)
もっときれいにとけるかも・・

598 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 06:53
>>573
(1)
点 k に止まる確率を a(k) とおくと、
a(k+2)=(1-p)*a(k+1)+p*a(k)
が成立。a(0)=1, a(-1)=0 の条件でこの漸化式を解く。
(a(0)=1, a(-1)=0 というのが分かりにくければ、a(1)=1-p, a(2)=p から解いても可)。
a(k)={1-(-p)^(k+1)}/(1+p) になる。

求めるべきは、点 n-1 まで進み、そこで正の向きに 2 進み、そこからまた n-1 進む確率。
ゆえに a(n-1)*p*a(n-1) が答え。

(2)
f(x)=x^4-3/2*x^2 とおく。
(t, f(t)) における接線の方程式は、
y=f'(t)(x-t)+f(t)
これが、(3/2, a) を通る条件は、a=f'(t)(3/2-t)+f(t) だから、
a に対してこの式を満たす t の個数を求めればよい、というのが基本的な方針。
f'(t)(3/2-t)+f(t) のグラフの概形を描けば個数は求まる。
ただし、このまま解答しては、考え落としが一箇所あって、減点される。

599 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 14:07
>>598
>a(1)=1-p, a(2)=p から解いても可

a(2)は・・・

>考え落としが一箇所あって

y軸に平行な接線・・・

600 :598:2001/06/19(火) 15:58
× a(2)=p
○ a(2)=p^2-p+1

>>599
>y軸に平行な接線・・・

その吟味は必要ないんじゃないの?
曲線上の任意の点 (t, f(t)) における接線が、
y=f'(t)(x-t)+f(t)
で与えられているから、これ以外の接線はあり得ないでしょ。

601 :教えて:2001/06/19(火) 18:04
x^2+y^2+z^2=1 を満たすとき、xy+yz+zx の取りうる値を求めよ。

 p↓=(x、y、z)、q↓=(y、z、x) とすると
 |p↓|=|q↓|=1 より p↓・q↓=xy+yz+zx=1・1・cosΘ

これからどうすればよいのか分からなくなりました。
Θには範囲が存在するのでしょうか?
それとも、もっといいやり方があるのでしょうか?

ネットで見つけた問題なので答えは分かりません。 

602 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 18:05
うまく解答が書けない。

a,b,cが整数で a^3+2b^3+4c^3=2abc を満たすとき
(1)a,b,cはすべて偶数であることを示せ。
(2)a=b=c=0であることを示せ。

(1)はすぐ分かるけど(2)がうまく書けん。

603 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 18:49
aが偶数のは明らか。a=2a_1とおく。両辺2で割って
4a_1'^3+b^3+2c^3=2a_1bc これよりbは偶数。b=2b_1とおく。両辺2で割って
2a_1^3+4b_1^3+c^3=2a_1'b_1c これよりcは偶数。c=2c_1とおく。両辺2で割って
a_1^3+2b_1^3+4c_1'^3=2a_1b_1c_1 これは元の式と同じ形をしている。
そこでa_1,b_1,c_1に対し同じ推論が出来る。これを繰り返す。
この操作が有限回で終わらないとすると、
a>a_1>a_2>・・・>0
b>b_1>b_2>・・・>0
c>c_1>c_2>・・・>0
という減少列が生じ矛盾。よってあるnがあって、
a_n/2=a_n+1
b_n/2=b_n+1
c_n/2=c_n+1
すなわちa_n+1=b_n+1=c_n+1=0、これよりa=b=c=0。

604 :お願いします!!助けて!!:2001/06/19(火) 19:56
以下の3−6の問題は、16ビットの数システムで最上位桁を符号とし、
2の補助表記を用いて整数を表すものとする。

3.16ビットで表現できる整数の数値は似を10進法で答えよ。

4.次の計算をせよ。ただし、引き算は補助の足し算で求めること。また、
  10進法に換算して計算せよ。

  a)0011 0101 1100 1010+1010 1100 1100 1100
  b)0111 0111 0111 0111+0100 0100 0100 0100
  c)0111 1011 1101 1110−0011 0110 1010 0101
  d)1100 1110 1111 0000−1000 1100 1110 1111

5.足し算と桁移動による掛け算のフローチャートに従って次の積を求め、途中経過
  も含めて示せ。また、10進法に変換して検算せよ。
 
  0000 0000 0111 1001×0000 0000 1111 0011

6.補数の足し算による割り算のフローチャートに従って次の整数商と剰余を求め、
  途中経過も含めて示せ。また、10進法に変換して検算せよ。

  0000 0011 1100 1101÷0000 0001 0011 1111

7.次の実数を2進法は10進法に、10進法は2進法に変換し、さらに2進法を4バイト
  (32ビット)の実数の内部表現で示せ。

  a)1023.25 10

  b)−0.01101 2

605 :あこ:2001/06/19(火) 20:15
私は文系の大学生です。
大学のレポートでこんな問題が出ました。
どうしてもできません。
誰か教えてくれませんか?
おねがいします。


オイラーの公式

 e^iθ=cosθ+i*sinθ

から出発して、(1)(2)を証明せよ。

(1)複素数z1、z2に対して

     |z1 z2| = |z1||z2| ,
arg(z1 z2) = arg z1 + arg z2,

(2)[1のn乗根] z^n =1を満たす複素数zは

     cos(2πk/n) + sin(2πk/n) (k=0,1,2,...,n-1)


のn個である。

606 :一会社員:2001/06/19(火) 22:03
すいません.論文を見ていたら乗っていたのですが,
ラプラス方程式(広くはPDEかな)をGreen関数使って特
ってのは一般的な手法なのでしょうか.手元に資料がなくて
こまってるんですが.
こういう計算が乗っている文献しっていたら教えて.
高木貞治の解析概論には載ってなかったです.

607 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 22:28
数ベクトル空間の写像 F:R^3→R^3は
F(x)=Ax+a,x∈R^3
の形に表されるとき、合同変換であるという。ただし、Aは3*3の実行列で、A tA = I
をみたし、a∈R^3はベクトルである。ただし、tAはAの転置行列を表し、Iは3*3単位行列である。
組(A,a)がひとつの合同返還を定めている。R^3内のすべての三角形のなす集合を考える。
2つの三角形が合同変換で互いに移りあうとき、それらは互いに合同であるという。合同は
三角形の集合に同値関係を与えることを示せ。(反射律、対称律、推移律を満たすことを言え)。
2つの三角形ABCとA'B'C'の対応する2辺と侠角が等しいとき、それらは互いに合同であること、
つまり合同変換が存在することを示せ。

608 :定番:2001/06/19(火) 22:38
>ラプラス方程式(広くはPDEかな)をGreen関数使って

寺沢 「自然科学者のための数学概論」 岩波 など参照。

609 :一会社員:2001/06/19(火) 22:51
608>
ありがとね.有名な方法のようで.

610 :一会社員:2001/06/19(火) 23:04
608>さん他数学の得意な人へ.
うーん.
やっぱり土日になんないと(修了した)大学の図書館にいけないから
それまで,待たないといかん.早く知りたい,せっかちで.
適当でいいから,どんな感じのプロセスか教えて貰えますか?
この画面じゃ表示大変かも知れないけど.

611 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:17
>>605
計算すればできるでしょう。

612 :Green関数:2001/06/19(火) 23:26
http://www2c.airnet.ne.jp/phy/phy/m07.html

ここはどうかな?

613 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:30
√−3
はなぜ
−√3
になるの?

614 :Green関数:2001/06/19(火) 23:30
http://homer.shinshu-u.ac.jp/caesysvlab/bem/Basic/For/For3.2.3.html

あんたも甘えないで自分で調べなさい。

615 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:31
>>613
???

616 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:33
614はちょっとちがうGreenの公式だね。

617 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:45
>603
ありがたき幸せ。
なるへそ。何となくは分かっていたけど、うまく書けなかった。
書き方が分かって、トイレの後のようにすっきりしました。サンクスです。

618 :602:2001/06/19(火) 23:46
>603
ありがたき幸せ。
なるへそ。何となくは分かっていたけど、うまく書けなかった。
書き方が分かって、トイレの後のようにすっきりしました。サンクスです。

619 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:47
>>613
へ、そーなん?

620 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:48
>>613
ならねーぞ!

621 :一会社員:2001/06/19(火) 23:57
614>
おまえの物言いは不愉快だが,情報ありがとう(612さんも).
ここぞとばかりに言うねえ.こっちは甘えて入れてんの.

FEMやBEMは親切なHPが結構あってよいかも.

622 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:58
放物線 y^2=x^2-2x と 直線L:y=(1/2)x とで囲まれる領域を直線Lを
軸として回転さしてできる立体の体積Vを求めよ。

という、受験勉強定番の問題がありますが、
世の中には、直線Lを新しい軸として解いたり、円錐の側面を用いて傘型
(特に直線がy=xのとき)とかいって解くやり方が出回っています。

でも、
 放物線上の点をP(t,t^2-2t)として
 (点Pと直線Lの距離)={1/(√5)}・|t-2(t^2-2t)|=d
 ∴ V=∫[0→(5/2)]d^2πdt

で一発ではないですか? 何であんなアホみたいなことを教えるのだろう・・・
別に他のに応用がきく訳でもあるまいし。

623 :132人目の素数さん:2001/06/19(火) 23:58
3√−1
(3は累乗根ね)
なら、−1になる。
−1は3乗しても−1だから。

624 :あこ:2001/06/19(火) 23:59
>>611
うう…。
わからないよー…。

625 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:06
>>597さん
ありがとうございます。
単純にただ
cos(x)sin(x) = sin(x)+cos(x)を両辺二乗して
[sin(x)]^2, [cos(x)]^2を消せずに悩んでいたみたいです。
t^2=(sinx+cosy)^2
t^2=(cosxsiny)^2
てやればよかったのかー。
ただ、(2)を解いてみたら-1≦t≦1になってしまいました。
A^2+2A+1-2t^2=0-(4)
が -1≦A≦1 で解を持つ条件を判別式Dで求めました。
D=4-4(1-2t^2)≧0
t^2≧0
-1≦t≦1
自分が間違えているだけなのかもしれない。
あと、どうでもいいかもしれないんですけど、597さんは
指数をx^2とかいうふうに書かずにふつうに書き込んでいますけど、
どうやって書き込んだんですか?

626 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:06
どこがわからないの?

627 :あこ:2001/06/20(水) 00:10
もう、最初からわからないです…

628 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:12
かっ,かわいそう.その状況はわかるよ.
そういう女の子は必ず大学時代にいたし.

629 :あこ:2001/06/20(水) 00:15
きっと女は数学に向かないんです。

630 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:18
>>625
ソースを見るか、かちゅ〜しゃで「>>597」にポインタをあわせるとわかる。
つーか半角で「&sup"数字";」だ。 ex. x²

631 :一会社員:2001/06/20(水) 00:23
友達だったら教えてあげたのに.愛嬌あるし(女のフリじゃないよな).
俺はそろそろ眠いから寝ちゃお.
ここより理系の友達とかに聞いたほうが,結果いいよ.
高校生でもわかるかもしれん.
もう0時回ったし,たかが宿題と思って寝ちゃえば?

632 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:33
>>629
女なの?
(1) 高校の基礎解析(三角関数)を知ってればできる
(2)(1)を使えばできる

633 :「あこ」:2001/06/20(水) 00:36

ネカマ注意。他のスレにも書いてるぜ>All

634 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:50
>>625
sinxcosyは-1以上で1以下 だけど
cos(x)sin(y) = sin(x) + cos(y) っていう条件があるから
sinxcosyは[-1,1]のすべての値をとるわけではないと思います

635 :一会社員:2001/06/20(水) 00:51
まー,最初にそれを疑ったんだけどね.

ところで,ここの板初めて着たんだけど,流行ってんじゃん.
数学だから寒いのかと思ったけど.シュミレーションは逆.

636 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:54
x&sup"2";

637 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 00:56
>>636
[ワラータ]²

638 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 01:15
x&sup2; -> x² だろ

639 :638:2001/06/20(水) 01:16
あれ?

640 :KARL:2001/06/20(水) 01:23
>>635

くだらない指摘で申し訳ないんですが、「シュミレーション」
ではなく「シミュレーション」としたほうがいいと思います。

641 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 01:39
ある惣菜屋で、グラム単位で総菜を切り売りしている。
原価は1グラムあたりC円、それをグラムあたりP円で売っている。
惣菜がxグラム売れる確率は確率密度関数f(x)で与えられるとき、
利益の期待値を最大にする仕入れ量をQとする。
∫[0,Q]f(x)dxをCとPのみで表せ

という問題を解いてください。
お願いします。

642 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 01:40
ある惣菜屋で、グラム単位で総菜を切り売りしている。
原価は1グラムあたりC円、それをグラムあたりP円で売っている。
惣菜がxグラム売れる確率は確率密度関数f(x)で与えられるとき、
利益の期待値を最大にする仕入れ量をQとする。
∫[0,Q]f(x)dxをCとPのみで表せ

という問題を解いてください。
お願いします。

643 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 01:40
間違って2回入れてしまった、、、すいません

644 :625:2001/06/20(水) 02:09
うーんわからない
A²+2A+1-2t²=0を判別式使って,t²≧0を
求めてからがさっぱり
答えは、-2√2 + 2 ≦ t ≦ 2√2 - 2 らしいんですけど、
t = cos(x)sin(y)=sin(x)+cos(y)
A = sinxcosy
をうまく使うのかなー。
過去ログで226さんが、
「pの2次方程式
p² - tp + (√2)|t|-1 = 0
が-1≦p≦1 に2解を持つtの条件を考えればぁ?」
と書いてくれているのですけど、やっぱりわからない。
どういう方針でもってけばいいのか、うーん・・・。

645 :644:2001/06/20(水) 02:31
すみません。文字化けです。
(誤)A²+2A+1-2t²=0を判別式使って,t²≧0を
(正) A²+2A+1-2t²=0を判別式使って,t^2≧0を

646 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 03:22
>>644
sinxcosy -(sinx+cosy)cosy+cos²y=0

647 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 03:42
>>644
634も書いているが、Aは-1から1までの全ての値を取れるかは分からない。
そこで、全ての値が取れることがはっきりしている、sin(x)を考える。
sin(x)cos(y) = sin(x) ( t - sin(x) ) = -1 + √2t^2
sin(x) = pとすると2次方程式
p^2 - tp + (√2)|t| - 1 = 0
になる。

648 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 04:18
>>644
>「pの2次方程式
>p2 - tp + (√2)|t|-1 = 0
>が-1≦p≦1 に2解を持つtの条件を考えればぁ?」
>と書いてくれているのですけど、やっぱりわからない。

どうして「pの〜を考えればぁ?」でいいのかがわからないの?
それとも「pの〜」の条件の求め方がわからないの?
どっちでもない?

 sin(x)+cos(y)=t,sin(x)cos(y)=(√2)|t|-1
解と係数の関係からsin(x),cos(y)を解に持つpの二次式は
 f(p)=p^2-tp+(√2)|t|-1=0
と書けて、-1≦sin(x),cos(y)≦1より
 f(p)=0が-1≦p≦1に解を持つtの条件・・・(*)
を考えればよい。
 (*) ⇔ 判別式≧0 かつ f(±1)≧0
    ⇔ 判別式≧0 (∵f(±1)≧0はtによらず成立)
    ⇔ t^2-4(√2)|t|+4≧0
    ⇔ (|t|-2√2)^2≧2^2
    ⇔ 略

見当はずれだったらスマソ

649 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 04:41
∫1/(x^3 * (x^3+1)^(1/3)) dx (不定積分)
どうしてもわかりません。どうかご助力お願いします。。

650 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 04:47
x^3+1=tとおけ

651 : :2001/06/20(水) 05:58
>>649
(-1/2)*(x^(-2))*(x^3 + 1)^(2/3) + 定数

652 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 07:08
>>601
直線 x=y=z を軸として、120°回転させると、
(x, y, z) → (y, z, x)
になる。(x 軸・y 軸・z 軸が、 y 軸・z 軸・x 軸に重なるように回転するわけ)
このことから、言葉で説明するのが面倒だけど、
0≦θ≦120°
がいえる。これより、解答可能。

普通は、「x^2+y^2+z^2=1 を満たすとき、x+y+z の取りうる値を求めよ」という
問題(これは易しい)をまず解いて、(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) の公式より、
xy+yz+zx={(x+y+z)^2-1}/2 と考えて解く。

653 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 07:09
>>607
反射律:A=I, a=0
対称律:y=Ax+a ⇒ x=A^(-1)y-A^(-1)a
推移律:y=Ax+a ,z=By+b ⇒ z=BAx+Ba+b

後半は、どの程度のレベルで示せばよいのかよくわからん。
空間内の回転が直交行列で表せることを既知としてよいなら、かなり自明。

654 :名無しゲノムのクローンさん:2001/06/20(水) 14:16
原点を通る3次関数がax^3+bxになる理由を教えてください

655 :名無しゲノムのクローンさん:2001/06/20(水) 14:30
>654 条件に線対称が入ります。

656 :呪苦鮫:2001/06/20(水) 14:38
>>654
質問の意図が不明。
例えば、曲線y=x^3+x^2は原点を通るが、ax^3+bxとは表せない。
よってやり直し。

もしかしたら、
「3次関数のグラフを平行移動してax^3+bxにできる理由」
を訊きたかったのかな?

657 :656:2001/06/20(水) 14:46
>>655
ごめんなさい。654だけを見て書き込んでしまいました(鬱)。
それにしても、3次関数のグラフが線対称?
ますます意図が不明です。

658 :601:2001/06/20(水) 14:51
>>652
なるほど、120°ね。言われてみれば120°回転させたものだ。覚えとこ。
謝謝!

659 :654:2001/06/20(水) 14:53
数学の問題で3次関数y=f(x)のグラフは点対称である。
このことをf(x)=2x^3+12x^2+18x+9について示せと言う問題があって
その解答が、x軸に-p、y軸に-qだけ平行移動移動すると
y=2x^3+6(p+2)x^2+6(p^2+4p+3)x+2p^3+12p^2+18p-q+9
となり、p+2=0 2p^3+12p^2+18p-q+9=0となればいいらしいのですが
これが意味不明なのです。

660 :654:2001/06/20(水) 14:54
655は点対称です。間違い

661 :呪苦鮫:2001/06/20(水) 15:15
>>654
一般に、3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)のグラフは、
変曲点について点対称であるという性質がある。
以下、これを示そう。
(変曲点とは、グラフの凹凸が入れ替わる点のことであり、
2次導関数f"(x)の符号が入れ替わる点になる)
f'(x)=3ax^2+2bx+c f"(x)=6ax+2b
a≠0なので、変曲点はただ一つ(-b/3a,f(-b/3a))である。
この変曲点が原点になるように曲線y=f(x)を平行移動した
3次関数については、b=0かつf(0)=d=0が成り立つ。
移動後の関数を改めてg(x)=ax^3+cxとおくと、
任意のxについてg(-x)= -g(x)となるので、グラフは原点対称。
よって、元の曲線y=f(x)は変曲点に関して点対称である。

662 :661の続き:2001/06/20(水) 15:25
例えば、659の問題ならば、
2回微分してf"(x)=12x+24だから変曲点は(-2,5)になるので、
元の関数をx軸方向に2、y軸方向に-5平行移動すればよい。

654さんは今、高校の数2を習っているのかな。
凹凸と2次導関数の関係については数3で扱うので、
可能ならばそこまで踏み込んで勉強した方が
ずっと見通しが良くなると思うよ。

663 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 15:31
>>648
(*)の条件が不完全。-1≦t/2≦1もいるだろ。
f(p)=(p+2)^2なら、判別式≧0 かつ f(±1)≧0 だけど、解はp=-2だぞ。

664 :654:2001/06/20(水) 15:41
2回微分ってのが良くわかりませんが、数3をやればいいのですね。どうもです。

665 :648:2001/06/20(水) 17:59
>>663
フォローthnx。これでt≦-2-2√2,2+2√2≦tをはじくことができます。

666 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 21:32
θをn次代数的数として、K=Q(θ)の元αは
α=c_{0}+c_{1}θ+…+c_{n-1}θ^{n-1} (c_{i}は有理数)
と書ける。θの最小多項式は相異なる根θ=θ^{1},…,θ^{n}を
持つ。これらをθの共役と呼ぶ。
σ_{i}()=c_{0}+c_{1}θ_{i}+…+c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} (1≦i≦n)
「このとき、Kから代数的数全体の集合への同型写像はn個に限り、
それらはσ_{1}(α),…,σ_{n}(α)によって与えられる。」

「」の部分の証明をどなたかお願いします。特に「n個に限る」
ってところが非常に厄介でして…。Q[x]から代数的数全体への写像
について考えるとよいらしいのですが…どうもピンときません。
以前にも同じようなことを伺ったと思いますが、どうか細々(こまごま)
とお教え願います。

667 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 23:30
△ABCにおいてAB=6、AC=7、BC=5とする。
点Dを辺AB上に、点Eを辺AC上にとり、△ADEの面積が
△ABCの面積の1/3となるようにする。
辺DEの長さの最小値と、そのときの辺AD、辺AEの長さを求めよ。

お願いします。

668 :クッパ:2001/06/20(水) 23:33
>>667
なんじゃこりゃ?
もうちょっとじっくり考えてみてね。簡単だから

669 :132人目の素数さん:2001/06/20(水) 23:40
>>666
だって、解はn個あるのだからΘの行き先はn個だよ
σ_{i}はθを取り替えるだけの写像だし…

670 :コラッツの問題:2001/06/21(木) 01:09
27がどうしても解けない。
手計算で証明できた人いる?

671 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 01:19
>>670
112stepだよ。頑張れ

672 :625 644:2001/06/21(木) 01:30
どーもです。わかりました。
t=cosxsinyなので,-1≦t≦1となって
t≦-2-2√2,2+2√2≦tをはじけました。
ただ、663さん
-1≦t/2≦1だと-2≦t≦2となってまずいような気が
感謝² >レスつけてくれた方

673 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 01:38
>>672
2次方程式f(p)=0が-1≦p≦1に解を持つ条件。

判別式が正
f(1)≧0
f(-1)≧0
f(p)を2次関数としてみた時、その軸が-1と1の間

の4つだよ。よく教科書読んで見ろ。

674 :665:2001/06/21(木) 01:42
>>672
>t=cosxsinyなので,-1≦t≦1となって

えっとそこから条件を絞るのは流れに沿っていません。

 f(p)=0が-1≦p≦1に解を持つtの条件・・・(*)

 (*) ⇔ 判別式≧0 かつ f(±1)≧0 かつ -1≦t/2≦1
    ⇔ 判別式≧0 かつ -1≦t/2≦1
    ⇔ t^2-4(√2)|t|+4≧0 かつ -2≦t≦2
    ⇔ (|t|-2√2)^2≧2^2 かつ -2≦t≦2
    ⇔ 『「t≦-2-2√2,2+2√2≦t」または「2-2√2≦t≦2√2-2」』 かつ -2≦t≦2
    ⇔ 2-2√2≦t≦2√2-2

675 :665:2001/06/21(木) 01:47
>>673
細かくてスマソ。「判別式が非負」ということで。

676 :132目の素数さん:2001/06/21(木) 01:52
「az=x^2+y^2(a>0)と平面z=aの囲む領域の体積を求めよ」の答え教えて。
一応解いたけど(1/12a)、正解かわかんない。

677 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 01:59
>>676
V=∫[0,a]azdz=(a^3)/2 かな

678 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 02:04
>>677
πは?

679 :672:2001/06/21(木) 02:11
あのこまかいかもしれないんですけど、
-1≦t/2≦1
⇔-2≦t≦2
⇔-2≦cosxsiny≦2
で最後の不等式は成り立たないからまずいかなー
て思います。軸の条件をもっと厳しくして-1/2≦t/2≦1/2
とするほうがいいような・・・
答えは結局どっちでも同じになるんですけど

680 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 02:16
>>678
しまったー
V=πa^3/2=3a^3/2(w

681 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 02:18
>>679
>最後の不等式は成り立たないからまずいかなー

成り立ってるよ。オヒオヒ

682 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 02:20
>>679
必要条件と十分条件がごっちゃになってませんか?

t=cosxsinyが両端の値を取らなくても
-2≦cosxsiny≦2 は、これはこれで不等式として成立しています。

683 :679:2001/06/21(木) 02:51
よく考えたら-2≦-1≦cosxsiny≦1≦2で不等式として成り
たってました。迷惑おかけしてすみません。

684 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 02:57
>>683
迷惑?ここはそういうスレッドだから問題ありません(^^

685 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 04:41
整数 m,n に対して,実数 f(m,n) が定まっている.
この f が次の(1),(2)を満たすと仮定する.

(1)任意の(m,n)に対して f(m,n)≧0.
(2)任意の(m,n)に対して
4*f(m,n) = f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)
が成り立つ.

このとき実は f(m,n) は(m,n に依存しない)定数である
ことを証明せよ.

↑問題はがいしゅつなんだけどどっかに解答ありますか?

686 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 06:39
対数関数と指数関数って何?

687 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 06:39
対数関数と指数関数って何?

688 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 07:16
>>641
仕入れ量 q グラムのとき、利益の期待値を E(q) とすると、次の式が成立。
E(q)=∫[0,q]P*x*f(x)dx+∫[q,∞]P*q*f(x)dx-Cq
(第1項の意味は明白。第2項は、q グラム以上の需要はあるが、
q グラムしか仕入れていないので、それ以上売ることができない状況)。

あとは、q=Q のとき dE(q)/dq=0 となることを使う。

689 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 09:16
>対数関数と指数関数って何?

ヲイヲイ、いくら質問スレでもくだらなすぎる質問だぞ。
高校の教科書を読めや。あるいは「ここがこう」わからない
とか、質問の仕方があるだろうよ。

690 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 11:39
b>0, a=b*cos(x) (-π< x < π)のとき、
a(1) = (a + b)/2
b(1) = (a(1)*b)^(1/2)
.
.
a(n) = (a(n-1) + b(n-1))/2
b(n) = (a(n)*b(n-1))^(1/2)

lim[n→∞]a(n) ,lim[n→∞]b(n)を求めよ。

という問題で、有界な単調数列ってことで、収束して
その値が同じになるのはわかったんですが、収束の値
がうまく導きだせません。どなたか方針などご教授
お願いします。

691 :↑↑↑:2001/06/21(木) 12:45
0<x<πの場合
a(n)=b*cos(x/2)*...*cos(x/2^(n-1))*{cos(x/2^n)}^2,
b(n)=b*cos(x/2)*...*cos(x/2^(n-1))*cos(x/2^n).
極限値は b*sin(x)/x

692 :691:2001/06/21(木) 13:05
訂正:「0<x<πの場合」→「0<x<π/2の場合」

693 :690:2001/06/21(木) 15:09
>>691
どうもありがとうございます。
なるほどそう変形するんですか。
n->∞のときに a(n) -> b*sin(x)/x となるのがちょっと
わからないんで考え中ですが、とりいそぎ、感謝です。

694 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 16:45
以下の問題の作図方法をお教えください。
お願いします。

平面上に直線Lと、Lに関して同じ側にある2点P,Qがある。
このとき、2点P,Qを通りLに接する円を作図せよ。

695 :Det:2001/06/21(木) 17:26
接点の位置を作図することを考えましょう。
重要な役割を果たすのが方べきの定理です。

直線PQはLと平行でないとする。(平行のときは簡単)
このとき、PQとLの交点をOとする。
P,Qのある側に、P,Qを通る円を(Lと交わらないように)描き、
その円をCとする。
Oから円Cに接線を引き、その接点をTとする。
方べきの定理から OT^2=OP×OQ なので
求める円のLとの接点Xは(もちろんOX^2=OP×OQを満たしているので)
OT=OXを満たす。
すなわち、上で求めたOTの長さをL上にOから(左右両方あることに注意)
取れば、それが求める円とLとの接点X_1,X_2である。
残るは3点を通る円の作図です。

やはり作図を図なしで説明するのはつらいです。。。

696 :名無しさん:2001/06/21(木) 18:14
A,B,C,D:集合 AΔB = (A-B)∪(B-A) , A - B = A ∪(Bの補集合) で定義する。

AΔB = CΔD ⇒ AΔC = BΔD

を証明してください。お願いします。

697 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 18:45
f(x)は多項式であるとする。
x=aがf(x)=0のm重根であるための必要十分条件は、
f(a)=f^(1)(a)=…=f^(m-1)(a)=0,f^(m)≠0
となることであることを示せ。
が、わかりません。ヒントでいいので下さい。

698 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 19:05
>>696
方針:地道にやってみる
x∈A-Cとする。
(1)x∈B ならばx∈A∩B。すなわちx∈AΔBの補集合=CΔDの補集合。
xはCに含まれないので、CΔDの補集合のうちC∩Dの部分には含まれない。
すなわちxはDに含まれない。、これよりx∈B-D⊂BΔD。

(2)xがBに含まれないとする。つまりx∈A-B⊂AΔB = CΔD。
xはCに含まれないので、x∈D-C、つまりx∈D、x∈D-B⊂BΔD。

x∈C-Aのときも同様に出来る。これよりAΔC⊂BΔD。

逆の包含関係も、対称な議論で証明出来る。

699 :素人の回答.:2001/06/21(木) 20:25
>>697

まず m重根であることの定義を書いて下さい.

(書けたら,たぶん自分で分かってしまうと思いますが...)

700 :697:2001/06/21(木) 20:30
>>699
f(x)は多項式であるとする。
x=aがf(x)=0のm重根
って、文自体からわかりません・・・

701 :696:2001/06/21(木) 20:59
すいません。間違えました。
>>696
○ A - B = A ∩(Bの補集合)
× A - B = A ∪(Bの補集合)

702 :ピッコリーノ:2001/06/21(木) 22:00
えーっと単純な事で笑われるかもしれませんが
iのi乗=e^(2N+0.5)π
になる導き方を教えてください

703 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 22:17
i^i=(e^(πi/2+2nπi))^i=e^(-π/2-2nπ)
n=-(N+1)とおき直せば、
i^i=e^(π/2+2Nπ)

704 :694:2001/06/21(木) 22:28
>>695(Det先生)

なるほど、わかりました。
ありがとうございます。

705 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 23:12
数列{a(n)}がある。初項から第n項までの和
S(n)がS(n)=3−5a(n)を満たすという。
(1)n≧2のとき、a(n)とa(n-1)の間の関係式を求めよ。
(2)a(n)をnを用いて表せ。
がわかりません。お願いします。

706 :クッパ:2001/06/21(木) 23:20
>>705
自信無いが、
(1)a(n)=5a(n-1)/6
(2)a(n)=1/2*(5/6)^(n-1)

707 :666:2001/06/21(木) 23:21
>>666の訂正です。
>「このとき、Kから代数的数全体の集合への同型写像はn個に限り、
代数的数全体の集合の”中へ”の同型写像、です。
>σ_{i}()=c_{0}+c_{1}θ_{i}+…+c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} (1≦i≦n)
σ_{i}(α)=、です。

>>669
あ、そういえばそうですね・・・。ありがとうございました。反省。
あとひとつ私が泣いているのは

σ_{i}(a)σ_{i}(b)=σ_{i}(ab)
展開した形として一致することは明らか(つまり各係数の配列は等しい)だが、
値としてホントに一致しているか?

です。(結果的には一致しているのでしょうが・・・)

708 :705:2001/06/21(木) 23:24
>>706
どうやってやったのか教えてください。
お願いします。

709 :クッパ:2001/06/21(木) 23:31
>>708
まず1は、s(n)-s(n-1)を計算する。
で、s(n)-s(n-1)=a(n)でしょ?これで、あとは簡単。
2は、1で出したa(n)とa(n-1)との関係とs(1)=a(1)を利用することより
求められるa(1)より、2項間漸化式を解く・・

710 :705&708:2001/06/21(木) 23:37
>>709
なるほど。
どうもありがとうございました。

711 :132人目の素数さん:2001/06/21(木) 23:41
すいません。
やっぱりわかりませんでした・・・

△ABCにおいてAB=6、AC=7、BC=5とする。
点Dを辺AB上に、点Eを辺AC上にとり、△ADEの面積が
△ABCの面積の1/3となるようにする。
辺DEの長さの最小値と、そのときの辺AD、辺AEの長さを求めよ。

お願いします。

712 :クッパ:2001/06/21(木) 23:47
>>711
答えは持ってるの?

713 :名無しさん@お腹いっぱい。:2001/06/21(木) 23:57
>697

(十分性)
x=aがf(x)=0のm重根なら
f(x)=Q(x)*(x-a)^mと表せる。
あとはf(x)のK回微分(K=1,2,・・・m)をライプニッツの公式で表して終わり。

(必要性)
f^(m)≠0なら
f^(m)(x)=p(x)と置ける。
f^(m-1)(x)=∫p(x)dx=P(x)とすれば、
P(a)=0から
P(x)=(x-a)q(x)と置ける。
f^(m-2)(x)=∫(x-a)q(x)dx=Q(x)とすれば・・・
  ・
  ・
  ・
これをm回繰り返せば終わり。(p(x),q(x),・・・は有限次多項式)
最後はt(x)を有限次多項式としてf(x)=∫(x-a)^(m-1)t(x)dxを部分積分して
T(x)*(x-a)^mにできる。

714 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 00:05
>>722
答えは持ってます。
AD=AE=√14の時最小値2√2です。
でもわかりません・・・・

715 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 00:18
AD=x,AE=yとおいて、条件を式にすれば、
0<= x <=6, 0<= y <= 7, xy = 14のとき DE^2 = x^2 + y^2 - 20 の最小値を求めろってこと。
x^2 + y^2 - 20 >= 2xy - 20 = 8 (等号はx=y=√14)

716 :クッパ:2001/06/22(金) 00:19
>>714
cosA=5/7,sinA=2√6/7,S(Δabc)=6√6,S(Δabc)=3S(Δade)とか
使ったら、出るでしょ?

717 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 00:29
>>715-716
どうにかとけました。
ありがとうございました。

718 :697:2001/06/22(金) 00:30
>>713
ライプニッツまだ習ってません。
テイラーのところの、問題なのでテイラーで解くのでしょうか?

719 :697:2001/06/22(金) 00:38
いま、ライプニッツのところ見ました。
この解答もこれから考えて、理解したうえで別海にするとして、
テイラーではどう解けばいいでしょうか?

720 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 00:42
>>697
変な奴

721 :697:2001/06/22(金) 00:46
変な奴で〜す。イェイイェイ!!ピース

722 :きゃん:2001/06/22(金) 00:54
>>711
まず3角形ABCの面積を考える。
ヘロンの公式、あるいは余弦定理から
sin∠BAC=2√6/7,だから三角形ABCの面積は
6√6.
だから三角形ADEの面積は2√6. すなわち
1/2*AD*AE*2√6/7=2√6 整理すると
AD*AE=14
ここまでいい?
で、このときに求めるのはDEの長さの最小値。 三角形ADEに
余弦定理を使うと、
DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2*AD*AEcos(∠DAE)
ここでAD*AE=14と
cos(∠DAE)=cos(∠BAC)=5/7
を使うと、
DE^2 = AD^2 + AE^2-20
ここでAD=X, AE=Yとすると、問題は、

XY=14のとき、X^2 + Y^2 - 20の最小値を
求めればいいことになる。 この2つをXY平面
上に書くと、XY=14(1)は直角双曲線、
X^2 + Y^2 = DE^2 + 20(2)は原点中心の円になる。
つまり、円(2)の半径を変化させて、双曲線(1)と
交わるようにしたときの円(2)の半径の最小値を
もとめればいい。 もちろんこれは、両者が接するとき。
計算していくと、2次方程式
t^2 - (k + 20)t + 196 = 0 (t=X^2, k = DE^2)
が重根を持てばよい。 だから、
(k + 20)^2 - 784 = 0
をといて、k = 8 ここでk=DE^2だから
DEの最小値は2√2. またこのとき、
t=14、すなわちAD=√14、AE=√14.

全部頭でやって一切紙に書いてない
からあってるかわかんないけど。 どう?

723 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 01:04
4^xー2^(x+2)≧−3ってどうやって解くのでしょうか。
お願いします。

724 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 01:21
>>722
大げさ。sinAは未知のままでいいし
相加相乗で(AD^2 + AE^2)≧2√(AD^2*AE^2)=28

725 :クッパ:2001/06/22(金) 01:23
>>723
左辺をまとめて、両辺対数取ったら良いんじゃないの?

726 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 01:26
>>725
??
できないこと無いだろうけど。

>>723
t=2^xと置き換えれば?

727 ::2001/06/22(金) 01:40
下の問題がわからないので教えて下せー

数列a_nを
a_n=1+1/2+1/3+・・・+1/n -logn で定義するとき
a_nは収束することをしめせ。その極限をαとするとき
lim[n→∞]n(a_n-α)を求めよ。

728 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 02:09
すいません、ちょっとおじゃまします。
f(x,y)=Arctan(y/x):R-{0}→R
これは負のx軸上で定義できないようなのですが、なぜなのでしょうか?
ご説明お願いします。

729 ::2001/06/22(金) 03:09
age

730 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 04:13
オイラー定数だからあたりまえ。、テイラー展開、せきぶん、収束
利用して。(a_n-α)/(1/n)としてあとは・・

731 ::2001/06/22(金) 05:36
そのあとは?>730

732 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 06:40
>>727
ディ・ガンマ関数Γ'(z)/Γ(z)の特殊値と漸近展開を調べよ

733 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 07:01
>>719
f(x) を a を中心にテーラー展開。
f(x)=A+B(x-a)+C(x-a)^2+D(x-a)^3+E(x-a)^4+…

たとえば、x=a で3重解を持つ条件は、
A=B=C=0, D≠0

734 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 07:02
>>728
定義することは可能。
ただし、もし、y 軸上でも定義している場合、
R^2-{(0,0)} のすべてで連続になるように定義することはできない。

735 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 17:01
>>727
a_n=Σ[k=1,n-1]{1/k-log(1+1/k)}+1/n

1/k-1/2(1/k)^2≦log(1+1/k)≦1/k が成立するので、0≦1/k-log(1+1/k)≦1/2(1/k)^2 。
これより、収束がいえる。

a_n-α=-Σ[k=n,∞]{1/k-log(1+1/k)}+1/n

1/k-1/2(1/k)^2≦log(1+1/k)≦1/k-1/2(1/k)^2+1/3(1/k)^3 より、
-1/2Σ[k=n,∞](1/k)^2+1/n≦a_n-α≦-1/2Σ[k=n,∞](1/k)^2+1/3Σ[k=n,∞](1/k)^3+1/n

あとは、次の式を示す。
lim n*Σ[k=n,∞](1/k)^3=0
lim n*Σ[k=n,∞](1/k)^2=1

736 :719:2001/06/22(金) 17:32
>>733
なるほろ!!
わかりました。サンクス

737 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 18:16
すいません、求角の問題なんですけどいいでしょうか?
図が描けないのでわかりづらかったら無視してもらってよいです。
解いてもいいよっていう親切な方いましたらお願いします。

三角形ABC、AB=AC、∠A=20°
辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、∠EBC=50°∠DCB=60°
このとき∠EDC=x、∠DEB=yを求めなさい。

738 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 19:23
∫[0,∞]exp(-p*t)f(t)dt
ラプラス変換表に以下の公式がありました
この公式の導き方を教えてください

f(t)=exp(-2α√t)/√t

f(t)のラプラス変換
(2/√t)*exp(α^2/p)*Erfc(α/√p)

ここで
Erfc(x)=∫[x,∞]exp(-t^2)f(t)dt

助けてください…

739 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 19:24
>>737
既出

740 :132人目の素数さん:2001/06/22(金) 20:54
lim[s→−∞]lim[t→∞]log(1+t^2/1+s^2)
は極限が存在しないことを示せ。

この問題がわかりません・・・。どう示せばいいのでしょうか?
s,tの経路によって極限が違うから、ではダメ?

741 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 00:38
>>737
図形のひろば→角度のひろば→ラングレーの問題
ttp://www.mitene.or.jp/~tomo-s/?
ttp://www.mitene.or.jp/~tomo-s/langley/langley10.html

742 :132目の素数さん:2001/06/23(土) 00:39
「曲面az=x^2+y^2(a>0)と平面z=xによって囲まれた立体の体積を求めよ」
1 この曲面とこの平面の交線のxv平面への正射影Cの方程式を求めよ
2 Cの囲む領域をDとするとき
∫∫(x-(x^2+y^2)/a)dxdy (領域はD)を求めよ
なんですけど、2は1/12aで合ってるんでしょうか?答えがないもんで。

743 :690:2001/06/23(土) 02:04
>>690 です。

>>690-691 b(n)=b*cos(x/2)...*cos(x/2^(n-1))*cos(x/2^n) で
n -> ∞ のとき、b(n) -> sin(x)/x がどうもうまく証明できません。
マクローリン展開にもっていってなんとかしようとしたのですが、
b(n)のほうがなんか複雑になってしまいうまくいきません。
方針が間違っているんでしょうか?

744 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 02:06
b(n)=b*cos(x/2)...*cos(x/2^(n-1))*cos(x/2^n)

sin(x/2^n) を掛けてみな。

745 :690:2001/06/23(土) 02:33
>>744
すげーーーーーーーーーーーーーー!
感動的!
どうもありがとうございます。

746 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 03:02
>>742
微妙にちがうような。自信なsage。

747 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 07:21
>>738
面倒だから α=1 で示す。
∫[0,∞]exp(-p*t)*exp(-2√t)/√t dt・・・(♯)

(1) (♯) で、√t=u と置換。2*∫[0,∞]exp(-p*u^2)*exp(-2u)du

(2) さらに (√p)u=r と置換。(2/√p)*∫[0,∞]exp(-r^2)*exp(-2r/√p)dr

(3) exp(-r^2)*exp(-2r/√p)=exp(-(r+1/√p)^2)*exp(1/p) だから、
   (2/√p)*exp(1/p)*∫[0,∞]exp(-(r+1/√p)^2)dr

(4) r+1/√p=t と置換しておしまい。

748 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 07:23
>>740
s=-n, t=n とおいて、n → ∞ とすると、極限は 0 、
s=-n, t=2n とおいて、n → ∞ とすると、極限は log 4 、
よって、極限値が確定しない・・・でいいんじゃないの?

記号の使い方がよくわかんない。
lim[s→−∞]{lim[t→∞]log(1+t^2/1+s^2)}
という意味なら、問題なく ∞ に発散。

749 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 07:25
>>742
たぶん π(a^3)/32 だと思う。

750 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 07:55
>>734
ごめんなさい、R^2-{(0,0)}でした。
なんか「f(x,y)がπのときと-πのときじゃ値が一致しないでしょ?」
って言われたんですけど。なんか腑に落ちません。

751 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 08:36
>>750
x 軸の上から近づけると、πになりそうだし、
下から近づけると、-πになりそう。
だから、定義しづらいってことですけど。

「πと定義してしまおう」というならそれはそれで O.K. ですが、
f(x,y) には、πから-πにガクンと落ちる段差ができちゃう。

752 :答え知らない:2001/06/23(土) 10:59
@xy平面上で曲線C:y=x^2(x>0)上の点Pを中心とし、x軸に接する円を考える。
 点Pが曲線C上を動くとき、この円が通過する範囲を図示せよ。

  (合ってる?)
   (x−p)^2+(y−p^2)^2=(p^2)^2
   (1−2y)p^2−2xp+x^2+y^2=0
   1−2y=0のとき x≠0
   D/4≧0 より x^2−(1−2y)(x^2+y^2)≧0 ∴y(2y^2−y+2x^2)≧0

Aa,b,c,dは実数で、
  |a|≦2、|b|≦2、|c|≦2、|d|≦2、
  a+b=1、c+d=1
 を満たすとする。このとき、ac+bdのとりうる値の範囲を求めよ。

全然分かりません。

753 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 11:11
>>748
すみません。
lim[s→−∞]かつlim[t→∞]のときlog(1+t^2/1+s^2)}
は収束しないことを示せ、です。わかりにくくてすみませんでした。

754 :742:2001/06/23(土) 11:57
>>749
申し訳ないですが、1の式教えてくれます?あと求める体積は2の与式の積分値で
いいんですよね?

755 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 12:34
>>752

@
ここでは、pの方程式(1−2y)p^2−2xp+x^2+y^2=0 が
「p>0の範囲に少なくとも1つ解をもつための条件」を
考えなくてはいけない。
判別式を考えるだけでは不十分。

A
xy平面で考えると、点(a,b)と(c,d)はともに
直線x+y=1 の|x|≦2,|y|≦2 の範囲を動く。
また、ac+bd = 「ベクトル(a,b),(c,d)の内積」であることに注意して
図形的に考えてみよ。

756 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 12:44
>>752
A
ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-a-c+1=(1+(2a-1)(2c-1))/2

a-b平面に|a|≦2、|b|≦2、a+b=1のグラフを書いて
-1≦a≦2を確認 ⇔ -3≦(2a-1)≦3
同様に-1≦c≦2 ⇔ -3≦(2a-1)≦3
以下略

757 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 12:46
>同様に-1≦c≦2 ⇔ -3≦(2a-1)≦3
                  ↑cに訂正

758 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 14:06
   _,...--.、          /::,゙' `ヽ、
   /   ゞヽ_,..-─ '  ̄ ` ヽ'::`i|
  ./   /:::::ノ         ヽ;l
  j   /::::::/           i
  !  ./:::://  ⊥_ノノ´⊥_l !!  |
  | /::::/::::i l  l T'Т  T'l l ノi  !:!
  !.l:::/|l:::l ゙! .、└   └ : リノ_ノ|:::!
  il::/ ト:l  ゙i_゙l_ 、" - " ノ . !  .i.l::!
  !:,i.  l:l`/ ⌒ -^ _ , ' .ヽ l  l l;!
  .l;| |.  | i   、   `  `ヽ  .! `
   | |  !!   i   ゚    ゚ i  !
   ! )  l |   !        丶. ヽ
   /  ! |   l`、       !` 、 ゙、
   l , i  !  __! !        l  `    _ ,.. .. .. 、
  l / i  /'  ̄   ̄` 、       'i ,.:- '  ̄       `ヽ、
   '   i   ヽ、   `ヽ、      ´        _,   !
      、    丶、    . l !        ,、'~   ノ
  _, ─ヽ、   ノ ヽ    ゙、/,`ヽ、     _, ' ヽ、, '
  `─,^_;...- '`-ニ´   \   .!   `ヽ _,- '  .,.- '
    ´      ゙ >-  .l_ ノ ` --─i'~ヽт'  ̄
           /   ,゙          !  ヽ,
          ノ   .,゛        !   ヽ
         '、  _ノ         ヽ、 _ノ ゙、 。 o.
          ` ´       ゚ σ⊂ 。_ヾ、),.'゚- 。
                     。  <_., 、-`つ ゙

759 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 15:05
>>754=742
>1の式教えてくれます?

C の方程式:ax=x^2+y^2 ⇔ (x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2

>あと求める体積は2の与式の積分値でいいんですよね?

いい。

760 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 15:21
>>758
飲みて〜〜〜

761 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 15:49
lim[x→∞]のとき
[−x^2][exp(−λx)]=0
を示せ。

これがわかりません。。。平均値の定理やマクローリン展開も
使ってみたのですが、うまくいきません。。。どなたかお力添えを・・・。

762 :752:2001/06/23(土) 16:17
>755,756 できました。
@
x≧0のとき y≧0かつ上の円の外部。ただし(0,0)(0,1/2)は除く。
x<0のとき y>1/2。

A
a=b=c=d=1/2 のとき 最小値 1/2
a=c=3,b=d=−2 のとき 最大値 13

感謝します。

763 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 17:18
>>761
-x^2/e^λx の形にして分母を展開してみれ

764 :762:2001/06/23(土) 18:17
違う
Aは全然違いました。
出直します。しのうかな。

765 :752,762、764:2001/06/23(土) 18:44
a=−1,b=2,c=2,d=−1
a=2,b=−1,c=−1,d=2 のとき 最小値 −4

a=−1,b=2,c=−1,d=2
a=2,b=−1,c=2,d=−1 のとき 最大値 5

766 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 19:19
>>763
サンクス。マクローリン展開でできました〜♪
分母のところだけ考えればよかったんですね。
分子にまどわされてました。

767 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 21:20
∫[0,∞]cos(a*x)*cos(b*x^2)dx

∫[0,∞]sin(a*x)*sin(b*x^2)dx

の積分値の出し方を教えてください
フレネルの積分が入ってもかまいません

768 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 22:17

                /⌒ヽ⌒ヽ
                       Y
                    八  ヽ        __________
             (   __//. ヽ,, ,)      /
              丶1    八.  !/     < 私の出番のようだな
               ζ,    八.  j        \
                i    丿 、 j          ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
                |     八   |
                | !    i 、 |
               | i し " i   '|
              |ノ (   i    i|
              ( '~ヽ   !  ‖
                │     i   ‖
              |      !   ||
              |    │    |
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             |        !    | |
          _ |           | ‖
        /   │        │   \
       , ノ     \         /    |
      |       ヽ      /     |
     /    Y    \    /    Y    \
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  /"γ\ _/ ξ⌒―‐' ̄\、          ,/ ̄\ \__ 、 ,ノ⌒⌒\
 μuuULヽ__――――── ̄ ̄ ̄`――´\、ノ   "\_―'ヽιノ Uuuヽ
/                       \   ,__Ξβ     \
!                    __,―'~― ̄          |
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  ` __., ―――'' ̄ ̄ ̄ ̄   " ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`―――――――.、____/

769 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 23:08
すいません
直角三角形の定義と性質について教えてください

すごく単純な事なのですが
直角三角形の定義って何なのでしょうか?
ただ単に∠が一つ90°であるというだけでしょうか?

770 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 23:16
769<<
辺と頂点が3つずつなくっちゃ。

771 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 23:36
∠の一つが90度であるる3角形
ってのが直角3角形の定義でいいんじゃないの?

772 :132人目の素数さん:2001/06/23(土) 23:41
くだらんスレの方誰も教えてくれないのでここで質問します

a,b,cを正の実数として、abc=1を満たすとき

(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) +(b^2+c^2)a/(b^3+c^3)+(c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ!

773 :762:2001/06/23(土) 23:51
違う
Aは全然違いました。
出直します。しのうかな。

774 :つなぎ役:2001/06/24(日) 00:29
>>772
t>0、a=t^2、b=1/t、c=1/t、T=t^3のとき
与式=(T^4+2T^2+T+2)/(T^3+1)>2 (∵略)

2以下になり得るかはわかりましぇん

775 :742=754:2001/06/24(日) 00:31
>>759
Cの式あなたのとおりになったけど?んで、Dを0≦x≦a,-a/2≦y≦-a/2
として、2の与式を計算しました。計算間違いかな?とりあえずもう一回やってみます。
あと、面倒でなければ、2の式の出し方教えてください。 ちなみにこの問題は院の入試。

776 :775:2001/06/24(日) 00:35
あ、これはもし問題に1、2がなかったらの話です。

777 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 01:25
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3)=(a^2+b^2)(a+b)c/(a^3+b^3)(a+b)
分子=c(a^3+b^3)+abc(a+b)=c(a^3+b^3)+(a+b)より
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3)=1/ab(a+b) + 1/(a^3+b^3)

相加・相乗平均を使う。等号成立するためにはab(a+b)=a^3+b^3 が必要。
これよりa=b。同様にしてb=c,c=aが出てきて、a=b=c=1/3^(1/3)を得る。これより
(与式)≧3/3^(1/3)
上から抑えるのはわかりまへん。

778 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 01:35
>>777
>a=b=c=1/3^(1/3)を得る。

abc=1なのに?

779 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 01:38
>>775
ど〜もみんなと計算結果があわんので自信ないけど。
F=x-(x^2+y^2)/aを領域(x-a/2)^2+y^2≦(a^2)/4で積分するんでしょ?
だったら x=(a/2)u+(a/2),y=(a/2)v と変換すれば積分領域は u^2+v^2≦1、
dxdy=(a^2)/4dudv、F=(a/4)(1-u^2-v^2)だから結局もとめる積分値は
 (a^3)/16∫[1-u^2-v^2≦1](1-u^2-v^2)dudv
で“∫”以降は半径1の球の上半分の体積に等しいから(2/3)π。よって
積分値は(a^3)/24πだと思うんだけど。
...自信なsage...

780 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 01:38
>>777
> 上から抑えるのはわかりまへん。
774が押さえられないって、やってくれてるじゃん。

> 相加・相乗平均を使う。
どう使う?

781 :777:2001/06/24(日) 01:39
あーなんか滅茶苦茶だわ。忘れてくれ

782 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 07:35
すいません。次の問題がどうしてもわかりません。
おしえてください。
「3数、α、β、α*β(α<0<β)は、適当に並べると等差数列になり、
また適当にならべると等比数列にもなるという。
α、βの値を求めよ。


783 :非通知さん:2001/06/24(日) 09:27
有限巡回群ってどんなものがありますか?
Z/nZ、Z/pZ-{0}がそれぞれ+,*に対して有限巡回群になるのは知ってるんですが…。

>>782
a,b,abの大小関係としてはa<ab<bとab<a<bが考えられる
(1)a<ab<bのとき
 等差数列になっているのであるkが存在して
  a+k=ab, ab+k=b
 を満たす。故に2ab=a+bが成立。
(2)ab<a<bのとき
 等差数列になっていることから上と同様にして
  2a=ab+b
 を得る。

ここでa,b,abが適当な順序によって等比数列になっている
考えられる順序は
(a,b,ab),(a,ab,b),(b,a,ab)
の3通り(逆に並べても同じだから)。
ここでa<0,b>0,ab<0なので等比数列としては(a,b,ab)しか考えられない。
故にあるsに対してa*s=b, b*s=abが成り立っているとしてよい。
これを解いてa^2=bを得る
(1)のとき a=1,-2
(2)のときも a=1,-2
ここでa<0なのでa=-2を得る。

Answer a=-2,b=4

784 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 09:31
すみません。下の問題がどうしても解けません。
大学編入試験の過去問題なのですが、解答が手に入りません(TOT)

「曲面z=x^2*y^2のz≦4の部分でできる容器をz軸正方向を上向きにして
水をいっぱいに満たす。容器を45°傾けて水をこぼしたとき、残った水の
体積を求めよ。」

曲面が半球の場合は求められた(と思う)のですが、今回は曲面が
2次曲線になっているので、どうやって求めたら良いのか分かりません。
どなたかお教えください!

785 :326:2001/06/24(日) 09:37
皆様お忙しいところすいません、よそにも書いたのですが相手にされなかったのでこっちに書きます。
log[4](x^2-x-8)=log[3](3x)
を代数的に解く方法を教えて下さい。
x=9、というのはいろいろ当てはめているうちに分かったのですが、どうしても代数的に解けないのです。
よろしくお願いします。

786 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 10:36
>>785
代数的に解けることが分かってたりするものですか?

787 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 10:37
>784
それ円錐なのは理解できてるの?

788 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 10:42
>>784

曲面 z=x^2*y^2(z≦4)と平面 z=x+2 で囲まれる部分をDとして
このDの体積を求めればよい。

Dを平面x=t (|t|<2)で切った断面積をS(t)として
∫[-2,2]S(t)dt を考えよ。

789 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 10:44
>>784

「z=x^2*y^2」じゃなくて「z=x^2+y^2」じゃないのか?

790 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 10:48
>>787

>784
それ円錐なのは理解できてるの?

理解できん。

791 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 11:13
>789
>「z=x^2*y^2」じゃなくて「z=x^2+y^2」じゃないのか?
そうでした。すみません。

792 :呪苦鮫:2001/06/24(日) 11:48
>>783
有限巡回群の例を挙げればよいのですか?
1のn乗根の全体は、g=cos(2π/n)+isin(2π/n)によって生成される位数nの巡回群です。
mとnとが互いに素ならば、g^mを生成元にすることもできます。
これはもちろん、783さんが挙げられているZ/nZと同型ですが。

793 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 11:50
>>783
>有限巡回群ってどんなものがありますか?

山手線。

794 :788:2001/06/24(日) 13:25
>>788

>Dを平面x=t (|t|<2)で切った断面積をS(t)として
>∫[-2,2]S(t)dt を考えよ。

tの範囲を間違えた。
正しくは
 -1<t<2
だった。

795 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 13:47
>794さん

x=t (-1<t<2)で切った断面積S(t)の表し方がいまいち分からないので
教えて頂けないでしょうか?x=t (-1<t<2)で切るとどんな形の図形に
なるかは、なんとなく分かるんですが、その面積の求め方が分からない
のです。是非教えてください。

796 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 14:52
円錐?>>787

797 :788=794:2001/06/24(日) 17:33
>>795

放物面 z=x^2+y^2 の平面 x=t による切り口は、
 放物線 z=t^2 + y^2 ・・・@
で、また平面 z=x+2 の切り口は直線 z=t+2 ・・・A
だから、この@とAで囲まれる部分の面積がS(t) 。

798 :132人目の素数さん :2001/06/24(日) 19:29
誰か、教えて下さい

(1) In=(0,1+1/n)とするとき、∩Inを求めよ
(2) Dn={(x,y)∈R^2|(x-1-1/n)^2+Y^2<(1+1/n)^2}とするとき、∩Dnを求めよ

お願いします。マジで分かりません。1/nっていう問題のときはアルキメデスでやったんですけどこれはどうしたらいいのですか?

799 :785:2001/06/24(日) 21:10
> 786
いえ、
log[4](x^2-x-8)=log[3](3x)
代数的に解けるかどうかは分かってません.
高校の学生が持ってきた問題ですのでどこが出典かわからないんです…。

800 :きゃん:2001/06/24(日) 21:50
>>797
(1)Inは開区間(0, 2)からはじまって、
(0, 3/2), (0, 4/3), ...ってどんどん狭くなっていく
列。 で、n→∞のとき、1+1/n→1.
一方、全てのnに対して1<1+1/nだから全てのnに対して
(0,1]は(0, 1+1/n)にふくまれる。 だから求める共通部分は
(0,1]。 これって「無限個の開区間の共通部分が開区間にならない
例」として、松本幸夫のトポロジー入門に載ってたと思う。

801 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 22:20
>797さん

自信ないんですけど、
S(x)={4*(√t-t^2+2)^3}/3
になりました。
これで良いんでしょうか・・・。
これを積分してもtが残ってしまうし・・・。

802 :783:2001/06/24(日) 22:45
>>792
どうもです。
有限巡回群の例をいくつか挙げよという課題があり、図書館で調べていたんですが、
792さんのx^n=1の解全体ぐらいしか見つからなかったんです。
{1,-1,i,-i}が積に関して有限巡回群になるのは知っているんですが、
他に例はないでしょうか?
それと、有限巡回群というのはやはりZ/nZに同型なものになってしまうんですかね。

803 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 22:55
>>788
>>794
z=tで切断してもよさげ。
0≦t≦1のときの断面は円。
1≦t≦4では円を直線で二つに分けた一方。
計算してないから積分が楽になるかどうかはわからないけど。

804 :788=794=797:2001/06/24(日) 23:14
>>801

>S(x)={4*(√t-t^2+2)^3}/3
>になりました。

S(t)={4*√(t-t^2+2)^3}/3 でしょ?

そんで、これを「tで」積分するんだから、
「tが残ってしまうし・・・」っていうことはないぞよ。

805 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:27
直線x+y=1のx>0かつy>0の部分をlとするとき、l上の点Pを中心とし、
x軸に接する円を考える.点Pがl上を動くとき、この円の通過する範囲を図示せよ.

という問題がわからないんですが、
中心をとりあえず(a,b)とおいて、
a+b=1且つ(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
⇔0<a<1且つa^2-2(x+y)+x^2+y^2-2y=0が解を持つ
って方針でいけますかね?

806 :803:2001/06/24(日) 23:28
V = π∫[t=0,1]tdt + ∫[t=1,4]{2∫[x=(t-2),√t]√(t-x^2)dx}dt …いまいち…却下キボンヌ

807 :775:2001/06/24(日) 23:36
2の式F(x)=∫∫[D](x-(x^2+y^2)/a)dxdyをC:(x-a/2)^2+y^2=a^2/4の領域で積分
するってのは、∫[-a/2,a/2]∫[0,a]F(x)dxdyではだめなの?これでやったら
a^3/12となったんですが。試しにx,yを極座標変換して積分したら2πa^3/3となって、
ちょっと皆さんに近づいたと思うんですが。

808 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:40
区別のつかないn個のボールを、区別のつかない3つの箱に入れるとき、
入れ方の組み合わせは何通りになるんでしょうか?
ボールのみ区別あり、箱のみ区別アリ、両方区別アリの三問は解けたんですが、
最後の一問がわかりません。誰か教えてくださいな。

809 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:46
質問です。
>>552に関連しますが、

1.
「π(x)」を「x以下の素数の数」とする。(x∈N , x>=11)
x/ln(x)<π(x)<{y=x/log(y)} , {y>exp(1)}
を示せ。

2.
「P(x)」を「x個目の素数」とする。(x>4)
x*ln(x)<P(x)<{y=x*ln(y)} , {y>exp(1)}
を示せ。

宜しくお願いします。

810 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:48
結局不等式の問題は誰も解けず?

811 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:49
>>751
なるほど、そういう意味か…。
どうもでした。ストン。

812 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:52
巡回群⊂有限生成アーベル群の構造は簡単です。Z/(p^e)Zの直積で書けます

813 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:52
>804さん

>S(t)={4*√(t-t^2+2)^3}/3 でしょ?
>そんで、これを「tで」積分するんだから、
>「tが残ってしまうし・・・」っていうことはないぞよ。
あ、S(t)でした。すみません。
面積はS(t)={4*√(t-t^2+2)^3}/3
で合っていると解釈してよろしいのでしょうか?
これで合っているのだったらホントに感謝です!

814 :788=794=797=804:2001/06/24(日) 23:56
>>813

合ってるよ。

815 :132人目の素数さん:2001/06/24(日) 23:58
>>410に対する回答>>411についてですが、
>Mが自明でない部分加群をもたないことから
>Aが極大イデアルであることがわかる。
ってとこがひっかかってしまったのですが・・・。
なぜなのですか??

816 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 00:01
>>807
>∫[-a/2,a/2]∫[0,a]F(x)dxdyではだめなの?

だめ。それでは、0≦x≦a, -a/2≦y≦-a/2 という正方形の領域で積分してる。
これは極座標変換で解く問題。2πa^3/3 は、計算がおかしいと思う。

817 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 02:02
dαを代数的整数とするような最小正整数dをαの分母という。
代数的数α,βとその分母dについて、dα,dβがともに代数的整数なら、
d(α+β),d^{2}(αβ)も代数的整数となることを示せ。

証明をご存知の方はよろしくお願いします。

818 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 08:20
>>817
次のことを知らないの?
「a, b が代数的整数なら、a+b, ab も代数的整数」。
このことから明白。

819 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 08:52
>>767
どっかミスっているかもしれない。

[第1式の計算]
∫[-∞,∞]exp(i*x^2)dx=(√π)exp(i*π/4) は既知とし、x=Au+B と置換積分(A>0)。
exp(i*(Au+B)^2)=exp(i*(Au)^2)*exp(i*2ABu)*exp(i*B^2) だから、
(1)∫[-∞,∞]exp(i*(Au)^2)*exp(i*2ABu)du=(√π)exp(i*(π/4-B^2))/A
B を -B で置き換えて、
(2)∫[-∞,∞]exp(i*(Au)^2)*exp(-i*2ABu)du=(√π)exp(i*(π/4-B^2))/A

(1)+(2) より
∫[-∞,∞]exp(i*(Au)^2)*cos(2ABu)du=(√π)exp(i*(π/4-B^2))/A
実部をとると、
∫[-∞,∞]cos((Au)^2)*cos(2ABu)du=(√π)cos(π/4-B^2)/A
偶関数では、∫[0,∞]=(1/2)*∫[-∞,∞] だから、
∫[0,∞]cos((Au)^2)*cos(2ABu)du=(1/2)*(√π)cos(π/4-B^2)/A

A=√(|b|), B=a/{2√(|b|)} と置き換えることで、
∫[0,∞]cos(b*u^2)*cos(au)du=(1/2)*{√(π/|b|)}cos(π/4-a^2/{4|b|})

[第2式の計算]
偶関数の性質より、
∫[-B,∞]exp(i*x^2)dx-∫[B,∞]exp(i*x^2)dx=2*∫[0,B]exp(i*x^2)dx
左辺の第1項の積分で x=Au-B と置換(A>0)、第2項の積分で x=Au+B と置換。
∫[0,∞]exp(i*(Au)^2)*exp(-i*2ABu)du-∫[0,∞]exp(i*(Au)^2)*exp(i*2ABu)du
=(2/A)*∫[0,B]exp(i*(x^2-B^2))dx

∴ (-2i)*∫[0,∞]exp(i*(Au)^2)*sin(2ABu)du=(2/A)*∫[0,B]exp(i*(x^2-B^2))dx
両辺の実部をとると、
∫[0,∞]sin((Au)^2)*sin(2ABu)du=(1/A)*∫[0,B]cos(x^2-B^2)dx

この積分は、簡単には求まらないような・・・。よくわからんけど。
C(x)=∫[0,x]cos(t^2)dt, S(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt と書くことにすれば、
∫[0,∞]sin((Au)^2)*sin(2ABu)du=(1/A)*{cos(B^2)*C(B)+sin(B^2)*S(B)}
あとは、A=√(|b|), B=a/{2√(|b|)} と置き換え。

820 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 08:55
>>772
与式を f(a,b,c) とおくと、f(a,b,c)=f(ka,kb,kc) が成立。
このことから、abc=1 という条件は、あってもなくても同じこと。以下「ない」ことにする。
a≧b≧c としてよいし、上のことから c=1 としても一般性を失わない。

結局、
g(a,b)=(a^2+b^2)/(a^3+b^3) +(b^2+1)a/(b^3+1)+(a^2+1)b/(a^3+1)
の範囲を a≧b≧1 で調べればよい。

a≧1 より、a(a^2+1)=a^3+a≧a^3+1 だから、(a^2+1)/(a^3+1)≧1/a 。
同様に、(b^2+1)/(b^3+1)≧1/b であり、(a^2+b^2)/(a^3+b^3)>0 も明らかだから、
g(a,b)>0+a/b+b/a≧2 (最後のところは相加相乗平均による)

一方、lim[n→∞]g(n,n)=2, lim[n→∞]g(n,1)=∞ 。

∴ とりうる値は 2 より大きいすべての実数

821 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 10:55
>>820
おみごと!
感服だ〜

822 :HG名無しさん:2001/06/25(月) 10:59
ある教養試験の解説文をみたのですが、下記の(1)の展開及び(2)の説明の意味が
よくわからないのでここに書き込みます。現役の皆様、何とぞ教えて下さい。

問題
ここに200gの銅がある。この銅を残らず使いA、B、Cの3種類の分銅を作りたい。分銅Bは
分銅Aより5g重く、分銅Cは分銅Aより4個少なく、分銅Cより3個多くなった。3種類の分銅
は全部で何個できたか。

解説
分銅A、B、Cをそれぞれ表わすと、
分銅A・・・a(単位g) (個数x個)
分銅B・・・b(単位g)=a+5 (個数y=x−4個)
分銅C・・・c(単位g)=b+2=a+7 (個数z=y−3=x−7個)

これより
ax+(a+5)(x-4)+(a+7)(x-7)=200
整理して
ax+ax-4a+5x-20+ax-7a+7x-49=200
3ax-11a+12x=269
3x(a+4)=11a+269
3x=11a+269/a+4
3x=11+225/a+4・・・(1)

3xは整数だからa+4は225の約数で、しかも3xは3の倍数であることから考えると・・・(2)
a=5,x=12

これより
x=12,y=8,z=5より計25個

823 :HG名無しさん:2001/06/25(月) 11:23
<822ですが、
ついでに、これもわからない展開(・・・♪→♪♪部分)なので、
教えて下さい。
51*51*23
=(50+1)(50+1)(25-2)・・・♪
=50*50*25+101*25-51*51*2・・・♪♪
=50*50*25+2525-2601*2
=50*50*25-2677

824 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 12:16
>>823
(50+1)(50+1)(25-2)
=(50+1)(50+1)*25-(50+1)(50+1)*2
=(50*50+2*50*1+1)*25-51*51*2
=(50*50+101)*25-51*51*2
=50*50*25+101*25-51*51*2

825 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 12:39
>>822
3x=11a+269/a+4の書き方がまずい。
3x=(11a+269)/(a+4)だよね。
そしたら、これは
3x=(11a+44+225)/(a+4)
3x=(11(a+4)+225)/(a+4)
3x=11(a+4)/(a+4)+225/(a+4)
3x=11+225/(a+4)
となる。
で、「3xは整数」はいいよね。xが整数だから3倍しても整数。
左辺が整数だから、右辺も整数のはず。
そしたら、225/(a+4)が割り切れて整数になってくれないと困る。
だから、225はa+4で割り切れる。つまりa+4は225の約数。
225の約数は{1,3,5,9,15,25,45,75,225}これがa+4。
だから225/(a+4)は{225,75,45,25,15,9,5,3,1}のどれか。
これに11を足して3の倍数になるのは225/(a+4)=25のときだけ。
だから、a=5。

826 :825(追伸):2001/06/25(月) 12:51
>分銅Bは分銅Aより5g重く、分銅Cは分銅Aより4個少なく、分銅Cより3個多くなった。
文章がへん。

>分銅Cは分銅Aより4個少なく
式では分銅Cは分銅Aより7個少ないようだけど。

>分銅Cより3個多くなった
主語がありません。

分銅Cが分銅Bより2g重いって情報も無いし・・・

827 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 13:00
もう、みんな博士に行くよね。もち、学位とって
企業に就職する。学生のうちから、バンバン派遣
とかやって、スキルも身につけておこうかなー、
って思ってます。

828 :HG名無しさん:2001/06/25(月) 13:40
<824,825様

おかげで、理解できました。有り難うございます。
ちなみに、822の元の問題は以下の通りです。

「ここに200gの銅がある。この銅を残らず使いA、B、Cの3種類の分銅を
作りたい。分銅Bは分銅Aよりも5g重く、分銅Cは分銅Bよりも2g重くしたい。
また、分銅Bの数は分銅Aより4個少なく、分銅Cより3個多くなった。3種類の
分銅は全部あわせて何個できたか。」

<825さん
<だから225/(a+4)は{225,75,45,25,15,9,5,3,1}のどれか。
<これに11を足して3の倍数になるのは225/(a+4)=25のときだけ。

この部分で、225の約数は計8個あるのですが、この中で、225/(a+4)=25になったのには
何か「目の付け所」があったのだと思うのですが、その「目の付け所」を教えて下さい。
まさか、いちいち代入してやったとは思えないので・・・。

もし、代入してでしかやれなかったのならば、すみません。

829 :eriko:2001/06/25(月) 15:06
Aはn次の正方行列とする。
Aが正則な確率行列なら、Aの逆行列もまた、正則な確率行列であることを
証明せよ。

だれか教えてください。

830 :569:2001/06/25(月) 15:21
>>569
結局別の人に教えてもらいました。
読んで感動したので、コピペしときます。
これであなたも「数学の論文を1本読み通した!」
と自慢できます。
A PROOF OF LIOUVELLE'S THEOREM
EDWARD NELSON
Consider a bounded harmonic function on Euclidean space.
Since it is harmonic, its value at any point is its avarage over any sphere,
and hence over any ball with the point as center.
Given two points, choose two balls with the given points as centers and of
equal radius.
If the radius is large enough, the two balls will coincide except for an
arbitrarily small proportion of their volume.
Since the function is bounded, the averages of it over the two balls are
arbitrarily close, and so the function assumes the same value at any two
points.
Thus a bounded harmonic junction on Euclidean space is a constant.

Proc.A.M.S.12(1961)995

まさに芸術品!

831 :うー:2001/06/25(月) 19:40
>>822 >.825

>a+4は225の約数
aは整数と限ってないからこれはいえないのでは?

832 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 19:52
>814
>>>813
>合ってるよ。

合ってたんですね!
教えていただいてありがとうございます!

833 :814:2001/06/25(月) 20:41
>>832

>合ってたんですね!
>教えていただいてありがとうございます!

それで、その後の積分∫[-1,2]S(t)dt は計算できましたか?

834 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 20:46
>814さん

あれ?でも
∫[-1,2]{4*√(t-t^2+2)^3}/3 dt
を積分するって、どうやるんですか?
置換積分すると(例えばt-t^2+2=uと置くと)
uの積分範囲が[0,0]になってしまうんですけど?
これって範囲としておかしいですよね?
何か他にやり方があるのでしょうか?

835 :814:2001/06/25(月) 21:24
>>834

>置換積分すると(例えばt-t^2+2=uと置くと)
>uの積分範囲が[0,0]になってしまうんですけど?
君,「置換積分」を正しく理解していないのでは?


∫[-1,2]{4*√(t-t^2+2)^3}/3 dt
=(4/3)∫[-1,2] √{9/4 - (t-1/2)^2 }^3 dt
となるよね。
このあと、t-1/2 = sinθ と置換してみ。

836 :814=835:2001/06/25(月) 21:28
>>835
ミスった。

>t-1/2 = sinθ と置換してみ。
じゃなくて
「 t-1/2 = (3/2)sinθ と置換してみ」
でした。スマソ。

837 :834じゃないけど:2001/06/25(月) 21:33
そのあと変形して出来るcos^4θは
(cos^2θ)^2=((1+cos2θ)/2)^2=1/4+cos2θ/2+cos^2(2θ)/4
=1/4+cos2θ/2+((1+cos4θ)/2)/4=8/3+cos2θ/2+cos4θ/8
ってやるしかないんですか?変形が面倒なので別の方法があれば教えてください。

838 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 21:59
>>837
beta関数に持ち込む手がある。

839 :素人:2001/06/25(月) 22:45
質問です。
先日こういう質問をされました。

「丁半バクチでは、100円の賭金が200円になる確率と0円になる確率は同じ
ですよね。では株価においても、100円の株が200円に上がる確率と0円に
下がる確率は同じかと思っていたら、それでは破産してしまうようです。
「どうやら100円上がる確率と50円下がる確率とが同じのようなのですが、
それなら「株価は上がる期待の方が大きい」ということになりませんか?」

少し考えて正解そのものは大体掴んだとは思うのですが、微積を殆ど理解
してない程度の相手に分かるように説明する方法がイマイチわかりません。

普通の高校生にわかるような解説法を教えて貰いたいのですが。

840 :数学苦手人:2001/06/25(月) 23:14
数学苦手なんです・・・。でもセンターの為にいるんです・・・。
この問題、教えてください(T_T)

a≦x≦a+4を定義域として、関数f(x)=x^2ー6x+2の最小値をaの関数で表して、
これをg(a)とおく。
(1) a<−1のとき、g(a)を求めよ。
(2) −1≦a≦3のとき、g(a)を求めよ。
(3) 3<aのとき、g(a)を求めよ。

841 ::2001/06/25(月) 23:25
>>8

842 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 23:25
>>713
最後はt(x)を有限次多項式としてf(x)=∫(x-a)^(m-1)t(x)dxを部分積分して
T(x)*(x-a)^mにできる。

どうしたらT(x)*(x-a)^mになりますか?永遠に部分積分続くんですけど・・・

843 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 23:26
>>840
(1)g(a)=f(a+4)
(2)g(a)=-7
(3)g(a)=f(a)
f(x)=x^2ー6x+2のグラフを描いて見よう。

844 :822:2001/06/25(月) 23:32
>>831
うん、ごもっともで、aは整数じゃなくてもいいんだけど、
225/(a+4)は整数じゃなきゃいけないんだよね。
これが整数になるには、a=-7/2,-11/3,-15/4とかなんだけど、
aが負なのはまずいよね。ってことで。

845 :807:2001/06/25(月) 23:37
>>816 ありがとうございます。言われてみりゃそうですね。ちなみに極座標変換で
やり直したら、πa^3/32となったけど、これでOK?

846 :よーわからんが:2001/06/25(月) 23:43
>>839
「100円上がる確率と50円下がる確率とが同じ」かどうかは知らないけど、
そうであると仮定すれば「株価は上がる期待の方が大きい」でいいんでない?
期待値=100*(1/2)+(-50)*(1/2)=25>0だし。
理解し間違えてたらごめん。

847 :822:2001/06/25(月) 23:47
>>831
ってa=217/2でも整数になるね・・・。前言撤回します。
探せば他にも解があるかも。

848 :132人目の素数さん:2001/06/25(月) 23:52
>>830=569
こんな論文書いてみたい。

849 :ぎっち:2001/06/25(月) 23:53
恋愛ってなあに?

850 :( ´D`)ノ アーイ:2001/06/25(月) 23:54
( ´D`)ノ アーイ

851 :名無し募集中。。。:2001/06/25(月) 23:57
おしえてぎっち

852 :( ● ` −´ ● )なっち許さないよ:2001/06/25(月) 23:58
( ● ` −´ ● )なっち許さないよ

853 :名無し募集中。。。:2001/06/25(月) 23:59
ぎっちー

854 :ぎっち:2001/06/26(火) 00:01
┐('〜`)┌ ばかばっか

855 :名無し募集中。。。:2001/06/26(火) 00:02

    , -―――- 、      ,-,^,‐,、
  /  /~\   ヽ   _  / ' ' ' /
 /  /     ヽ、、、 ヽ  \`   /
 |  / \   /  | |   /  ̄ ̄/
 |  | ⌒ヽ  /⌒ | |  / ̄ ̄/
  | |    __    | | /   / <教えてください
  ノイ\ .\_/ /ノヘ/   /
   _ .人 ̄ ̄人 _/   /
 , ´| |ヽ<><>'´| |    /
 | / \ | | / ヽ  /
 | l     \/     l/
 | 丶、         ノ

856 :名無し募集中。。。 :2001/06/26(火) 00:10
シャッフルの初動をはじきだしてくれ

857 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 00:21
http://www.geocities.co.jp/Milano-Killer/4677/dora.swf

858 :某女性:2001/06/26(火) 01:08
fをR^mからR^lへの線形写像とする。
@fが単射ならばKerf={0}
Afが線形かつ全単射ならばf^-1も線形かつ全単射

この証明って解けそうで解けません。
誰か教えて下さい。

859 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 01:35
>>858
@fが単射ならばKerf={0}

f(0)=0単射だから当たりまえ〜

Afが線形かつ全単射ならばf^-1も線形かつ全単射

fが全単射だから逆像f^-1も全単射なのは当たり前だし、
線形なのも定義から当たり前だぞ

860 :858:2001/06/26(火) 01:37
ですよね…
でも、教授が証明してもってこい!と言うもんで…
何とか証明っぽくできないでしょうか?

861 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 01:45
線形写像の定義を使えば?

862 :858:2001/06/26(火) 01:48
どう書いたらいいのか・・・

863 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 02:08
数学っていうより日本語に難があるんだね(w

864 :焼肉組:2001/06/26(火) 02:34
@fが単射ならばKerf={0}
f(0)=0を示せってことかな?それとも問題の書き間違いとか?
例えば
 fが単射であることの必要十分条件はKerf={0}
みたいな。。。これならよくある問題だよね。

Aわざわざ質問してるんだからこれは面倒くさくても一つずつ示すしかないね。
(1)f^(-1)(ay+by')=af^(-1)(y)+bf^(-1)(y')
(2)y≠y'ならばf^(-1)(y)≠f^(-1)(y')
(3)∀x∈R^m,∃y∈R^l ;f^(-1)(y)=x
頑張ってね(w

865 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 03:01
>>798
(1)は >>800 のひとが書いてるから(2)だけ。
答:∩Dn = {(x,y) | x>0, (x - 1)^2 + y^2 ≦ 1}。

【∵】(x,y)∈∩Dn ならば
(x - 1 - 1/n)^2 + y^2 < (1 + 1/n)^2 ・・・[1]
より
(x - 1 - 1/n)^2 < (1 + 1/n)^2,
|x - 1 - 1/n| < 1 + 1/n
だから x>0。つぎに[1]を
(x - 1)^2 + y^2 < 1 + 2x/n ・・・[2]
と変形する。これが任意のnで成り立つから
(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1。
よって
∩Dn ⊂ {(x,y) | x>0, (x - 1)^2 + y^2 ≦ 1}。

逆に点(x,y)が x>0, (x - 1)^2 + y^2 ≦ 1 を満たすならば
任意のnに対して明らかに[2]が(従って[1]が)成り立つ。
よって(x,y)∈∩Dnである。

以上で答が得られた。

866 :≠411:2001/06/26(火) 03:02
>>815 (cf. >>398, >>410, >>411)
AがRの極大イデアルじゃないとすると
Rの真のイデアルBで B⊃A、B≠A を満たすものがある。
このときR-加群R/AのR-部分加群B/Aは{0}でもR/Aでもない。
R/AはMと同型(←>>411)だからこのような部分加群が存在
するのは仮定(「Mが非自明な部分加群をもたない」という
仮定)に反する。

867 :きゃん:2001/06/26(火) 03:17
(1)まずfは線形だからf(0)=0。 よって
0はKerfの元で、Kerfは{0}を含んでいる。
次にKerfの元xを任意に取る。 つまり
f(x)=0となるような任意のx。 すると、
0=f(x)=f(x)-0=f(x)-f(0)
fは単射だから、x=0. よってKerfは{0}に
含まれている。
以上から、Kerf={0}

868 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 03:24
>>864
Aがよく分からんのですが…
>>867
ありがとうございます!Aもお願いしたいんですが・・・

869 :きゃん:2001/06/26(火) 03:42
(2) まず線形とか何とかの前に写像の性質として
全単射の逆写像は全単射。 で、
R^lの任意の元x,yにたいし、f(a)=x,f(b)=yとなるような
a,b(R^mの元)が一意的に存在する。 このとき、任意の実数
s,tに対して、
f(f^{-1}(sx+ty))=sx+ty=sf(a)+tf(b)
=f(sa+tb)
fは単射だから
f^{-1}(sx+ty)=sa+tb=sf^{-1}(x)+tf^{-1}(y)
よってf^{-1}は線形写像。

870 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 08:48
>>805
方針は O.K. だけど、計算間違えてる。
次の条件を求めるわけ。

「a についての2次方程式 a^2-2(x-y)a+x^2+y^2-2y=0 が、
0<a<1 の範囲に少なくともひとつ解を持つ」

高校生には、けっこう難問の部類かな。

871 :人間:2001/06/26(火) 09:47
先日こういう質問をされて答えられませんでした。

三角関数をn乗している公式がありますが、
三角関数をn乗するというのは、どういうことなのですか?

識者の型、高三レベルでよろしくお願いします。

872 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 09:54
何が聞きたいのかな?

三角関数をn回かけること
が理解できない?

873 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 09:55
ってことは掛け算がわからないのか?

874 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 09:57

>三角関数をn乗するというのは、どういうことなのですか?

どういうこととは、どういうことなんだ?

875 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 10:08
その幾何学的な意味とか、何に使うのかを訊いてるんじゃないの?

876 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 10:24
>>871
斜辺の長さが1で角の一つがxの直角3角形を書け
sin x と cos xがどこかわかるね?

直角のところから斜辺に垂線を引いて、2つの直角3角形に分ける
cos x のn乗の場合は 斜辺の長さがcos xの直角3角形の方を見れば
直角を挟む辺の一つは 長さがcos x の二乗だ

こんどはこの小さな直角3角形で、直角のところから斜辺に垂線を引いて
さらに小さな2個の直角3角形を考えれば、長さがcos x の3乗となる辺があり
この繰り返し

sin x のn乗の場合は 斜辺の長さが sin x の直角3角形の方を使う

877 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 11:31
>>871
>三角関数をn乗している公式がありますが、

(cosθ+isinθi)^n=cos(nθ)+isin(nθ)のことかな?
その公式とか背景を書いてくれないと話は進みません。

878 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 16:55
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=993532585

大学入試専用版、高校数学限定

879 :数学苦手人:2001/06/26(火) 17:29
>>843
すいません・・・。わからないんです(T_T)
誰かわかりやすい式と答え教えてくれませんか?問題は>>840です。
ずうずうしいと思いますが、よろしくお願いしますm(_)m

880 :きゃん:2001/06/26(火) 19:25
f(x)=x^2-6x+2を平方完成すると
f(x)=(x-3)^2-7 これはわかる?
で、こうするとこの関数のグラフがかける。
x=3を軸にして左右対称で、頂点は(3, -7)。
だから、この関数はx=3までは減少して、x=3を
超えると増加する。

で、問題は、この関数の定義域がa≦x≦a+4
のとき、最小値を考えろってこと。
(1)a<-1のとき、定義域の右端a+4<3。
だから、この定義域ではf(x)はずーっと減っていく。
だから、最小値はg(a)=f(a+4)=(a+1)^2-7=a^2+2a-6
(2)−1≦a≦3のとき、定義域はつねにx=3を含む。
だからこの範囲では最小値はf(x)の最小値と同じだから
g(a)=-7
(3)3<aのとき、定義域の左端aは3より大きい。 だから
この範囲ではf(x)はずーっと増加。 だから最小値は
g(a)=f(a)=a^2-6a+2
どう?わかる?

881 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 19:34
>>879
>a≦x≦a+4を定義域として、関数f(x)=x^2ー6x+2の最小値をaの関数で表して、
>これをg(a)とおく。

まず、f(x)=x^2-6x+2 の最小値を求める。
f(x)=x^2-6x+2=(x-3)^2-9+2=(x-3)^2-7
よって、定義域に3が含まれる場合、最小値は
f(3)=(3-3)^2-7=-7
a≦x≦a+4を定義域とするから、これに3が含まれるのは、
a+4=3 から a=3 の範囲、つまり、
-1≦a≦3 のとき。
a<-1 のとき、f(x)が最小となるのは、xが最大、つまりx=a+4のとき
3<a のとき、f(x)が最小となるのは、xが最小、つまりx=aのとき。

882 :840:2001/06/26(火) 20:11
>>880見て>>881見たらちょっと分からないんですけど・・・

883 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 20:41
数学音痴のアホです。
アホでごめんなさい。
ところで、
公理から矛盾が導出された場合、その公理に矛盾があると考えていい
のでしょうか?

884 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 20:53
>883

変な文章(ワラ

885 :883:2001/06/26(火) 21:55
>変な文章(ワラ

すいません。

886 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 23:01
三角形の内角の和が180°になることを証明せよ。(1分で解け)

887 :嵐山勘三郎:2001/06/26(火) 23:06
>>886
ユークリッド空間の三角形だったら平行線公理を使って底辺に平行で頂点を通る
直線を引いて終わり

888 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 23:13
>ユークリッド空間の三角形だったら平行線公理を使って底辺に平行で頂点を通る
>直線を引いて終わり

平行線公理などというものを持ち出さなくても証明できます。

今井塾セミナー

889 :533:2001/06/26(火) 23:22
循環小数で表せって問題で,
1/17と1/61がどうしても分かりません.
いいとき方ってないでしょうか?
エクセルで最大精度で計算しても,循環してなかったんです...

890 :871:2001/06/26(火) 23:26
>>872-877
わかりにくい質問に答えてくれてありがとうございます。
やはり、図形で考えるとわかりやすいですね。

891 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 23:30
>>889

17進法で考えれば、0.1です。

892 :嵐山勘三郎:2001/06/26(火) 23:32
1/17=0.05882352941176470588・・・
1/61=0.0163934426229508196721311475409836065573770491803278688524590163・・・

893 :533:2001/06/26(火) 23:33
>>892
すげ〜!どうやって分かったんすか?
実際に解いたんですか?
それとも有名な話?

894 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 23:33
>>818
嗚呼、それもそうだ・・・。
わざわざ有り難うございました。

895 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 23:37
ここって分からない問題を書いてたら答えまでしっかりと書いてくれるんですか。

896 :132人目の素数さん:2001/06/26(火) 23:38
バカ?>895

897 :嵐山勘三郎:2001/06/26(火) 23:40
1/113=0.0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115
04424778761061946902654867256637168141592920353982300884・・・

1/229=0.0043668122270742358078602620087336244541484716157205240174672489082
969432314410480349344978165938864628820960698689956331877729257641921397379
912663755458515283842794759825327510917030567685589519650655021834061135371
17903930131004366・・・

だからどうした

898 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 00:19
3次方程式8x^3−6x+1=0の3解がa、b、cのとき
 S=納k=0、∞](a^n+b^n+c^n) とするとSの値を求めよ。

899 :132人目の素数さん :2001/06/27(水) 00:39
>>889
1/17, 2/17, 3/17 ... 16/17を小数点以下出せるところまで出してよく見てみよう
なにか気がつかないか?

900 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 00:53
900げっと!

901 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 00:54
つーことで
そろそろ新スレの予感

902 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 00:57
つーことで
新スレたてるんでまっててね(はぁと)

903 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 01:03
最近さくらさんを見ませんね。
どうしたんでしょうか....

904 :132人目のさくらたん:2001/06/27(水) 01:06

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905 :132人目のさくらたん:2001/06/27(水) 01:07

新スレに移行しました.
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=993571403

906 :佐藤:2001/06/27(水) 01:08
空間図形における2直線の位置関係で、垂直の関係とは、ねじれの位置にあって平行移動すれば同じ平面で垂直に交わる場合も含まれますか。確かベクトルではそれも垂直だったような気がしますが中学でしたらどうでしょう。どなたかおしえてください。

907 :132人目のさくらたん:2001/06/27(水) 01:13
>>906

新スレに移行したので,そちらにコピペしました.
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=993571403

908 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 01:28
>>898
S=納k=0、∞](a^n+b^n+c^n)
=0 or ±∞

909 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 01:48
>>908
0点 (配点25)

910 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 09:40
>>909
S=納k=0、∞](a^n+b^n+c^n)
=(a^n+b^n+c^n) 納k=0、∞] 1
=(a^n+b^n+c^n) x ∞

911 :798:2001/06/28(木) 10:05
>>800 >>865
レスが遅くなってすいません
どうも、ありがとう。

912 :今丼:2001/06/28(木) 10:22
>>1
なにがわからないのかわかりません

913 :☆スレッド終了のお知らせ☆:2001/06/29(金) 00:29
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 このスレは終了したので書かないで下さい
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914 :☆スレッド終了のお知らせ☆:2001/06/29(金) 00:30
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 このスレは終了したので書かないで下さい
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915 :132人目の素数さん:2001/07/06(金) 01:39
trivial, non-trivialってどういう意味ですか?教えて下さい.

916 :132人目の素数さん:2001/07/06(金) 05:27
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 このスレは終了したので書かないで下さい
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917 :132人目の素数さん:2001/07/26(木) 08:49
2100
1210
0121
0012

この4次行列を余因子行列を用いて逆行列を求める方法を教えてください。
あと1時間ちょっとで学校に試験に行かなくてはなりません。
できるだけ早急にお願いします。
もし問題ができなければせめて4次行列を余因子行列を用いて逆行列を
求める場合にはどうすればいいのかだけでも教えてください。

918 :132人目の素数さん:2001/07/26(木) 12:21
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 このスレは終了したので書かないで下さい
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919 :132人目の素数さん:2001/07/28(土) 00:10
>>898
8x^3−6x+1=0の3解がa、b、cのとき
 S=納k=0、∞](a^n+b^n+c^n) とするとSの値を求めよ。
<解>
方程式の3解はcos40°,cos80°,cos160°なのでSは収束する。
よって、S=1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)
t=1-xとおくと、方程式は8t^3-24t^2+18t-3=0なので
S=18/3=6
計算違ってたらごめん。

920 :今井弘一:2001/07/28(土) 00:12
正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

921 :132人目の素数さん:2001/07/28(土) 01:20
>>917
なんだ、まだやってたのか?

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=996052458&ls=50

922 :132人目の素数さん:2001/07/29(日) 01:09
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