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◆ わからない問題はここに書いてね 7 ◆

1 :132人目のさくらたん:2001/05/04(金) 14:03

    , ― ノ)
 γ∞γ~  \   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 人w/ 从从) )  わからない問題はここに書いてね♪
  ヽ | | l  l |〃 それから,数学記号の書き方の例は >>2
  `wハ~ ーノ)   業務連絡・その他は >>3 を読んでね♪
   / \`「   \_________________

【過去のスレッド】
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=967755172 その1
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775 その2
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042 その3
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589 その4
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http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985594205 その6(前スレ)


2 :132人目のさくらたん:2001/05/04(金) 14:03
【掲示板での数学記号の書き方例】

●スカラー変数・定数:a-z, A-Z, α-ω, Α-Ω,...
●ベクトル変数・定数:x, |x>, x↑, vector(x) (← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい.)
●関数:f(x), f[x]
●数列:a(n), a[n], a_n
●行列・テンソル:A, A(i,j), A[i,j], A[i,j,...;p,q...]
●足し算:a+b
●引き算:a-b
●掛け算:a*b, ab (← "*"を使い,"x"は使わない.)
●割り算・分数:a/b, a/(b+c), a/(bc) (← "/"を使い,"÷"は使わない.)
●平方根:√(a+b)=(a+b)^(1/2) (← "√"を使う.「るーと」で変換可.)
●指数・指数関数:a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) (← "^"を使う."exp"はeの指数.)
●対数・対数関数:log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) (← 底を省略する場合,"log"は常用対数,"ln"は自然対数.)
●三角比・三角関数:sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●内積・外積・スカラー3重積:a・b=(a,b), axb=[a,b], [a,b,c]=det(a,b,c)
●行列式・トレース:|A|=det(A), tr(A)
●絶対値・ガウス記号:|x|, [x]
●共役複素数:z~, bar(z)
●階乗:n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ:P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk
●微分・偏微分:y', dy/dx, ∂y/∂x (← "∂"は「きごう」で変換可.)
●ベクトル微分:∇f=grad(f), ∇・A=div(A),∇xA=rot(A), (∇^2)f=Δf (← "∇"は「きごう」,"Δ"は「でるた」で変換可.)
●積分:∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, 点[C]f(r)dl (← "∫"は「いんてぐらる」,"∬"は「きごう」で変換可.)
●数列和・数列積:Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) (← "Σ"は「しぐま」,"Π"は「ぱい」で変換可.)
●極限:lim[x→∞]f(x) (← "∞"は「むげんだい」で変換可.)
●図形:"△"は「さんかく」,"∠"は「かく」,"⊥"は「すいちょく」で変換可.

●その他
・関数等の変数表示や式の括弧は,括弧( )だけでなく[ ]{ }を適当に組み合わせると見やすい場合がある.
・ギリシャ文字はその読み方で変換可.
・複号は"±"の他に漢字の"士干"なども利用できる.
・上記のほとんどの記号やその他の記号"⇒∀≠≧≒∈±≡∩∽"などは「きごう」で順次変換できる.


3 :132人目のさくらたん:2001/05/04(金) 14:05
【業務連絡・その他】
●新スレへの移行
・900を超えたら新スレに移行準備.
・旧スレ側 → 終了宣言,新スレへの誘導.
・新スレ側 → 開始宣言と目次,旧スレのリンク,掲示板での数学記号の書き方例,業務連絡・その他,旧スレ側の残り問題の移動.
・数学板の要望スレで数学板の注意書き(リンク先)の変更依頼.

●数学板の要望スレ
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=981797747

●数学板の削除依頼スレ
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=986384122 (レス削除)
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=974165593 (スレッド削除)

●このスレッド「わからない問題はここに書いてね 7」
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592


4 :さくらスレ旗掲揚:2001/05/04(金) 14:10

○___________________________
|            │
│ はにゃ〜ん    │
|  γ∞γ~  \   │
│人w/ 从从) )   │
│ ヽ | |┬ イ |〃   │
│ `wハ~ . ノ)    │
│  / \`「      │
|  さくらスレ    │
|__________________________│





(● ´ ー ` ●)ノ さくらスレ旗掲揚


5 :132人目のさくらたん:2001/05/04(金) 14:11
移転完了 ъ( ゚ー^)


6 :132人目の素数さん:2001/05/04(金) 14:30
1辺がaの立方体を対角線について回転させた回転体の体積を
積分を使わずに求めよ


7 :132人目の素数さん:2001/05/04(金) 15:21
906 名前:(@。@) 丸三証券 投稿日:2001/05/04(金) 13:03
正多面体の面の数と頂点の数と辺の数って、なんか法則性ある?

   面の数  頂点の数 辺の数
  正四面体    4     4
  正六面体    8     12
  正八面体    6     12
 正十二面体   20    30
 正二十面体  12    30

ありそうなんだけどわからない。


909 名前:132人目の素数さん 投稿日:2001/05/04(金) 13:09
>>906
点-線+面=2...(Euler標数ってかんじ。)


909は何で? どうやって導き出すの? Euler標数?


8 :>:2001/05/04(金) 16:32
1)平面での次のことを示す。
孤立している線分がない,線分の集まりの図について
 線分の数  H
線分の端  T (共有してても1と数えろ)
 区切られている閉領域の数 M

T+M-H = 1が成立を示す

M=0 のとき
  線分の数の帰納法

M = k で成立を仮定
  M=k+1 の図について
 適当な線分をとっぱらえば 閉領域が一個消えてM=k の図になる。
この図形につおて与式が成立。。
これを変形して M=k+1がわかる


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2) 1)結果を利用して
  立体について、面を一個はずして、平面におしひろげる
 
  この押し広げた模様について考えると1)がなりたつので

  (面−1)+頂点 - 辺 = 1
  これを変形
   面 + 頂点ー辺 =2

これ自体はデカルトの定理だったっけ?



9 :132人目のさくらたん:2001/05/04(金) 16:35
>>7

任意の適当な多面体から1つの面を抜いて,その面の各頂点から
出ていた辺を1つにまとめて1つの頂点にして新しい多面体を作る.
いまこの面がn角形だったとすると,この作業で点の数は(n-1)個,
辺の数はn個,面の数は1個減るが,2つの多面体の
(点の数)−(辺の数)+(面の数)の値は,
(n-1)-n+1=0
より変化しない.
この作業1回につき面が1つずつ減っていくので,これを繰り返すと
いずれ一番簡単な多面体である四面体になる.
四面体の点の数は4個,辺の数は6個,面の数は4個なので,
(点の数)−(辺の数)+(面の数)=2
よって任意の多面体でもこの関係式が成り立つ.


10 :132人目のさくらたん:2001/05/04(金) 16:50
>>9
>この作業1回につき面が1つずつ減っていくので,

この作業1回につき面が1つずつ減って,またその面の隣り合う
すべての面の角形数も1つずつ減っていくので,

・・・・・と書かないと誤解するかもね.


11 :132人目の素数さん:2001/05/04(金) 21:59
ここで答えて見つけてくれるかな?
引越し前後は気になるな〜。
バイトにいってたので返事できませんでした。

905 名前: のぞみ 投稿日: 2001/05/04(金) 12:01

n種類の文字が2個ずつ(計2n個)ある。
これらを一列に並べる時、
同じ文字が連続して並ばないような並べ方の総数をa(n)とおく。

たとえばa(1)=0 , a(2)=2 , a(3)=30 となりますが、
このa(n)を一般に求めることはできますか?
あるいは、a(n)の漸化式でもわかれば嬉しいのですが・・・

長レスになります。興味ないひとは無視すべし。
----
条件をみたす列を*列とでもよびましょう。
*列がi型であるというのを先頭の文字を X とするとき
もうひとつの X の前後が長さiにわたって対称となってるものとします。
たとえば n=4 のとき

ABCDACBD は0型
CBADCDBA は1型
ABCDADCB は3型

などとします。i型の*列から先頭の文字 X ともうひとつの
X の前後 i 文字をぬくと長さが 2n-2i の*列ができます。

n=4

i=0 ABCDACBD -> BCDCBD
i=1 CBADCDBA -> BABA
i=3 ABCDADCB -> φ(長さ0の文字列も一個の*列としてかぞえることとします。)

逆にいえば長さ2n-2iの*列とそれと
それとは文字の重複しないi+1文字の任意の順列を合成して2n文字の新しい文字列
がつくれます。

BCDCBD と A -> ABCDCABD, ABACDCBD,... (Aを先頭につけて,Aを挿入)
BABA と CD -> CBADCDBA, CBDCDABA,... (Cを先頭につけて,DCDを挿入)

そこであたえられたn個の文字C_1〜C_nを2文字づつ使って以下のようにして
*列を構成します。
(1)n種類からi種類をえらびそれで長さがiの列をつくります。(1≦i≦n)
(2)残ったn-i種類の2n-2i文字で*列を作ります。
(3)最初につくった文字列とそこから先頭文字をぬいてひっくりかえした列を前に
くっつけて前後対称な文字列をつくります。
(4)(3)でつくった文字列を(2)でつくった*列に挿入して(3)でぬいた文字を先頭に
くっつけます。
(1)〜(4)の手順でつくられる文字列の全体が*列の全体になります。そこでこの
手順でできる文字列の数をかぞえます。
まずstep(1)で文字をえらんでならべる組み合わせはP(n,i)
次にstep(2)でできる*列の数は a(n-i)。
次にstep(4)で前後対象な文字列を挿入できる場所の可能性は i≠1 のときは
2n-2i+1, i=1 の時は 2n-2 通り。
ここで i=1 のときは前後対象文字列(といってもこの場合1文字からなる列)
は先頭にはつけられないことに注意してください。(さもないと最後に一文字
追加したとき連続してしまう。)
そこで a(n) は以下のようにあらわされます。
a(n)=納i=2,n]P(n,i)a(n-i)(2n-2i+1)+P(n,1)a(n-1)(2n-2)
それで n-i=j などと変換し整理すれば
a(n)=納j=0,n-1](2j+1)P(n,n-j)a(j)-na(n-1)
がでます。

12 : :2001/05/04(金) 22:17
問)円X^2+Y^2=2と直線Y=X+aの共有点の個数は
定数aの値によってどのように変わるか。

13 :132人目の素数さん:2001/05/04(金) 23:22
QR法の対角成分が、左上から絶対値の大きい純に並んだ固有値に収束することの
証明がわかりません。
検索しても見つからないので、どなたかわかるかた、教えてください。

14 :>12:2001/05/04(金) 23:27
X^2+Y^2=2 Y=Y+a
Yを消去して、Xについての2次方程式。
これの判別式を考える

15 :のぞみ:2001/05/04(金) 23:28
>>11さま

丁寧に説明していただいてありがとうございます。
よくわかりました。
感謝しています & 感激しました!

16 :132人目の素数さん:2001/05/04(金) 23:43
>>12
原点から直線Y=X+aをdとして、
dと√2(=円の半径)の大小を考えてもよろし。

17 :132人目の素数さん:2001/05/04(金) 23:53
>>11、15
その問題、inclusion-exclusion principle を使えば、

a(n)=Σ[r=0,n](-1)^r*nCr*(2n-r)!/2^(n-r)

となるみたい。(r=0 の項と r=1 の項は相殺するので Σ[r=2,n] でもよい)
この和を簡単に求めることは、たぶんできないと思う。

18 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 00:21
>>17
これどうやってだすんですか?
Out Line だけでも教えてください。

19 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 01:03
>>11,>>17
この二つの答え n=4 ですでにちがうぞ。
どっちが正しい?

20 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 01:26
>>18
まず、inclusion-exclusion principle の説明。
N 個のものがあり、そのうち条件 A を満たすものの個数を N(A)、
条件 B を満たすものの個数を N(B)、条件 A, B をともに満たすものの個数を
N(A,B) という具合に書くことにする。
このとき、3つの条件 A, B, C のいずれも満たさないものの個数は、

N-N(A)-N(B)-N(C)+N(A,B)+N(B,C)+N(C,A)-N(A,B,C)

となる。(条件が3つくらいならベン図を書けばすぐわかる)。
条件が多いときでも同様の式が成立する。それを inclusion-exclusion principle という。
条件が A_i (i=1,2,3…) なら、これらのいずれも満たさないものの個数は、

N-ΣN(A_i)+ΣN(A_i,A_j)-ΣN(A_i,A_j,A_k)+ΣN(A_i,A_j,A_k,A_l)-…

という具合になる。符号が交互にプラス・マイナスになるわけね。
証明は落ち着いて考えれば高校生程度。
で、ここでの問題では、

N=(2n)!/2^n : つまり、あらゆる並べ方。
条件 A_i : i 番目の文字が連続して並ぶ並べ方。

として inclusion-exclusion principle を適用すればいいはず。
これで間違っていないと思うんだけど・・・。

>>19
11 さんが a(0)=1 としているのを見落としていないか?

21 :19:2001/05/05(土) 01:32
>>11,>>17,>>19
あってた。すまソ。

22 :18:2001/05/05(土) 01:43
>>20
なるほど。ありがとうございました。これいいですね。
15さんよんでるかな。

23 :のぞみ:2001/05/05(土) 01:52
よんでます。
なるほど、包除原理をこうやって用いる方法もあるんですね。
これも感謝感激です。

24 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 02:23
∫dx/(1+X^4)=
これの答えを教えて下さい

25 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 03:48
∫dx/(1+x^4)=(1/4√2)log{(x^2+√2x+1)/(x^2-√2x+1)}
+(1/2√2){Arctan(√2x+1)+Arctan(√2x-1)}

26 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 10:34
以下の問題教えて下さい

(x+1)(x-2)の小数第1位を四捨五入したものが1+5xと等しくなるような実数xを求めよ。

27 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 12:13
1+5x-0.5≦(x+1)(x-2)<1+5x+0.5
実数ってイパーイあるヨ

28 :(@。@) 丸三証券:2001/05/05(土) 12:47
遅ればせながら、答えてくれた人ありがとう。
またよろしくね。

29 :26:2001/05/05(土) 12:50
一応自分でやってみたところx=32/5になったんですが…。
じゃあ僕のやり方があってるかどうか見て下さい。

まず、小数第1位を四捨五入したものが1+5xとなることから、
x=p/5(pは整数)とかける。
その上で27さんがかいてくださった式を計算すると、
その範囲にあって分母が5となり得る実数は32/5のみ。
よって答えはx=32/5となる。

みたいな感じなんですが、これでよろしいでしょうか?

30 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 13:09
数体の標数って必ず0でしょうか?
一言よろしくです。

31 :18:2001/05/05(土) 13:11
>>30
そうです。

32 :18:2001/05/05(土) 13:28
>>29
だいたいいいですが、そのまま例えば入試問題の解答用紙にかくと
かなり引かれます。
(減点point)
数学では“解なし”の可能性もあります。かりに以下の(*)の範囲に
5x が整数になるものがひとつしかなくてもそれは
“それが唯一の解の候補”
しか意味しておらずそれが与式をみたすかどうかはチェックして
やる必要があります。いわゆる“十分性のチェック”ってやつ。
それと(*)解きそこなってませんか?
3-√12.5≦x≦3-3+√11.5 又は 3+√11.5≦x≦3+√12.5
なので x=-0.6 と x=6.4 が候補のハズ。
あとこまかいことですが(x+1)(x-2)は負の数かもしれないので
>>27さんの評価式は両方に等号をつけるべきです。
 1+5x-0.5≦(x+1)(x-2)≦1+5x+0.5...(*)

33 :32:2001/05/05(土) 13:39
>>32
訂正
x=-0.6とx=6.4が候補 → x=-0.4 と x=6.4が候補
すまソ

34 :26:2001/05/05(土) 13:44
>>32
正の四捨五入しか考えてませんでした。ご指摘ありがとうございます。
十分性のチェックは代入して調べればそれでいいんでしょうか?

35 :32:2001/05/05(土) 13:49
>>34
それで十分です。

36 :某殿第:2001/05/05(土) 14:09
複素数平面上にα,β,γで表される3点A,B,Cがある。この3点は三角形をなし、α,β,γがこの順に正の向き(反時計回り)に並んでいるとする。
1,この平面上に点Pを PB:PC=AB:AC,∠BPC=∠BAC+60゜(角の向きもこめて)であるようにとる。
点Pを表す複素数ξをα,β,γで表せ。
2,1で作った点Pは PA:PB=CA:CB,PC:PA=BC:BAをも満たすことを、複素数計算によって証明せよ。

37 :MIDORIは白靴下:2001/05/05(土) 17:09
1)コンパの費用を全員でもつとき、1人2800円にすると4200円余り、
  2680円では1人だけ他の人より多く、2700円だと1人だけ2150円以下になる。
  コンパの費用総額はいくらか。

2)1から1000までの整数のうち、同じ数が隣り合っていないものは全部でいくつあるか。

おしえてくらはい。

38 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 18:14
>>36
やだ

39 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 19:27
>>37 ネタか?
(1)費用を x、人数を n として
2800n=x+4200 ....... (a)
2680n<x ............ (b)
x-2700(n-1)≦2150 .. (c)
(a),(b)より n>35 (a),(c) より n ≦ 36.5
∴n=36 ∴x=96600

(2)
一桁の可能性 = 9個
二桁の可能性 = 十の位の可能性×一の位の可能性 = 9×9 = 81
三桁の可能性 = 十の位の可能性×一の位の可能性十の位の可能性 = 9×9×9 = 729
よって 9+81+729=819

40 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 20:44
反則技のロピタルの定理を使えば、答えは1/6だとわかるのですが、高校数学の範囲での求め方がわかりません。
「x→0 のときの (x -sin x)/x^3 の極限」の求め方を教えて下さい。

あと
[問]次の不等式を証明せよ。
  (1)α>1,x>1ならばα(x-1)<x^α -1<αx^α-1 (x-1)
  (2)0<x<π/2ならば 2/πx<sinx<x

この二問おしえてください


41 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 20:57
>「x→0 のときの (x -sin x)/x^3 の極限」

まず準備として
「x>0において、x-(x^3)/6 < sinx < x が成り立つ」
ことを示してみよ。

42 :40:2001/05/05(土) 21:03
>>41
ご解答ありがとうございます
さっそくアドバイスの通り示してみたいと思います


43 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 21:06
>>41
それを示せば十分なの?

44 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 21:49
x-x^3/6 < sinx < x-x^3/6+x^5/120 を示せ。

45 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 21:53
>>41
示しましたが・・・

46 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 21:54
時針・分針・秒針が同じ長さで区別のつかない時計がある。
この時計を写した写真があるとき、
その写真からそれを写した時刻を知ることができるか?

という問題なんですが、どう考えれいいですか ?

47 :41:2001/05/05(土) 21:58
>>45
スマヌ。
示すべきは>>44の提示した不等式だった。

48 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 22:44
17,000円を3人で平等に分けるには
どうしたらいいでしょう?
(ただし、割り切れない端数で何かを買ったり、換金や寄付するもダメです)

これって、数学と哲学、どっちに絡めたクイズ?

49 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 22:49
「17000/3」円玉(なり札なり)があればいい。

50 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 22:54
うちにちょうど三枚あるよ。
両替したろか?

51 :佐久:2001/05/05(土) 22:55
展開して下さい。それも簡単な方法で。

(2x+y−3)(4x*x+y*y+9−2xy−6y+6x)

4の横はxの二乗プラスyの二乗です。
入力方法わからんので。
出来れば6日までに教えてぇ!

52 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 23:06
>「x→0 のときの (x -sin x)/x^3 の極限」の求め方を教えて下さい。
>x-x^3/6 < sinx < x-x^3/6+x^5/120 を示せ。

すいません。45さんに便乗して
質問したいのですがこれを示した後どうなるのでしょうか?



53 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 23:08
>>52
その不等式を使って、(x -sin x)/x^3を評価するんだよ。
後は、挟み撃ちの原理で結果が出るだろ?

54 :52:2001/05/05(土) 23:14
>>53
なるほど!!
ありがとうございました

55 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/05/05(土) 23:18
数学板≠嵐山板が証明できません、
どうしたら証明できますか。

56 :48:2001/05/05(土) 23:22
>>49
いや・・・その答えは違うのでは?

57 :132人目の素数さん:2001/05/05(土) 23:25
>>40
>次の不等式を証明せよ。
>(1)α>1,x>1ならばα(x-1)<x^α -1<αx^α-1 (x-1)
>(2)0<x<π/2ならば 2/πx<sinx<x

微分してみた?


58 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 00:16
>>48
ジャンケンで勝った奴が全部もらうことにする。
ある意味平等。

59 :MIDORIは白靴下:2001/05/06(日) 00:20
>>39
すまない、1)はよくわかったのだが2)が全くわからない。
可能性ってどういうことだ?
まじでネタではないので優しく教えてください。

60 :高校生:2001/05/06(日) 00:26
此処で一発お茶の水女子の奇問を
軸はy軸に平行で点(t.0)でx軸に接し、点(−1.1+t)を通る
放物線を考える。tがt≧0の範囲を動くとき、この放物線の通りうる範囲を図示せよ

直感的にt=0の場合y=x^2となることからこの放物線の右側全部が求める範囲ですか?
まず普通に解いていきます。
x=tで重解を持つからf(x)=a(x-t)^2=0
これが(-1,1+t)を通るから a(-1-t)^2=1+t ←→ a(t^2)+(2a-1)t+a-1=0・・・@
 @がt=0のときa=1となりy=x^2となります。
 @がt>0のとき判別式=1となり、またt= 1 or (1-a)/a よって条件より(1-a)/a>0→1>a
またa=0→t=-1よりa≠0 a>0→t=1であるから
よって0<a<1であることが解る。
この後よく解りません
御教授願います 

61 :高校生:2001/05/06(日) 00:31
a>0→t=1であるから

a>0→判別式=1であるから
でした



62 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 00:36
>>59
すまソ。ネタと思った。これ
“十進表示したとき同じ数字がならんでないものの数は?”
だよね?一桁の数1〜9は全部OKなので9個。
二桁の数は樹形図をかいてみるとわかる。
一度目の分岐は十の位で分類する。
最初の分岐は1〜9なので9枝。
二度目の分岐は一の位で分類する。
 1の下には0〜9で1以外なので9枝
 2の下には0〜9で2以外なので9枝
 ...
 9の下には0〜9で9以外なので9枝
で総枝数は9×9の81枝。
3桁の場合も同様に樹形図をかくとやはりすべての分岐は9枝で
3層の枝分かれがあるので結局9×9×9の729枝
結局全部で9+81+819通りのくみあわせが可能。

63 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 00:50
>>60
やあ。なつかしの高校生東Nではないかね。元気にしとったかね。
この問題はまず@からaをtであらわしたまへ。
@のまえの式の両辺を(1+t)^2でわればよし。(0じゃないから。)
そうすると放物線の方程式がtでパラメータ表示される。
分母をはらって整式にしたまへ。
それを t に関する方程式とおもってそれが t≧0 の範囲で解をもつ
x,yの条件をもとめたまへ。

64 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 00:59
>>31
ありがとうございました!

65 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 01:15
>>60
べつに「奇問」じゃないよ、これ。

>直感的にt=0の場合y=x^2となることからこの放物線の右側全部が求める範囲ですか?
ちがうよ。

66 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 01:19
http://quote.yahoo.co.jp/q?s=9984.t&d=b

の対数チャートを作りたいのですが、以下の
時系列データを使って、どの様にすれば
実現出来るでしょうか。

http://chart.yahoo.co.jp/w?s=9984.t

馬鹿でゴメンナサイ。心優しき方、ぜひご指導下さい。

宜しくお願いします。



67 :66です:2001/05/06(日) 01:21
時系列データの終値を使って、ご指導下さい。
宜しくお願いします。

68 :高校生:2001/05/06(日) 01:27
>63
a=1/1+tとしてあらわしてa(x-t)^2=1/1+t(x-t)^2とする?
>65
じゃあ解いてみて解ける能力があるなら

69 :65:2001/05/06(日) 01:33
>>60 >>68
>x=tで重解を持つからf(x)=a(x-t)^2=0
>これが(-1,1+t)を通るから a(-1-t)^2=1+t

このあとは・・・
いまt≧0で考えているので1+t>0 。よって両辺1+tで割ってa=1/(1+t)。
よって題意の放物線はy=1/{(1+t)}(x-t)^2と表され、これを整理して
 t^2 −(2x+y)t+x^2−y =0 ・・・(★)
となる。

このあと、
 (★)をtの2次方程式とみて、これがt≧0の範囲に
 少なくとも1つの解をもつための条件
をもとめることになる。

あとは自分でやれ。
これくらいできるだろ。

70 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 01:35
>>68
ちが〜う。a=1/(t^2+1)でしょ。だから放物線の方程式は分母をはらって
 (t+1)y=(x-t)^2
tに関して整理して
 t^2-(2x+y)t+(x^2-y)=0
これを t に関する方程式とみなしてこれが t≧0 の範囲で解を持つ
(x,y)の条件をもとめんの。わ〜った?

71 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 01:46
>>59,>>62
ちょっとがむばって2桁の場合の樹形図を
つくってみました。以下でわかるとおり
同じ文字のならばない2桁の数字は81個
あります。3桁、4桁でも原理は同じです。

┳1┳0 → 10
┃ ┣2 → 12
┃ ┣3 → 13
: :
┃ ┣8 → 18
┃ ┗9 → 19
┣2┳0 → 20
┃ ┣1 → 21
┃ ┣3 → 23
: :
┃ ┣8 → 28
┃ ┗9 → 29

┗9┳0 → 90
  ┣1 → 91
  ┣2 → 92
  :
  ┣7 → 97
  ┗8 → 98

72 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 01:50
>>66
かぶこー掲示板あたりで聞いた方がいいと思うよ。

73 :高校生:2001/05/06(日) 02:14
非常に答えが解るとtrash問題に見えますね



74 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 06:04
偏差値の算出法を教えて


75 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 06:40

偏差値=((得点−平均点)÷標準偏差×10)+50

76 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 07:35
>>46
以下で[]をGauss記号、<x>=x-[x](つまりだいたい x の小数部)
とします。また時間の単位は12時間=1,角度の単位は一周=1 という
単位で考えます。そうすると時刻 t での“針の位置”はそれぞれ
時針 = <t> 分針=<12t> 秒針=<720t>
と考えることができて楽です。すると問題は
「“針の位置”の集合が等しければその二つの時刻の差は12時間の整数倍か?」
だから
{<t>,<12t>,<720t>}={<u>,<12u>,<720u>}⇒<t>=<u>
と書けます。この仮定から次のいづれかが成立します。
(i) <t>=<u>, <12t>=<720u>, <720t>=<12u>
(ii) <t>=<12u>, <12t>=<u>, <720t>=<720u>
(iii) <t>=<720u>, <12t>=<12u>, <720t>=<u>
(iv) <t>=<u>, <12t>=<720u>, <720t>=<12u>
(i)から結論はあきらか。
(ii)を仮定すると前2式から<143t>=<0>,<143u>=<0>これからt=k/143,u=l/143
(k,lは整数)と書けます。これを第3式に代入して720k/143-720l/143は整数、よって
720(k-l)は143の倍数となります。よってk-lも143の倍数となりこれからt-uも
整数となります。
(iii)を仮定した場合は(ii)と同様に<t>=<u>がでます。
(iv)を仮定すると3式から<8639t>=<0>がいえてここからt=k/8639(kは整数)と書けます。
同様にu=l/8639(lは整数)とも書けます。これを1式、2式に代入して
k≡12l(mod 8639),12k≡720(mod 8639) がでます。ここから k≡l≡0(mod 8639)
となりよって t,u はともに整数となり特に <t>=<u>=<0>(つまりこうゆうのはtもuも正午か
深夜0時のいづれかであるときしかおこらない。)がでます。

77 :76:2001/05/06(日) 07:37
>>76
(iv)を書き間違えました。正しくは
(iv) <t>=<12u>, <12t>=<720u>, <720t>=<u>
です。

78 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 11:09
5の0乗の答えはどうして1になるんでしょうか?
あと0の0乗はどう計算するんですか。

79 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 14:03
>>78
>5の0乗の答えはどうして1になるんでしょうか?

そう決めたからです。

>0の0乗はどう計算するんですか。

0の0乗は普通は定義しません。

80 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 14:16
放物線y=2x^2の頂点をOとし、放物線上に2点A,Bを角AOBが直角になるようにとる。
このとき、OからABへの垂線の足の軌跡を求めよ。

という問題がわかりません。どなたか手助けを…。

81 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 16:58
>>78

「5のn乗」を「1に5をn個かけたもの」と考えたら、どお?
そしたら、
  5の0乗は「1に5を0回かけたもの」だから1
というのも自然じゃないかな。

82 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 17:19
g(x)=(arcsin3x)/x の d/dxがどうして
[x(3/√(1-9x^2))-arcsin3x]/x^2になるのか教えてください。
これまだ途中経過なんですけど、どうやってもこうならないんです。

83 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 17:45
下の問題を解こうと
二晩考えたのですが解けません。
誰か解法を教えて下さい。
よろしくお願いします。

因数分解して下さい

次数の低い文字について整理する
x^4 + 2x^2 - 4ax - a^2 + 9
a^2bc + abd + bc - ab^2 - ac^2 -cd
x^2 - y^2 + 2yz + 2zx + 4x + 4x + 2y + 2z + 3

一度展開してからxについて整理する
( x + y + z )( yz + zx + xy ) - xyz
( x + 1 )( y + 1 )( xy + 1 ) + xy

84 :名無しさん:2001/05/06(日) 18:50
>>81
その定義でいくと0の0乗は1って定義できるのでは?
1に0を0回かける・・・から。

85 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 19:20
なぜ0!=1なのですか?
教えてください

86 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 19:50
誰か助けてください。この2問どうやって、解くんですか?

DをR^nの開部分集合とする。
1問目:f or ∀x∈D、∀v∈R^n、∃r∈R(r>0)
s.t 0≦|t|<r(t∈R)⇒x+tv∈D を示せ。

2問目:x∈D、v∈R^nを一組固定する。
g(t)=f(x+tv)が開区間(-r、r)で微分可能のとき次を示せ。
g'(t)=f'(x+tv;v) (∀t∈(-r、r))

お願いします。

>>697
Dが開集合じゃから、テキトーな正数 ε をとると
点 x の ε-近傍がDに含まれるワイのう。さすれば
r = ε/|v| とでもとれば x+tv はDに含まれるじゃろうて。

ごめんなさい。いまいち、わかりません。もう少し詳しく教えて下さい。


87 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 19:59
>>85
0!=1!/1=1

88 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 20:45
>>82
y=(arcsin3x)/x から dy/dx を導く方針で。
xy=arcsin3x より sin(xy)=3x , cos(xy)=√(1-9x^2) ・・・ (注)

sin(xy)=3x の両辺を x で微分すると
cos(xy)*(y+x*(dy/dx))=3

↑と cos(xy)=√(1-9x^2) , y=(arcsin3x)/x から
dy/dx=(3/(x√(1-9x^2)))-(arcsin3x)/(x^2)

(注) cos(xy)=±√(1-9x^2) かどうかは他の人に任せた。(^_^;

89 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 21:12
>>80
その問題去年の東大模試で見た覚えがあるぞ。
模試の過去問が問題集として売ってるから、それを見ればいい。


90 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 21:41
g(x)をβのK上最小多項式、h(x)をγのK上最小多項式とする。
ghのK(β,γ)上の分解体をMとすれば、M[x]において、g,hともに
一次式に分解される。

なぜK(β,γ)上でghについて考えるのですか?単にK上じゃ
いけないのですか?お願します。

91 :88:2001/05/06(日) 21:53
>>82
やり直し(^_^;

(arcsinx) ' =1/√(1-x^2) を既知とすれば

{(arcsin3x)/x}'
={(arcsin3x)*(1/x)}'
=(1/x)*{(arcsin3x) ' }+(arcsin3x)*{(1/x) ' }
=(1/x)*(3/√(1-9x^2))+(arcsin3x)(-1/x^2)
=略

92 :46です:2001/05/06(日) 21:57
>>76 >>77

あるがとうございます。

93 :132人目の素数さん:2001/05/06(日) 22:00
>87
あれがとうございます。

94 :78:2001/05/06(日) 23:11
>>81
そんな感じで考えるとなんだかわかるような気がします。ありがとうございました。

95 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 00:06
>>90
その文以降の話の都合上、M がβ、γを含んでいることにしたいからじゃないのか。

一般に、多項式の分解体は“同型を除いて”一意に決まることに注意。
つまり、勝手な分解体を取った場合、β、γに“相当する”元は
含まれるが、β、γそのものが含まれているとは限らない。

96 :felix:2001/05/07(月) 00:53
確立変数と確立分布に関する問題です。
さっぱり分からないので、
この問題が分かる方教えてください。
お願いします。


1.Xは非負の確率変数でその分布関数をF(x)とする。その平均値が存在するとき、
 次の等式が成り立つことを示せ:

     E(x)=∫[0,∞]{1−F(x)}dx

2. Xは正の整数値をとる確率変数であり平均値が存在する時、

     E(x)=納x=1,∞]P{X≧x}

  が成り立つことを示せ。

3. 確立変数X,Yは共通の平均値μをもち、それぞれの分散σ(x)^2,σ(y)^2
  が存在するとする。任意の整数t>0に対して

       P{|X-μ|>t} ≦ P{|Y-μ|>t}

  が成り立つならば、σ(x)^2≦σ(y)^2 が導かれることを示せ。

97 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 01:17
>>95
な〜るほど。後半の部分がとても参考になりました。
ありがとうございました。

98 :KARL:2001/05/07(月) 01:27
>>83
第1問(aについて整理する)
x^4+2x^2-4ax-a^2+9 = -a^2-4xa+x^4+2x^2+9 (1)
= -a^2-4xa+(x^2+3)^2-4x^2 (2)
= -a^2-4xa+(x^2+3+2x)(x^2+3-2x)
= -(a+x^2+3+2x)(a-x^2-3+2x)
= (x^2+2x+a+3)(x^2-2x-a+3)
(1)から(2)への複2次式の因数分解はつぎのChartから。

* 複2次式の因数分解のChart
*
* 判別式が正のとき
* x^4 + p x^2 + q = (x^2 -(-p+√(p^2-4q))/2)(x^2-(-p-√(p^2-4q))/2)
* 判別式が負のとき
* x^4 + p x^2 + q =(x^4+2√qx^2+q)-(2√q-p)x^2
* =(x^2+√q)^2-(√(2√q-p)x)^2
* =(x^2+√q+√(2√q-p)x)(x^2+√q-√(2√q-p)x)

第2問(zについて整理する)[元の問題は4xがダブってるので勝手に削除した]
x^2-y^2+2yz+2zx+4x+2y+2z+3 = (2y+2x+2)z+x^2-y^2+4x+2y+3
= 2z(x+y+1)+x^2+4x-(y^2-2y-3)
= 2z(x+y+1)+x^2+4x-(y-3)(y+1)
= 2z(x+y+1)+(x+y+1)(x-y+3)
=(x+y+1)(x-y+2z+3)
(zを含まない部分はxについて整理した)

第3問(dについて整理する)
a^2bc+abd+bc-ab^2-ac^2-cd = (ab-c)d + a^bc+bc-ab^2-ac^2
= (ab-c)d + ab*ac - ac*c -b*ab +bc
= (ab-c)d + ac(ab-c) - b(ab-c)
= (ab-c)(d+ac-b)
(ab-c を共通因数としてくくりだせるように工夫した)

第4問
展開して整理する。
(x+y+z)(yz+zx+xy)-xyz = (y+z)x^2 + (y^2 +2yz+ z^2)x+ yz(y+z)
= (y+z)(x^2+(y+z)x+yz)
= (y+z)(x+y)(x+z)

第5問
展開して整理する。
(x+1)(y+1)(xy+1)+xy = (y^2+y)x + (y^2+3y+1)x + y+1
= y(y+1)x^2 + (y^2+2y+1+y)x + (y+1) (3)
= (yx + (y+1))((y+1)x +1) (4)
= (xy+y+1)(xy+x+1)
((3)から(4)はいわゆるたすきがけ)



99 :もりた:2001/05/07(月) 01:38

第1問 nを2以上の自然数とする。
(n+1)個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、k=1,2,
・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相乗平均の差の(n+1)倍が
a1からanまでの相加平均と相乗平均の差のn倍よりも小さ
くないとつねにいえるかどうか。

第2問 赤、青、黄、緑、白の5色の玉が無数にある。
これらの玉を用いて左から一列にn個並べるとき、
左端と同じ色が左端も含め偶数回現れる並べ方は
何通りあるか。

第3問 数列anを an=n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。

第4問 0=<x=<1のとき
(1+x^2+・・・+x^2n)/(n+1) >=(x+x^3+・・・+x^2n-1)/n
を証明せよ.ただし、nは自然数。(x^kはxのk乗。)

第5問 a[1]=1、a[n+1]=√(a[n]+2)(n=1,2,・・・)
によって与えられる数列{a[n]}の極限値を求めよ。

第6問
(1)整式f(x)を整式g(x)で割った余りをh(x)とするとき
f(x),g(x)が互いに素であることと g(x),h(x)が互いに
素 は同値であることを証明せよ。
(2)整式f(x),g(x)が互いにそのとき適当な整式p(x),q(x)
があり p(x)*f(x)+q(x)*g(x)=1 が恒等的に成り立つこ
とを証明せよ。



100 :加護天使:2001/05/07(月) 02:06
>>96
問1以下って
平均値の定理とか普通の微積分を確率版に直せれば良いんじゃないの。
間違ってたらごめんなさいね。

101 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 02:54
>>96
1.分布関数って何のこと?もし
F(x)=∫[0,x] f(t) dt (ただしf(x)は確率密度関数)
のことだったら、F'(x)=f(x)だから、
∫[0,∞] { 1 - F(x) } dx
=[ x{ 1 - F(x) } ] (0〜∞)  - ∫[0,∞] x{ -f(x) } dx
= lim(x→∞) { x*{ 1 - F(x) } } + ∫[0,∞] x*f(x) dx

第二項はE(X)にほかならない。
第一項は不定形だが、G(y)=1-F(1/y) (y>0), G(y)=0 (y≦0)
と定義すると、第一項は y=1/x として
lim(y→0) G(y) / y これが0に等しいことを示せばよい。

まず、明らかに G(y) はすべての実数 y につき連続である。
lim(y→-0) G(y) / y = 0 も明らかである。また G(y) の定義より
G(y) は y>0 で微分可能で、
G'(y) = f(1/y) / (y^2) が成立する。よって平均値の定理より
G(y)/y = G'(c) ( 0<c<y ) なるyが存在する。

lim(y→+0) G(y) / y = lim(y→+0) G'(c)
だから、もし lim(c→+0) G'(c) が存在すれば、その極限値が
lim(y→+0) G(y)/y に等しいことがわかる。

ここで、
E(X) =∫[0,∞] t * f(t) dt
= ∫[0,∞] f(1/s) / (s^3) ds ( s=1/t)
= ∫[0,∞] G'(s) / s ds だから、E(X)が存在(収束)するには
lim(y→+0) G'(y) = 0 が必要である。

従って、lim(c→+0) G'(c) = 0 であり、さかのぼって
lim(y→+0) G'(c) = 0
lim(y→+0) G(y) / y =0
lim(x→∞) { x*{ 1 - F(x) } } = 0

が示された。

2.
1.を解くだけで力尽きたから、今思いついた方針だけ書いておく。
考え方は 1. と同じである。無限和と積分を置き換えて
考えればよい。
部分積分での微分と積分は、差分と和に置き換わる。

3.
式の意味を考えれば直観的には明らかであるが、ギブアップ。


102 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 07:26
g(x)=(x-β_1)…(x-β_n), h(x)=(x-γ_1)…(x-γ_m), β_1=β, γ_1=γ
ここで (β-β_i)/(γ_j-γ), i=2,…,n, j=2,…,m と異なるcを選ぶ。
そこで α=β+cγ とおくと、 h(x)とg(α-cx)とは共通根γを持つ。
cの取り方から共通根はγのみである。

・・・γのみってのがなんでなのかわかりません。具体的に説明して
いただければ幸いです。お願いしますです。

103 :でじこ@数学板:2001/05/07(月) 08:22
>>102
(β - β_i)/(γ_j - γ) ≠ c (i = 2、…、n、 j = 2、…、m)と
なるように c を取ったのだから、変形して
β + cγ - cγ_j ≠ β_i 即ち α - cγ_j ≠ β_i .
これは α - cγ_j が g(x) の根となり得ない、i.e.、
γ_j が g(α - cx) の根となり得ないことを示しているにょ。

104 :102:2001/05/07(月) 13:16
>>103
ありがとう…にょ?

105 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 13:23
>>102
c は(β-β_i)/(γ_j-γ) と 0 以外からとらないとだめ。
つまり走らせるsuffixはj:2〜はいいけどiは1〜にしないと。
そうしないと>>103さんの証明で“α - cγ_j≠β_i(∀j≠1)”がi≠1
の場合しか言えないョ。でもそれじゃ証明は完成しないよネ。
具体的にh(x)=0とg(α-cx)=0の根をlist upしてみるとわかりいいかも。
 前者={γ_1,...,γ_m}
 後者={α-cx=β_iの解;i:1〜n}={γ+(1/c)(β-β_i)}...(*)
以下>>103と同様にいけばよし。c=0だと(*)の2つ目の等号がだめ。

106 :1:2001/05/07(月) 16:12


                             / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
               ┷===〓□┘ ∧=∧  <  祖国統一!金正日将軍まんせー!!
                 _┗ __(゚Д゚ )__\__________________
   ____        / ̄ ̄ > 7 /   /==|=== ̄||
  〇 )))) )) ̄ ̄ ̄ ̄ ) ̄))  // Г/ 〇)./ ▽  |  ⇒⊥______
    ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|回 ̄] (( /_7  " /     | ☆ / \  >   ヽ
            __ >――ゝ __ /____ |__\_ノ__ ノ__ノ
          ∠__ / ̄ ̄ ∠___// ̄ ̄◎ ̄ ̄◎ ̄ ̄ ̄◎ ̄ ̄¬}
           〈==={\ ̄ ̄ 〈==={ (◎)                (◎)/
            ゝ==\\_  ゝ== > ((◎) ((◎) ((◎) ((◎)((◎) /
              ゝ==ヽー ̄ ̄ ゝ==ヽ===========
157 名前:マサヲ 投稿日:2001/05/04(金) 00:36
   /~⌒~⌒⌒~ヽ、
     /          ) 
     (  /~⌒⌒⌒ヽ )
     ( ξ    、  , |ノ
     (6ξ    ヽ ノ |
      ヽ       ・・ )チョパーリのみんな、ヨロシク!
       /\   ー ノ


158 名前:名無し 投稿日:2001/05/04(金) 13:58
  Λ_Λ    / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 <丶`∀´> <  南朝鮮傀儡の人民も
 (    )  │ 地上の楽園に来るニダ!!
 | | |   \__________
 〈_フ__フ

━━━━━━━━━━
━━━━━━━━━━
南          _________
    ∧_∧   /
    (´д`; )<  ドウシヨウ・・・
    (    ) |
     | |  |  \_________
    (__(___)


159 名前:ニダー中将の記念写真 投稿日:2001/05/04(金) 21:04
 ┌──────────────┐
 │朝鮮人民軍創建60周年記念撮影   │
 │──────────────│
 │                     │
  Λ_Λ
 <丶`∀´>
 (    )
 | | |
 〈_フ__フ


160 名前

107 :RAYNE:2001/05/07(月) 18:08
>>わからない問題はここに書いてね6の650
分解したりしてみましたがどうもしっくりくるのがありません。
こういうのの一般式はどいう表し方をするんですか?

間違えて前のスレッドにも書き込んでしまいました
ごめんなさいm(,,)m

108 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 18:35
>>96
1.
f(x):確率密度

E(X)=lim[a→∞]∫[0,a]xf(x)dx
=lim[a→∞]{[xF(x)][0,a]-∫[0,a]F(x)dx}
=lim[a→∞]{aF(a)-∫[0,a]F(x)dx}
=lim[a→∞]∫[0,a]{F(a)-F(x)}dx
=∫[0,∞]{1-F(x)}dx:(∵F(∞)=1)


2.
F(x):累積度数 P(X<=x)
f(x-1)=僥(x-1):度数分布 P(X=x)
S:総和 P(X=全てのx)
f(0)=F(0)=0

E(X)=lim[a→∞]納x=1,a]xf(x-1)
=lim[a→∞]{[(x-1)F(x-1)][1,a+1]-納x=1,a]F(x-1)}:(∵ ※)
=lim[a→∞]{aF(a)-納x=1,a]F(x-1)}
=lim[a→∞]納x=1,a]{F(a)-F(x-1)}
=納x=1,∞]{S-F(x-1)}
=納x=1,∞]P(X≧x)


納x=m,n]{f(x)G(x)}=[F(x)G(x-1)][m,n+1]-納x=m,n]{F(x)g(x-1)}
f(x)=僥(x)=F(x+1)-F(x):前進差分
g(x)=僭(x)


3.
∀t>0:P(|X-μ|>t)≦P(|Y-μ|>t})
であるから、
∀t>0:P((X-μ)^2>t)≦P((Y-μ)^2>t}):(t:=t^2)
問1.2.の結果を利用して両辺をtで和をつくれば
E((X-μ)^2)≦E((Y-μ)^2)
これはもちろん
σ(X)^2≦σ(Y)^2
のことである。

E(X)=E(Y)って必要?
正解希望!

109 :96です:2001/05/07(月) 18:47
 >>100
 >>101
 >>108

   ありがとうございます。
   助かりました。
  

  

110 :ちゅうぼう:2001/05/07(月) 18:48
はじめまして厨房です。いまがつこうでベクトルをやつています。
せんせいは向きと大きさがあるものだとおっしゃっていますが、ベクトルの内積
にいたっては、詳しく説明してくれましぇん。向きと大きさのあるもの同士を掛けるなんてどういう状態なのかわからないです。どなたおしえてくださいませ

111 :赤影:2001/05/07(月) 18:59
 この問題がどうしても
分かりません。略解は存在するのですが、
そこまで、どうやって到達するのか
教えてください。
答え、(1) ψ(t)=a^2/(a^2+t^2)
   (2) ψ(t)=exp(-a|x|)

 次の密度関数をもつ確立分布の特性関数を求めよ。

 (1) f(x)=a/2exp(-a|x|)

 (2) f(x)=a{π(a^2+x^2)}^-1

112 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 19:30
ゲーム理論です。序説ででてきたんですが、お願いします。
三山崩しでn個の石の山のエネルギーはnであることを証明せよ。

113 :NKA:2001/05/07(月) 22:35
(x1 + x2 + … + xn)/n ≧ (x1 * x2 * … * xn)^(1/n)

上の式より、「相加平均≧相乗平均」となることを
2通り証明せよ、という問題なんですが、
1通りもできません…。どなたかご教授お願いします。

数学的帰納法かな?と思ってやってみたのですが
途中で詰まって挫折してしまいました…。

114 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 22:39
>>113
悪いけど問題を正確に書いてくれる?

115 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 22:49
>>107
ちゃんと計算してみたの?
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(A∩C)+n(A∩B∩C)

n(AUBUCUD)=n(A)+n(B)+n(CUD)−n(A∩B)−n(B∩(CUD))−n(A∩(CUD))+n(A∩B∩(CUD))
= n(A)+n(B)+{n(C)+n(D)−n(C∩D)}−n(A∩B)−{n(B∩C)+n(B∩D)}
−{n(A∩C)+n(A∩D)}+{n(A∩B∩C)+n(A∩B∩D)−n(A∩B∩C∩D)}

こうしてみるとそれぞれ、n(A)、n(A∩B)、n(A∩B∩C)の符号は3個の集合の和の時と一緒だし
例えばn(A∩B)、n(B∩C)、n(B∩D)、n(A∩C)、n(A∩D)はA、B、C、Dの4つの中から
2つ選んだ組み合わせ全部になっててその符号は全て一緒だからさ予想はつくんじゃない?

116 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 22:50
>>113
>上の式より、「相加平均≧相乗平均」となることを

その式が「相加平均≧相乗平均」そのもの□

117 :NKA:2001/05/07(月) 22:54
>>114
すみません。
左辺はx1(1は添字)からxnまでのn個の項の和をnで割った
普通の平均値で、
右辺はx1とx2と…とxnのn個の項の積のn乗根です。
で、問題はこの不等式を二通りの方法で証明せよ、というものです。
自分にはお手上げですので、よろしくお願いします…。


118 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 22:54
>>80
答は「(0,1/4)を中心とする半径1/4の円(原点のぞく)」

方針としては、
 A、Bのx座標をa,bとすると直線ABの方程式は
y=2(a+b)x-2ab ・・・(i)
となる。この(i)と垂直で原点を通る直線の方程式は
  x+2(a+b)y=0 ・・・(ii)
なので、題意の「垂線の足」とはこれら(i)と(ii)の交点である。

 ∠AOBが直角になるための条件が「4ab+1=0」であることに注意して
 (i)(ii)の交点を調べよ。

119 :NKA:2001/05/07(月) 22:58
>>116
書き方が下手だったようで申し訳無いです。
>117にも書いた通り、その不等式を証明せよ、という問題です…。
手間をかけてすみません。

120 :くろこ:2001/05/07(月) 23:41
次の数列の初項からn項までの和を求めてください。
お願いします。
1/5, 9/5, 9/13, 13/17, ・・・


121 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 23:41
問題
∫[-∞,∞]x*{1/√(2π)}*exp(-x^2/2)dx=0
∫[-∞,∞](x^2)*{1/√(2π)}*exp(-x^2/2)dx=1
になることをそれぞれ証明せよ。

どなたか教えてください。

122 :132人目の素数さん:2001/05/07(月) 23:54
対称正定値行Aについての連立方程式Ax=bの解が

(x、Ax)/2−(x、b)を最小にする

これがなぜなのか説明お願いします。
これを元にいろいろな事書いてあるんですが、
なかなかこれそのものについての説明はないもので。

123 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 00:20
>>122
A の逆行列を A' と書くことにすると、

与式=(x-A'b/2,A(x-A'b/2))-1/4*(A'b,b)

と平方完成みたいなことができるから。

124 :名無信者さん:2001/05/08(火) 00:33
>>123
サンクス!
やっぱ基本がないと駄目ですなあ。

125 :123:2001/05/08(火) 00:49
訂正。
与式=1/2*(x-A'b,A(x-A'b))-1/2*(A'b,b)

>>124 安易に人を信じないように!

126 :101:2001/05/08(火) 04:29
>>108
1.の解答で
lim[a→∞]∫[0,a]{F(a)-F(x)}dx
=∫[0,∞]{1-F(x)}dx:(∵F(∞)=1)
としているが、無条件には
lim[a→∞]∫[0,a] u(x,a) dx
=∫[0,∞] U(x) dx       ただし U(x) = lim[a→∞] u(x,a)
は成立しない。だから>>101に書いたような論証が必要。
2.の解答にも全く同じ誤りがある。
>>109=96 あなたは高校生ですか?高校生ならこの程度の
曖昧さは許されると思いますが、大学ではこういう厳密なところまで
考えなければなりません。覚悟しておいてください。



127 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 04:41
やっぱわかりまへん


問1
「複素数体C上の3変数有理関数体C(X_1,X_2X_3)に
3次交代群A_3が変数の添数の置換
        X_i→X_σ(i)
で作用しているとする。有理関数体C(X_1,X_2X_3)のA_3の作用に
ついての不変元の全体C(X_1,X_2X_3)^(A_3)はC上3個の元で生成されることを示せ。」

問2
「離散付値環Rとその素元tについて
R[X]/{(X^n -t)R[X]}は離散付値環になることを示せ」



128 :NKA:2001/05/08(火) 06:55
113ですが、n=2^mのときに成り立つことをまず証明する、という方法で
なんとか一通りは導くことができました。
あとの一通りについてはあきらめます…。
解いてくれた方、もしいらっしゃいましたらありがとうございました。

129 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 08:09
xは整数、yは素数とします。
z=√(1155y/x)として、zが素数になるようにします。
zの最小値は?

130 :もりた:2001/05/08(火) 08:38
第1問 nを2以上の自然数とする。
(n+1)個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、k=1,2,
・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相乗平均の差の(n+1)倍が
a1からanまでの相加平均と相乗平均の差のn倍よりも小さ
くないとつねにいえるかどうか。

第2問 赤、青、黄、緑、白の5色の玉が無数にある。
これらの玉を用いて左から一列にn個並べるとき、
左端と同じ色が左端も含め偶数回現れる並べ方は
何通りあるか。

第3問 数列anを an=n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。

第4問 0=<x=<1のとき
(1+x^2+・・・+x^2n)/(n+1) >=(x+x^3+・・・+x^2n-1)/n
を証明せよ.ただし、nは自然数。(x^kはxのk乗。)

第5問 a[1]=1、a[n+1]=√(a[n]+2)(n=1,2,・・・)
によって与えられる数列{a[n]}の極限値を求めよ。

第6問
(1)整式f(x)を整式g(x)で割った余りをh(x)とするとき
f(x),g(x)が互いに素であることと g(x),h(x)が互いに
素 は同値であることを証明せよ。
(2)整式f(x),g(x)が互いにそのとき適当な整式p(x),q(x)
があり p(x)*f(x)+q(x)*g(x)=1 が恒等的に成り立つこ
とを証明せよ。

131 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 09:06
>>130
少しくらい自分で考えろ
っていうか教科書見れ

132 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 10:04
>>128
http://diver.miffy.to/freebbs/mkres5.cgi?aoki
をみなされ。

133 :RAYNE:2001/05/08(火) 16:00
>>115
そこまでは私も一応導いたのですが、文字が増えたときの
表し方が何を使うのか分からないんです。どんどん足していくのなら
Σとか使ってあらわすんですか?高校でこういうものの証明とか表し方
をほとんどしてなかったので・・・

134 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 16:57
>>133
http://www.junko-k.com/collo/collo112.htm
をみなされ

135 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 17:45
以下の分を述語論理式で書き表せ.述語記号は適宜定義せよ.
(1)P(x)を真とするxが高々一つ存在する.
(2)nを3以上の整数とする時,x^n+y^n=z^nを満足する正の整数x,y,zは存在しない.
(3)a,b,cを任意の整数,n,mを任意の正整数とするとき,ax^n+bx^m+c=0を満足する実数xが3個以上あ
  ることはない.

136 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 17:46
お願いします。
「9の倍数の各桁を足すと、9の倍数になる」
たとえば、954は9の倍数で、さらに9+5+4=18で9の倍数になる。
これはどうすれば証明できますか。教えてください。

137 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 18:06
>>136
(10^n)-1が常に9の倍数である事を利用。
3桁の数の場合
a,b,cを一桁の自然数とすると
100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)
n桁の数の場合は
a1,a2,a3,...,anを一桁の自然数とすると(以下略

138 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 18:17
10本のくじがあり
そのうち3本があたりくじとする
A君,B君、C君がこの準にくじを引く
(引いたくじは戻さない)とき
それぞれがあたりを引く確率を求めよ

この問題の詳しい解説お願いします
答えはみんな3/10です


139 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 18:40
>>127 (=sakura6_901?)
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985594205&st=901&to=902&nofirst=true
↑質問するときに「これやって見られ」はないと思う

140 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 21:14
>>138
A・・・3/10
B・・・9本のくじのうち当たりが(2本の場合)+(3本の場合)
C・・・8本のくじのうち当たりが(1本の場合)+(2本の場合)+(3本の場合)

141 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 22:07
√5が無理数であることを示せ

という問題でn/m(n.mは互いに素)と設定するところなのですが
これはより一般性をもたせると互いに素という条件をはずしてもいいのではないでしょうか?
先生は有理数の定義が既約分数で表せれることなので絶対駄目といわれたのですが・・

142 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 22:13
南に100km
東に100km
北へ100km進むと最初の場所に戻ってるような場所は何処か?
答えは北極点とそれ以外にもあるらしいけど誰か教えてください。
一応数学の時間にこの問題出されたので・・・

143 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 22:33
>>142
南極点の近く、100キロ+α北のところ

南に100キロ進み南極点の周りをぐるぐる何周も周り100キロ進んで
元の地点に戻るような距離αを取ればよい

144 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 22:35
>>137
136です。
ありがとうございました。これでゆっくり寝られます。

145 :NKA:2001/05/08(火) 22:55
>>132
ありがとうございました。
見事に2通りの解答が載ってますね…

146 :でじこ@数学板:2001/05/08(火) 22:57
>>141
「絶対駄目」なんて大ウソにょ。m、n は互いに素でなくてもちっとも構わないにょ。
ただ、それで話を進めてもどうせ互いに素な m'、n' の場合に帰着されるので、
二度手間だから最初から m、n が互いに素だとしておくんだにょ。

147 :132人目の素数さん:2001/05/08(火) 23:42
>>146
互いに素でなくても因数に5が含まれてるかどうか見てりゃ十分

148 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 01:14
>>111
ψ(t)=∫[-∞,∞]f(x)exp(ixt)dx を計算するだけでしょ。
(1)の計算は簡単。(2)は留数定理を使う。
何がわからないの?

149 :142:2001/05/09(水) 01:57
>>143
ありがとうございました。
でも、これって南極点から北に100キロ+αってことでしょうか?
理解悪くてすいません。


150 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 02:22
自然数X(2進表現)が3の倍数かどうかを判定する
チューリングマシンを定義せよ。
計算機科学の課題なのですが…どなたかご教授願います。

151 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 02:34
>>149
そう

1周して100キロのところもあれば
2周して100キロのところもあるし
3周して…
と沢山あるけどな

152 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 02:44
γ ====  ヽ
  |_|||_||_||_| | ||   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
   ||ー. ー |) || < あらまぁ、このスレこんなに続いてましたのね。さくらちゃんファイトですわ。
  .|ハ ワ ~ノ|  ||  \____________________
  |( 「) ̄ |  ||


153 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 02:45
γ∞γ~  \
 人w/ 从从) )   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  ヽ | |┬ イ |〃 < さくら、今日はイライラしてるの。
  `wハ~ . ノ)   \__________________
   / \`「


154 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 03:01
>>153
生理?

155 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 04:56
γ∞γ~  \
 人w/ 从从) )   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  ヽ | |┬ イ |〃 < ブルーのラインが出たの。
  `wハ~ . ノ)   \__________________
   / \`「


156 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 11:18
ブルーのラインって何?

157 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 11:59
>>131
まあまあ。
>>130
とりあえず
問1
みにくいので添え字は[]にします。
a=a[1]×a[2]×...×a[n], x=a[n+1]
とおいておくと
 (a[1]〜a[n+1]の相加平均-a[1]〜a[n+1]の相乗平均)*(n+1)
 -(a[1]〜a[n]の相加平均-a[1]〜a[n]の相乗平均)*(n)
 =x-(n+1)a^{1/(n+1)}x^{1/(n+1)}+na^{1/n}
である。最後の項をf(x)とおくと
 f'(x)=1-a^{1/(n+1)}x^{-n/(n+1)}
なので増減表をかいて x=a^{1/n} のとき最小でそのとき
 f(a^{1/n})=0
よりf(x)≧0。

問2
赤が先頭のものの数をかぞえてあとで5倍すればよい。
すると問題は
 赤、青、黄、緑、白の5色の玉が無数にある。
 これらの玉を用いて左から一列にn-1個並べるとき、
 赤色が偶数回現れる並べ方は
 何通りあるか。
赤色がk個のならべかたをa[k]とする。a[k]は
 a[k]=C(n-1,k)4^{n-1-k}
ここで C(n,k) は2項係数である。するともとめるのは
 Y=納k;奇数]a[k]
そこで
 X=納k;偶数]a[k]
とおいておくと
 X+E=納0≦k≦n-1]C(n-1,k)4^{n-1-k}=5^{n-1}
 X-E=納0≦k≦n-1]C(n-1,k)4^{n-1-k}(-1)^k=3^{n-1}
ここからYをもとめればよい。(以下略)

問3
 a[n]
 =lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
 =lim[n→∞][n∫[0,1]e・x^ndx - n∫[0,1]x^n・{e - e^(x^2)}dx]
 =e - lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx
なので最終項をもとめる。
f(x)=e(1-x)とおく。f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は左辺ー右辺の2回微分まで
もとめて増減表をかけばわかる。e-e^{x^2}≧0(0≦x≦1)はあきらか。いっぽう
 lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・f(x)dx
 =lim[n→∞]n∫[0,1](x^n-x^{n+1})dx
 =lim[n→∞]n[x^{n+1}/(n+1)-x^{n+2}/(n+2)]^1_0
 =lim[n→∞]n/(n+1)(n+2)
 =0
なので
 0≦lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx≦lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・f(x)dx=0
よりlim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx=0。∴lim[n→∞]a[n]=e

問4
 左辺ー右辺=1/(1-x^2){-x^{2n+2}/(n+1)-x/n + x^{2n+1}/n + 1/(n+1)}
かつ1-x^2≧0 (0≦x≦1)なので f(x)=-x^{2n+2}/(n+1)-x/n + x^{2n+1}/n + 1/(n+1) が正または0であることをしめせばよい。
 f'(x)=-2x^{2n+1}-1/n+(2n+1)x^{2n}/n, f'(1)=0
 f''(x)=(4n+2)x^{2n-1}(1-x^2)
から増減表をかけばよい。以下略。

問5
別スレでだれかが答えてたので略

問6
(1)
 f(x)=g(x)q(x)+h(x)
とおける。d(x)がf(x)とg(x)の公約数とすると
 h(x)=g(x)q(x)-f(x)
はd(x)の倍数なのでd(x)はh(x)の約数である。よってg(x)とh(x)の公約数でもある。
d(x)がh(x)とg(x)の公約数とすると
 f(x)=g(x)q(x)+h(x)
はd(x)の倍数なのでd(x)はf(x)の約数である。よってg(x)とf(x)の公約数でもある。
よって
 {f(x)とg(x)の約数}={h(x)とg(x)の約数}
なので
 h(x)とg(x)がたがいに素
 ⇔左辺に定数しかない
 ⇔右辺に定数しかない
 ⇔h(x)とg(x)がたがいに素

(2)
f(x)の次数lとg(x)の次数mのちいさい方nに対する帰納法。
(I)n=0のときはあきらか。
(II)n<kで成立するとしてn=kのときをかんがえる。n=mとして(mのほうがちいさい
として)一般性をうしなわない。
f(x)をg(x)でわってえられる剰余の式
 f(x)=e(x)g(x)+h(x)
をとる。このとき(1)よりh(x)とg(x)もたがいに素でかつh(x)の次数<g(x)の次数=m=n=k
だから((h(x)の次数とg(x)の次数のちいさい方))=((h(x)の次数))<kなので
帰納法の仮定より
 1=p'(x)g(x)+q'(x)h(x)
なる整式p'(x),q'(x)がとれる。これにh(x)=f(x)-e(x)g(x)を代入して
 1=q'(x)f(x)+(p'(x)-q'(x)e(x))g(x)
なのでp(x)=q'(x),q(x)=p'(x)-q'(x)e(x)ととればよい。

158 :RAYNE:2001/05/09(水) 13:23
>>134
どうもありがとうございましたm(。。)m



159 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 15:18
代数的数はなぜ加算なのでしょうか?
当たり前と思っていたら、突っ込まれて困ってしまっています。
証明方法を教えてください。お願いします。

160 :RAYNE:2001/05/09(水) 15:31
>>134
134で紹介してもらったページにいきました
証明しようとおもったのですが、帰納法でやるとうまくいきません
どういう風にやればいいのですか?

161 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 15:44
>>159
整数係数多項式の係数を0次から並べてやれば
(a,b,c,…,0,0,0…)⇔a+bx+cx^2+…
という対応ができる
有限次以上の係数は0
例えば十分大きなm次元(有限次元)まで考えてやっても各点の上にある解は
たかだかm個。

(a,b,c,…,0,0,0…)なる格子点は加算個で、それぞれの上に有限個の解しか乗ってないから
代数的数は加算個

162 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 15:44
>>160
どううまくいかなかったのか書いてください

163 :RAYNE:2001/05/09(水) 15:52
n=kの時成り立つと仮定して
n=k+1のときk+1を代入して展開しても成り立たないし
n=kから式を変形させようとしたのですが・・・
多分やりかたが悪いだけなんでしょうが(@@;)

164 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 16:00
>>163
>n=k+1のときk+1を代入して展開しても成り立たないし

どう展開したのか書いてくれ

165 :RAYNE:2001/05/09(水) 16:09
>>164
とりあえずΣをはずしてみようとしたのですが
二つ目のΣの上に何も書いてないのでどこまで
足して良いのか分かりません


166 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 16:33
>>165
要は展開はしてないわけね…

2個目のΣは下の条件のものを全て足せって意味だから
集合Iの要素の個数がkである全てという意味だよ
k個の集合の組ごとにまとめてあるだけ
4個の時の証明と全く同じにできるはず

167 :RAYNE:2001/05/09(水) 16:44
>>166
なるほど、なるほどそういう意味だったんですね
たしかに厳密には展開してないかもしれません(^^;
ばらそうとしているときに「どこまでたすねん!」ってつっこみた
くなりましたよ(^^)
どうもありがとうございました


168 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 21:15
初歩的な質問なんですが、
「○○するとき、かつその時に限り」
の「その」というのは何をさすことになるのでしょうか?
○○するとき、だけだとまずい事があるのでしょうか?
どうにも良く分からない文書です。


169 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 21:27
>>168

たとえば、
「彼は通学するときバイクに乗る」
という主張と
「彼は通学するときかつそのときに限りバイクに乗る」
という主張は意味がちがうでしょ。

前者だと、通学するとき以外にもバイクにのる機会があるかもしれぬが、
後者の場合は、バイクに乗るのは通学のときだけだといってるわけだ。

170 :132人目の素数さん:2001/05/09(水) 23:55
質問なんですが
折り紙(正方形の紙)を用意します
正方形の紙の中に、3辺が最大となる正三角形を作ります
作るというよりは折り込んで折り紙に正三角形の型をつけます
正三角形の頂点は、必ず正方形の4辺のどこかにあります
どのようにすれば正三角形ができるかご教授ください
お願いします

171 :159:2001/05/10(木) 01:03
>>161
>(a,b,c,…,0,0,0…)なる格子点は加算個で、それぞれの上に有限個の解しか乗って
>ないから

格子点っていうのは、横軸に次数、縦軸に各多項式をとったような感じでしょうか?
(↑なんか伝わりにくいかも・・・↑)


172 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 01:12
>>170
折り方を文章で伝えるのは難しい・・・

一辺が1の正方形ABCDから取れる最大の正三角形は三角形DEFなど
(E、FはAB、BCを(2-√3):(√3-1)に内分する点)

E、Fの取り方は・・・以下次号

173 :172:2001/05/10(木) 01:37
一辺が1の正方形ABCD
(1)
辺ADが辺BCに重なるように折り目をつける
(ABの中点をM、DCの中点をNとしてMNに折る)

(2)
BC上の点FとAを結んだ線で折る。このとき
Bのかどが(1)で作った折り目の上に来るようにする。
# Bが移った点をB’とすると
# △ABB’は正三角形になり、BF=(√3)/2

(3)
B’を通ってCDに平行に折り、
折った後のC、Dの位置をC’、D’として
C’D’に沿って折る。
# CF=1-(√3)/2
# CC’=2-√3
# CC’/CD=2-√3=tan15°
# CDC’=15°

(4)
BDとC’D’の交点を通ってADに平行な折り目をつける。
この折り目とABの交点をA’とする。
# AA’=2-√3

(5)
△DA’C’が正三角形になる。
#DA’=DC’=A’C’=√6-√2

>>172
>E、Fの取り方は・・・以下次号

A’とC’に訂正。て優香わかりづらくてスマソ

174 :訂正:2001/05/10(木) 01:41
>>172
>(E、FはAB、BCを(2-√3):(√3-1)に内分する点)

誤 AB、BCを
正 AB、CBを

175 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 01:59
>>171
m次までの多項式しか考えてなければm次元空間の格子点

176 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 02:00
>>175
×m次元空間の格子点
○(m+1)次元空間の格子点

177 :172:2001/05/10(木) 02:00
そのものズバリな画像は見つかりませんでした。
http://www.origami.gr.jp/People/CAGE_/divide/div15.gif

>(2)
>BC上の点FとAを結んだ線で折る。このとき
>Bのかどが(1)で作った折り目の上に来るようにする。

白丸がBとB’、点線がAFだと思ってください。

178 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 03:52
すみません。ほんとうに基本的な問題かもしれないんで悪いんですけど
x^2+y^2=k∈Nの自然数解って最大で何個あるんですか?
そもそもどうやって証明するんでしょうか?(ああ数学ってむずかしい)
ちなみに自分では2個までしかみつけられませんでした。
だけど証明できなきゃ全然信用できないじゃありませんか。ムキーッ。
どなたかこのいらいらを解決してくれませんか?おねがいします。おねがいします。

179 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 04:29
>>178
最大値を決められない、つまりいくらでも作れるはず。

例えばx^2+y^2=z^2の自然数解は無数にあるので、

a^2+b^2=c^2 ⇔ (arz)^2+(brz)^2=(crz)^2
p^2+q^2=r^2 ⇔ (cpz)^2+(cqz)^2=(crz)^2
x^2+y^2=z^2 ⇔ (crx)^2+(cry)^2=(crz)^2

式を3つ用意すれば3つの解を得られるので
いくらでもできるというわけです。

180 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 04:47
【問】
x^n(nは4以上の整数)を(x-1)^4で割ったときの余りをR(x)とするとき、
R(2)を求めよ。

いきなりx=2を代入して2^nを1で割った余り、つまり0じゃだめですか?

181 :179:2001/05/10(木) 04:54
x(n),y(n),z(n)∈N
x(n)<y(n)
u(n)=x(n)/y(n)
{x(n)}^2+{y(n)}^2={z(n)^2},(n=1,2,3,・・・,n)

i≠j ⇒ u(i)≠u(j) なら
k=Π{z(n)^2}=z(1)*z(2)*・・・*z(n)とすれば
x^2+y^2=kの自然数解はn個以上

異なるu(n)は無限に作れるので
x^2+y^2=kの自然数解の最大値は存在しない。

用語の誤用は許して。

182 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 10:03
>>180
だめです。たとえば n=3 のとき

 代入してから割り算したあまり=0
 あまり=x^3にx=2を代入=8

と違ってます。ちゃんと割り算してから代入しましょう。
やりかたはいろいろありますが、受験数学の範囲ないなら
変数変換してしまうのが楽でしょう。
x-1→yと変換してしまうと、x=2→y=1、x^n→(y+1)^n、(x-1)^4→y^4
つまり
 “(y+1)^nをy^4でわった余りにy=1を代入せよ。”
にしてしまうと随分らくです。

183 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 10:10
微積の問題なんですけど、この2問教えてください。

1問目:1変数関数に対する平均値の定理をg(t)=f(x+tv)に用いることにより次を示せ。

x∈D、v∈R^nを一組固定する。
0≦t≦1なる全てのt∈Rに対してx+tv∈Dかつf'(x+tv;v)が存在すると仮定する。
このとき
∃θ(0<θ<1) s.t f(x+v)-f(x)=f'(x+θv;v)

2問目:f'(x;v)が存在するとき、∀λ∈Rに対してf'(x;λv)が存在してf'(x;λv)=λf'(x;v)となることを示せ。

誰か教えてください。お願いします。

184 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 12:19
>>183
2変数以上の多変量の関数の“微分”を考えるときは極力f'のような
書き方はやめましょう。なにで微分してるかさっぱりわかりません。

ex. f=x^2y のとき df/dx=2xy, df/dy=x^2 f'はどちら?

あと問題の写し方が正確でないのでよく意味がわからないとこが
あります。問1はこうゆう意味ですか?
(問1)
 2変数関数 f(x,v) をとる。(x の定義域はD,vの方は R^n?)
 x,v を0≦t≦1なる全てのt∈Rに対してx+tv∈D
 であるようにとり、かつd/dt f(x+tv,v) が存在するとかていする。
 このとき

 ∃θ(0<θ<1) s.t f(x+v)-f(x)=d/dt f(x+tv;v)_{t=θ}

 をしめせ。

かな?だったら g(t)=f(x+tv,v) とおいておけば平均値の定理より

 g(1)-g(0)=g'(θ)(1-0)

となる0<θ<1がとれるでしょ。
問2はそもそもそんなこと成り立ちません。問題を写し間違ってるか
なんかです。ただしい問題も推定できないので正しく問題を写して
ください。

185 :183:2001/05/10(木) 12:22
>>183
ひとにえらそうな事いっといて自分もまちがってるよ。
df/dx,df/dyは∂f/∂x,∂f/∂yなどと書くべきだね。

186 :185:2001/05/10(木) 12:34
>>183-185
うわ〜。えらい間違い。>>183さんの名誉のために修正。
>>185>>183です。ただしくは>>184=>>185=私、です。
>>185>>184の間違いを訂正するための自己レス。
>>183さんが>>184を受けて>>185のように毒づいたわけではありません。

187 :「相加平均≧相乗平均」の証明:2001/05/10(木) 17:05
>>113, >>117, >>119, >>128, >>145
技巧的なこと考えなくても安直に差をとって微分すればいいです.

f(t):=(x(1)+...+x(n-1)+t)/n - (x(1)...x(n-1)t)^(1/n)
とおく.t=(x(1)...x(n-1))^(1/(n-1)) のとき f は最小値
((n-1)/n){(x(1)+...+x(n-1))/(n-1) - (x(1)...x(n-1))^(1/(n-1))}
をとる.(t で微分すればわかる.)

これと帰納法により問題の不等式が得られます.

188 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 17:13
>>187
名前欄はそうやって使うのか!

189 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 17:43
>>188
今知ったのか?
あれはハンドル兼レスタイトル用なのだよ。

190 :受験生@数学超初心者:2001/05/10(木) 17:48
これ教えてください。
2/3*3^x=2*3^-x
で、Xの値を求めるって問題です。式とか省略なしでおねがいします。


191 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 18:14
>>190
>2/3*3^x=2*3^-x
まず両辺から2を約せ。
すると全て3の何乗かになってるだろ。
両辺の指数比べりゃいいだろ。

>式とか省略なしでおねがいします。
だめ。ちょっとは考えろよ。
初心者だから何でも有りってのは傲慢すぎねぇか?


192 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 18:20
初心者だから何でも有りってのは肛門すぎねぇか?

193 :183:2001/05/10(木) 18:21
>184さん
問題の書き方悪くてごめんなさい。確かに、微分わかんないですね。

問題を解く前に定義が与えられていました。
定義:fをR^nの開部分集合Dで定義された関数f:D→Rとする。x∈D、v∈R^nを一組固定し、さらに正の実数rを次を満たすようにとる。
0≦|t|<r(t∈R)⇒x+tv∈D。Rの開区間(‐r、r)で定義された1変数関数、g(t)=f(x+tv)のt=0における微分係数 g'(0)=lim(g(h)-g(0))/h{h→0}が存在するとき、fはD内の点xにおいてv方向に微分可能であるという。g'(0)をfのxにおけるv方向の微分係数とよび、f'(x;v)で表すことにする。(i.e. f’(x;v)=lim(f(x+hv)-f(x))

周知のことだったら、ごめんなさい。
1問目は、184さんの訂正通りで宜しいのだとおもわれます。
2問目は、問題文通り書きました。これは、学校の先生のオリジナル問題なので間違っているのかもしれません。先生に聞いてみたいと思います。出来れば成立しない理由を教えてください。
宜しくお願いいたします。


194 :「相加平均≧相乗平均」の証明:2001/05/10(木) 18:30
別証:次の補題を示せばいい.

[補題]x(1),...,x(n) は正の数で x(1)+...+x(n)=n
ならば x(1)...x(n)≦1 である.

[証明]n に関する帰納法で証明する.
x(1),...,x(n) は正の数で x(1)+...+x(n)=n
だとする.x(1)=...=x(n) (=1) の場合は主張は自明.
そうでない場合は x(i)<1<x(j) なる i,j がある.
そこでたとえば x(1)<1<x(n) だとする.このとき
n-1 個の数 x(1)+x(n)-1,x(2),...,x(n-1) は全て正で
(x(1)+x(n)-1)+x(2)+...+x(n-1)=n-1 だから帰納法の仮定より
(x(1)+x(n)-1)x(2)...x(n-1)≦1
が成り立つ.これと不等式
x(1)x(n)-(x(1)+x(n)-1)=(x(1)-1)(x(n)-1)<0
より
x(1)...x(n)<(x(1)+x(n)-1)x(2)...x(n-1)≦1
を得る.[証明終]

195 :受験者@数学超初心者:2001/05/10(木) 18:31
>>191 ありがとうございます。ちょっとその方向で考えてみます。
今年から数学始めたもんでさっぱりわからんのです。できれば勉強の方法
とか教えてもらえるとありがたいです。

196 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 18:51
>受験者@数学超初心者

@の使い方わかってるか?

197 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 18:59
>>196 堅いこと言うなよ

198 :数学超初心者@受験生:2001/05/10(木) 19:04
改名してみました。それにしても>>190 わかりません。
一応両辺を2で約してみたら
1/3*3^x=3^-x
となったんですがその先がどうにも計算できないんです。

199 :名無しさん:2001/05/10(木) 19:18
>>198
1/3=3^-1
であることに注意せよ。すると
3^(x-1)=3^-x
指数を比べて
x-1=-x
答えはx=1/2だな。

200 :191:2001/05/10(木) 19:19
>>198
1/3=3^(-1)
だろ?
じゃぁ1/3*3^x=3^(x-1)
じゃねぇか。指数法則もうちょっと勉強しな。

なんだかんだ言いながら優しすぎるか? ヲレ。

201 :数学超初心者@受験生:2001/05/10(木) 19:20
>>199 そういうことだったんですね。わかりました。簡単な問題(らしいです)
のにきちんとレスくれてありがとうございます。
どうやったら数学ドキュソから開放されるんでしょうか?

202 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 19:40
>>201
>どうやったら数学ドキュソから開放されるんでしょうか?

ここに書き込む暇があったら勉強すれば?

203 :127人目の素数さん:2001/05/10(木) 20:03
なしておまえらわしの問題解かんのじゃ
あんぽんたんばかりよのーう(ワライ

204 :132人目の素数さん:2001/05/10(木) 20:27
よろしく頼みます.

  a,m,n:正の整数 m<n とすると,
  GCD(a^(2^m)+1,a^(2^n)+1)=1(a偶数)
                2(a奇数)
  となることを示せ.

205 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 00:09
>>204
b=a^(2^m)+1 とおく。
a^(2^n)+1=(b-1)^(2^(n-m))+1≡(-1)^(2^(n-m))+1≡2 (mod b)

∴GCD(a^(2^m)+1,a^(2^n)+1)=GCD(a^(2^m)+1,2)

206 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 00:33
>>179,181 回答ありがとうございます。申し訳ありません。数学とはある意味で論理学と同じく
そこに書いてあることがすべてであり、「意を汲んで欲しい」とか「書いていないけど
わかってよ」っていうことは一切期待してはいけない学問であることを思い出しました。
(もう十年以上も純粋な数学からははなれているものですから)
ご丁寧にご回答いただいた内容はよくわかりました。反例をひとつあげればすむ証明では
ありませんから、厳密に示すだけで結構手間隙をかけさせてしまって申し訳ありませんが、
残念ながらこれは私が知りたかったこととは違います。

私のできる範囲でもういちど問題を書いてみます。(今度こそ正しいことを祈ります)
おそらく代数幾何の初歩の初歩にあたる問題だと思うのですが、おわかりになるかた
ご回答よろしくお願いします。

「N.O.E.(A):A(集合)→n∈N,nは集合Aの要素の個数
とします。Nは自然数の集合。いま自然数kをパラメータとする集合A(k)を
A(k)={(x,y)|x^2+y^2=k∩x∈N∩y∈N}と定義するとき、
max[N.O.E.(A(k))]を求めよ。」
という問題です。もうすこしひらたく言えば(私にもわかりやすい言葉でいえば)
「ある自然数kに対し、x^2+y^2=kを満たす二個の自然数の組(x、y)の
最大数を求めよ。」という問題でした。x≠yなら(x,y)を反転した(y,x)
が必ず解になっていますから、最大数は2以上です。
問題を間違えたこと、重ねてお詫びします。

207 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 01:25
>>206
179 ので解答になっているんじゃないの? どうして駄目なのかおせーて。

ちなみに、k=5^n (n=1,2,3,…) とおくと、(x,y) の個数は、

k=5,25→2個
k=125,625→3個
k=3125,15625→4個
k=78125,390625→5個

という具合に規則的に増えていくことが知られている。
このことからも「最大数はない」でいいはず。
それとも俺も題意を取り違えているの?

208 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 01:41
>>207 なるほど、こんどこそわかりました。
確かにおっしゃるとおりでした。ごめんなさい。
回答をしっかり読めていなかったようです。
ついでに質問させてください。
N.O.E.(A(k))をkの関数として表すことは可能ですか?

209 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 01:54
>>207 教えていただく一方で申し訳ありませんが、
もうひとつついでに教えていただけませんか?
kが小さいときはN.O.E.(A(k))=2となるkがほとんどですが、
いちばん最初に3になるkはいくつですか?わかる方法はありますか?

210 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 02:37
>>208
x,y を整数とすると、次の定理が成立。

(1) k の約数のうち、4 で割って 1 余るものの個数を A 個、
4 で割って 3 余るものの個数を B 個とすると、解の個数は
4*(A-B) 個である。

(2) k を素因数分解する。4 で割って 1 余る素数を p1,p2,p3,…、
4 で割って 3 余る素数を q1,q2,q3,… とし、
k=2^α・p1^a・p2^b・p3^c・…・q1^r・q2^s・q3^t・…
と表すとき、解の個数は、4(a+1)(b+1)(c+1)… である(つまり、
4 で割って 1 余る素数しか関係していない)。

この2つが同じ個数になるということ自体、示すのが面倒かな?

x,y が自然数の場合。

(A) k が平方数でないなら、上の数え方は、(±x,±y) という具合に、
4倍に数えているので、上記の個数を4で割ればよい。

(B) k が平方数なら、(±x,0), (0,±y) という解が4つあるので、
{(上記の数)-4}/4 が解の個数。

(2),(A),(B)から少し考えれば、k=5^3 が解 3 個となる最小数。

なお、>>207 の表は間違えていた。次が正しい。
k=5,25→2個
k=125,625→4個
k=3125,15625→6個
k=78125,390625→8個

211 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 02:44
ぎゃ。k=5^3 は解 3 個じゃないんだった。
3 個になる奴は自分で考えて! 俺、もう寝る。

212 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 03:09
>>209
>x≠yなら(x,y)を反転した(y,x)
>が必ず解になっていますから

だとすれば
k = 50 のとき (x,y) = (1,7) , (5,5) , (7,1) …が最初に3個になる(以下略

(x,y)と(y,x)を区別しないで
解が3つになるkを探したいんだと思いますが…

213 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 08:28
>>205
ありががとうございました.
 たすかりました.

214 :184:2001/05/11(金) 10:42
>>193なるほど。わかりました。

問2の解答(の Hint)
f'(x;v)が存在すると仮定する。つまり
 f'(x;v)=lim[t→0](g(x+tv)-g(x))/t
が存在すると仮定する。λ∈R をとる。このとき
 lim[t→0](g(x+tλv)-g(x))/t
 =λlim[t→0](g(x+(tλ)v)-g(x))/tλ
 ...
以下t→0のときtλ→0に注意しながら適当に変数変換などして
 右辺=λf'(x,v)
を示してください。

なお、f(x;v) がこのような形ならたしかに問2は成立します。
...参考...
f(x;v)をvの関数とみると

 f(x;λv+μw)=λf(x;v)+μf(x;w)...(*)

が成立します。このような関数を“線形関数”といいます。
g が多変数関数のとき“gの微分”を考える際、“どちらの方向に”
微分するか?という問題が発生するので、微分する方向に応じて
“微分”というのが無限に発生します。それら全体を制御して
くれているのが(*)で一般に

 線形関数は基底(とよばれるもの)の値だけで決まる。

といういちじるしい性質がありそれが多変数関数の“微分”を
考える際の Key Point になります。もう面倒なので詳しいことは
先生にきいてください。

215 :「相加平均≧相乗平均」の証明 :2001/05/11(金) 11:05
>>194別証:次の補題を示せばいい.

[補題]x(1),...,x(n) は正の数でx(1)...x(n)=1
ならば x(1)+...+x(n)≧n である.

[証明]n に関する帰納法で証明する.
x(1),...,x(n) は正の数で x(1)...x(n)=1だとする.
x(1)=...=x(n) (=1) の場合は主張は自明.
そうでない場合は x(i)<1<x(j) なる i,j がある.
そこでたとえば x(1)<1<x(n) だとする.このとき
n-1 個の数 x(1)x(n),x(2),...,x(n-1) は全て正で
(x(1)x(n))x(2)...x(n-1)=1 だから帰納法の仮定より
x(1)x(n)+x(2)+...+x(n-1)≧n-1 が成り立つ.
これと不等式
x(1)+x(n)-(x(n)x(1)+1)=(1-x(1))(x(n)-1)>0
より
x(1)+...+x(n)>x(1)x(n)+x(2)+...+x(n-1)+1≧n
を得る.[証明終]



216 :183:2001/05/11(金) 17:10
>214
さんきゅうです。先生に聞いてみます。

217 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 20:56
>>183>>214
わ〜。うそ書いた。>>214の(*)は無条件には成立しない。
どんなとき成立するか?それは先生に聞いとくれ。

218 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 21:38
すいません。
幾何分野について教えてください。


平面上に直線Lがあり、
L上に中心を持ち半径がそれぞれa.bである円、C(1)、C(2)が点Oで外接している
C(1)、C(2)の円周上に
それぞれ動点p.qをLに関して同じ側にとる。
p.qを任意に動かすとき儕OQの面積の最大値を求めよ

よろしくお願い致します


219 :210:2001/05/11(金) 23:08
>>210 に嘘があるので、訂正。
(2) のところで、r,s.t,… はすべて偶数でなくてはならない。
そうでないときは解の個数はゼロ。
だから、4 で割って 3 余る素数も少しは関与する。

220 :132人目の素数さん:2001/05/11(金) 23:15
>>218
この問題結構受験数学では有名っす。
C(1),C(2)の中心をA,Bとする。三角形OABの面積をSであらわす。
まず点Pを固定する。∠POA=θとおいておく。Sが最大となるのは
OPを底辺だと考えて高さが最大となるとき、すなわち点QでのC(2)の接線が
OPと平行となるときでこのとき点QからOPへおろした垂線の足を
Hとするとき、QH=QB+BH=b+b sinθ。またOP=2acosθだから

 S=(b+b sinθ)a cosθ
 =ab(1+sinθ)cosθ

となる。θの範囲は0<θ<π/2。この範囲でSの最大値は
S=ab(cosθ+1/2 sin2θ)から

 S'=ab(-sinθ+2cosθ)
 =(-2sin^2θ-sinθ+1)
 =-(2sinθ-1)(sinθ+1)
...
ここまででどうでしょう。以下sinθ+1≧0からS'の符号は2sinθ-1の符号だけ
しらべればよいのですぐ増減表がかけると思います。
おためしあれ。

221 :218:2001/05/11(金) 23:21
>>220
レスありがとうございます
早速ためしてみたいと思います

222 :名無しさん:2001/05/12(土) 00:03
>>220
>S'=ab(-sinθ+2cosθ)

S'=ab(-sinθ+cos2θ) っすね。

倍角に直さず、積の微分で

(S/ab)’
=(1+sinθ)’ cosθ + (1+sinθ) (cosθ)’
=1-(sinθ)^2 - (1+sinθ)sinθ
=略

でもいいかも。

>この問題結構受験数学では有名っす。

初見でした。面白いっすね。

>>220と同じ一点固定の方針で始めると
P(a(1+cos2x),asin2x)としたとき
Q(-b(1+sinx),bcosx)で最大となるから、
4S^2=(|OP||OQ|)^2-(OP・OQ)^2 ←これが煩雑になってやめ(^_^;

>S=ab(1+sinθ)cosθ

やめて正解。こんなに簡単になるとは。

謎な瞬殺計算
2α=π/2-α ⇔ α=π/6

223 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 01:17
大学の授業に愕然としてる新入生です。
馬鹿な質問で申し訳ないのですが、皆さんの推薦する
数学・物理の参考書・問題集を教えてください。
(数学では:微積・線形代数・微分方程式
 物理では:力学・電磁気学・     )
僕は工学部で、自習してやっと教授の授業が理解できたレベルです。
自力でやらにゃーと思いながらも、図書館ではいい本が
なかなか見つかりません。

よろしくお願いします。

224 :223:2001/05/12(土) 01:25
追加ですが、担当教授のテキストに誤答が多すぎてあてにならないです。
質問に行くと正答を教えてもらえるのですが、最近対応が面倒らしく
「誤答があるほうがいい問題集だ!」
と突っぱねられてしまいました。

ま、大学は研究するために行くとこだから
先生頼るもの限度はあるのだろうけど…
……ちょっと鬱でした。

225 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 01:43
>>223
講義ではどんなテキスト使ってるの?

226 :223:2001/05/12(土) 02:01
>225
数学:
・『初歩から学べる 微積分学』 佐藤・吉田・野澤・宮本著
・『基本演習 線形代数』    野澤・成田著
とくに上は誤答だらけ。……最悪です。

どちらも担当教官の書いた本ばかりです。
ばか高いテキストを生徒に押し付けないで欲しい……。

227 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 02:16
>>226
つまり野澤って先生なんだね?(w

228 :223:2001/05/12(土) 02:23
いや、犯罪級は佐藤です。奴はA級戦犯。
…って、同じ大学のやつが見たらやばいな。

229 :225:2001/05/12(土) 02:30
>>226
すまん、どっちも知らない本だ。
解析はやさしい本なら田島、詳しくやりたいなら杉浦、個人的には小平がオススメ。
書名はどれも「解析入門」。

線型代数は本によって用語の定義のしかたが全然違ってたりするからまずは講義のテキストを我慢してやったほうがいいと思うよ。
余裕があったら松坂「線型代数入門」なんかが解りやすいから読んどくといいかもね。


230 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 02:45
大学1年の数学でこける奴多いからなケケケ…

231 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 02:54
>>223
もし佐藤なら授業はハズレだが単位はくれたはずだ。
残念ながらこないだ退官してしまった。

野澤も佐藤も理学部じゃなくて元教養学部の教授だから
般教の数学は手抜きかもな。それで誰の授業なの?

>>229に同意。工学部なら数学はあまり手をひろげずに
今の教科書を我慢して読まれたし。

232 :223:2001/05/12(土) 02:56
>229
ありがとうございます。
さっそく明日からでかい本屋まわるので、どれがしっくりくるか探索します。

>230
実際みんなどの程度理解してるんだろう…。自分も知りたいです。
(ちなみに友人はみな悲惨な状況)

233 :考える名無しさん:2001/05/12(土) 02:59
>>223
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=kouri&key=987845003

234 :223:2001/05/12(土) 03:13
>231
吉田先生です。熱心で好感もてますが、黒板に授業してます。
線形代数は、先輩の勧めで越谷先生にしました。

理学部数学は工学部数学とかなり違うようで・・・。
確かに、今はテキストをみっちりやるべきかと思います。(もうすぐ終わりそうだけど)
ただ、図書館の『ガウス整数論』よんで妙な啓発を受けたので、
趣味としてちまちまやっていきたいな。(笑)

235 :231:2001/05/12(土) 03:30
>>223
吉田か…。うーん。頑張ってください。
なんだったらわざと吉田の来ない日を調べて
野澤(EかF号館)か宮本(理学部、女)に質問しにいくといいですよ。

236 :223:2001/05/12(土) 04:10
>235=231
ありがとうございます。
そうですねー、さっそく実践します!
これ以上ローカルネタ引っ張るわけにいかないし、今日はこれにて寝ます。
上の助言を参考にしてあしたは本屋探索します。

それにしても2ちゃん広いなー。

237 :こういうのもあるよ:2001/05/12(土) 05:17
http://www.ac-bbs.net/search.html
あんまりヒトいないけど

238 :159:2001/05/12(土) 06:08
>>176
納得。ありがとうございました。

239 :156:2001/05/12(土) 06:10
上のは159さんではありません。間違えです。m(__)m

240 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 12:22
lim{(x,y)→(0,0)}(x^3-1)(y^3-1)の解き方を教えてください。
明らかに一発で(-1)(-1)=1は分かるんですけど、
y=0とした後にx=0、x=0とした後にy=0として2つの極限を求めて、
|(x^3-1)(y^3-1)-1|<・・・
というふうにやるべきなのでしょうか?

241 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 13:05
>>240
わかってんならどっちでもいい…

242 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 15:25
>>220
>平面上に直線Lがあり、
>L上に中心を持ち半径がそれぞれa.bである円、C(1)、C(2)が点Oで外接している
>C(1)、C(2)の円周上に
>それぞれ動点p.qをLに関して同じ側にとる。
>p.qを任意に動かすとき儕OQの面積の最大値を求めよ

>C(1),C(2)の中心をA,Bとする。三角形OABの面積をSであらわす。
儕OQの面積をsとするのでは?

>まず点Pを固定する。∠POA=θとおいておく。Sが最大となるのは
>OPを底辺だと考えて高さが最大となるとき、すなわち点QでのC(2)の接線が
>OPと平行となるときでこのとき点QからOPへおろした垂線の足を
>Hとするとき、QH=QB+BH=b+b sinθ。またOP=2acosθだから

QH=QB+BHにどうしてなる?
BH=bsinΘもよくわからないけど・・
やばい、、俺ドキュソかも



243 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 18:30
>>218
>>242
BはQHの中点
bは円Bの半径

α=∠PAO、β=∠QBO、とすれば
>Sが最大となるのは
>OPを底辺だと考えて高さが最大となるとき、すなわち点QでのC(2)の接線が
>OPと平行となるとき
の条件から
α/2+β=π
α+β/2=π
がすぐ求まるから、面積を考える必要はない。と思われ

244 :243>243:2001/05/12(土) 18:33
ゴメソ
BはQHの中点→BはQH上の点。と思われ

245 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 19:19
>>243
すいません、便乗質問させてください

>α/2+β=π
>α+β/2=π
>がすぐ求まるから、面積を考える必要はない

どうやって求めたのでしょうか?
またなぜ面積を考えなくて良いのでしょうか


246 :243>245(問題218):2001/05/12(土) 20:52
C(1)(円Aと呼ぶ)の中心をA、C(2)(円Bと呼ぶ)の中心をB
α=∠PAO、β=∠QBO、とし
底辺OPからの高さが最大になる円B上の頂点をQとして
Qにおける円Bの接線をλとおく。
(この時、あるOPに対して面積POQが最大)
するとOP//λとなる事は証明済みとして

∠POQ=(α+β)/2:(∵地道に計算、接弦定理が簡単)
OQとλのなす角のうち小さい方をγとすると
γ=β/2:(∵接弦定理が簡単)
である。
∠POQとγはOP//λから補角(和が平角)の関係にあるので
∠POQ+γ=α/2+β=π
となる。

同じことを底辺をOQとして求めれば対称的なので
記号を入れかえるだけでよくて
α+β/2=π
となる。と思われ

検討求む

247 :245:2001/05/12(土) 21:00
>>246
なるほど。
でも面積考えなくて良いと言うのはどういうことですか?
すいません質問ばっかりで

248 :243>247:2001/05/12(土) 21:43
高さ最大=面積最大

249 :245:2001/05/12(土) 21:57
>>248
いや、そういうことじゃなくて
最大値を求めよと書いてあるので嫌でも面積を出さなければ
いけないと思うのですが・・

250 :243>249:2001/05/12(土) 22:00
本当だ…

251 :132人目の素数さん:2001/05/12(土) 22:43
>>243
α/2+β=π
α+β/2=π

この二つを利用して面積のMaxもとめれないかな?


252 :245:2001/05/12(土) 23:01
>S'=ab(-sinθ+2cosθ)
>=(-2sin^2θ-sinθ+1)
>=-(2sinθ-1)(sinθ+1)

これ最終的に最大値求めていくとすごく変な数になってしまいました


253 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 00:00
>>252
本当だ。
なんか途中計算でつまった

254 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 00:10
>>251
2式より
α=β=2π/3
中略
OP=2acos(π/6)
OQ=2bcos(π/6)
∠OPQ=2/3π
中略
S=(1/2)|OP||OQ|sin(∠OPQ)=3√3ab/4

>>252
SとS ' をかんちがいしていると思われ。

S=ab(1+sinθ)cosθ
dS/dθ=ab(-sinθ+cos2θ)=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)θ=π/6のときSは最大値(3√3)ab/4

255 :254:2001/05/13(日) 00:12
改行キャンセル・・・(打つ

S=ab(1+sinθ)cosθ
dS/dθ=ab(-sinθ+cos2θ)=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)

 θ=π/6のときSは最大値(3√3)ab/4

256 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 00:14
>>210,>>212 ありがとうございました。思いのほかむずかしかったです。
というかひとりでは何日かかったかわかりません。
n元の問題でも解はたくさんできることもすぐわかりました。つまり
Σ[i=1,n]x(i)^2=kの整数解もいくらでもあるということになりますよね。
だけどn次元になったときにn−1次元の解から考えられる自明な解以外のものが
出てこないかなど、まだ気になることは残っていますが、有用な定理も教えていただき
たいへん助かりました。それではまた。

257 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 00:27
>>254
Θ=π/6ってどうやって出しました?

258 :254:2001/05/13(日) 00:47
>>257
>dS/dθ=ab(-sinθ+cos2θ)=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)
                     ^^^^^^^^ここが0になるθ

259 :257=253:2001/05/13(日) 00:50
おー!!
すばらしい。ありがとう254


260 :257=253:2001/05/13(日) 00:55
おー!!
すばらしい。ありがとう254


261 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 00:56
スマソ二重投稿

262 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 12:56
 A B 
  □
 C D

の正方形の折り紙があるとします
そこから、どうやって最大辺の正三角形を作れますか
計算的じゃなくて、簡単に折って作れるようなのですが
また教えてください



263 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 12:57
1+w^1+w^2+w^3+・・・・・・+w^9=(1-w^10)/(1-w)

  右辺から左辺になる途中式を教えて下さい。

264 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 13:02
>>263
左辺をSとおいてwS-Sでも計算してください

265 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 13:14
>>264
おお!!すげえ!!できました。
ありがとうございます、これはやっぱり暗記の部類にいれた方が良いですかね?


266 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 13:18
>>265
w^20ぐらいまでは暗記しといたほうがいいよ

267 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 13:18
まぁ定石手法と思って覚えても
問題ないでしょう
等比型数列の和を計算するときは
これを思い出すようにしてください

268 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 13:19
>>266  >>267
はい、わかりました。

269 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 13:28
>>266  コラ

270 :お馬鹿な高2:2001/05/13(日) 14:34
背理法と対偶はおなじなのですか。

271 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 14:52
>270
多分、似て非なるもの。

 証明の問題なんでしょ…ならば、
・背理法:「矛盾」を導く。
・対偶:「対偶が成り立つ」ことを証明する。

間違えてたらスマソ。

272 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 15:14
>>262
長方形二つに等分するように折って、できた長方形の対角線で折ってから開いたら
正三角形の折り目ができると思うが・・・

273 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 15:25
>>262
マルチポストはやめようね。(@面白い問題スレ)

274 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 16:06
>>263
こういうのって、なんで思いつかないのかなぁ。
1からNまで足したらいくつになる?ってのも暗記してんのかなぁ。



275 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 17:39
誰か助けてください。

問1:In=(0 ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
問2:Dn={(x,y)∈R^(2)|(x-1/n)^(2)+y^(2)<1/n^(2)}とするとき、∩Dn、はなんですか

問1は、0not∈Inなんで 0not∈∩In
任意の実数r(≠0)について、アルキメデスの原理より
rn>1となる自然数が存在する。
r>1/n
rnot∈In
rnot∈∩Inとなり、空集合であってますか?
問2はアルキメデスをどう使ったらいいんですか?おしえてください。
お願いします。

276 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 17:49
>>270
根本的に違う方法だと思われ。

277 :背理法:2001/05/13(日) 18:03
>>270
同じ。よくある背理法の記述では
(p⊃q)≡(¬q⊃¬p)
ここで
「qの否定を仮定するとpの否定が成り立つ」

「qの否定を仮定するとpに矛盾する」
に言い換えているだけ

278 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 18:21
>>275
>問2
En={(x,y)∈R^(2)|0<x^(2)+y^(2)<1/(2n)^(2)}とおくと
Dn⊂En だから ∩Dn⊂∩En。明らかに∩En=φだから∩Dn=φ。

279 :contraposition:2001/05/13(日) 18:21
>>277
ちがうだろう。

280 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 18:24
>>277
なんで集合記号と論理記号合わせてつかってるの?

281 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 18:34
背理法は
条件qを満たす集合Xは条件pを満たす
を証明する為に
条件qかつpを満たす集合が存在しないことを示す方法
じゃないでしょうか
つまり
qを満たす集合Xはかならずqを満たすか¬qを満たすから
¬qを満たさなければqを満たす
と言う風に行き先を制限してやる手法

282 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 18:38
sinΘ+sin2Θ+sin3Θ=0を解け

どうしていいのかまったくわかりません
一つ質問お願いします

283 :277:2001/05/13(日) 18:49
よく考えたら違うようだ。ゴメソ
対偶証明法
(p⊃q)≡(¬q⊃¬p)
背理法
(p⊃q)≡((p∧¬q)⊃⊥)
でいいかな?

>>280
⊃は⇒のこと、変な流儀でゴメソ

284 ::2001/05/13(日) 18:57
>>282
sin2Θとsin3Θをそれぞれ展開して、左辺の和を
sinΘ×(cosΘの多項式)という形に持っていく。

285 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 19:43
>278
さんきゅうです

286 :132人目の素数さん:2001/05/13(日) 22:06
θをn次代数的数とします。K = Q(θ)は 1,θ,…,θ^{n-1} によって、
K∋∀α = c_{0} + c_{1}θ + … + c_{n-1}θ^{n-1} (c_{i}∈Q)
と一意に表せます。θの最小多項式は相異なるn個の根 θ_{1},…,θ_{n}
を持ち、これらをθの共役といいます。そして
σ_{i}(α) = c_{0} + c_{1}θ_{i} + … + c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} (1≦i≦n)
をαのKにおける共役といいます。Kから代数的数全体への同型写像は
σ_{i} (1≦i≦n) で与えられ、その個数はn個です。

ここまではいい(同型性はフツーに準同型性+全単射性で示せました)
のですが、ここから先がピンときません。

K = Q(θ)がθのすべての共役を含む時、各σ_{i}はKの自己同型となる。
αの次数mはnを割り切る。そして、αの共役は{σ_{1}(α), … ,σ_{n}(α)}
の中にピッタリn/m個ずつ現れる。

長くなってしまいましたが、ご指導よろしくお願いします。

287 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 00:56
>>286
「各σ_{i}はKの自己同型となる」の部分はいいんでしょ。
その次の部分は、たとえばこう考えればいいんじゃない?(やり方はいろいろありそう)

f(x)=(x-σ_{1}(α))*(x-σ_{2}(α))*(x-σ_{3}(α))*…*(x-σ_{n}(α)) ・・・(♯)
とおく。
σ_{i}(α)=c_{0}+c_{1}θ_{i}+ … +c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} を(♯)に代入し、展開する。
展開して、f(x)=x^n+Ax^(n-1)+Bx^(n-2)+ … +Z となったとすると、係数 A〜Z は、
θ_{1}, θ_{2},…, θ_{n} の対称式になる。よって、A〜Z は有理数。

αを根に持つ有理係数の最小多項式を g(x) とおく(g(x) は m 次式)。

f(x) を有理数の範囲で既約多項式に因数分解する。
次のように k 個の既約多項式に分解されたとしよう。
f(x)=h_1(x)*h_2(x)*…*h_k(x) ・・・(♪)

適当な i を取れば、x=σ_{i}(α) は、h_1(x)=0 の解である((♯)と(♪)の比較による)。
いま、θ_{i} を θ に写す自己同型(つまりσ_{i}の逆写像)を h_1(σ_{i}(α))=0 に作用さ
せると、係数の有理数は不変で、σ_{i}(α) は α に写るから、h_1(α)=0 である。
つまり、h_1(x) は、αを解に持つ既約多項式。
∴ h_1(x)=g(x)

h_2(x), … , h_k(x) についても同様で、これらはすべて g(x) に等しい。
つまり、f(x)=g(x)^k となるが、次数を考えれば、k=n/m である。
この式と(♯)を較べることから「αの共役は{σ_{1}(α), … ,σ_{n}(α)}
の中にピッタリn/m個ずつ現れる」ことがわかる。

288 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 00:58
質問です。
ttp://www2.odn.ne.jp/aaj64220/NewFiles/NPatch.html
上記のサイトのN-Patch曲面を生成する部分は出来たのですが、
補間点の法線を高速に求める方法が解りません。
曲面上の1点の法線(垂直に交わる線でもいいです)を求める方法を教えてください。

289 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 01:09
こんなに難しそうな問題が並ぶ中で大変恐縮なんですけど、どなたか
(-1)×(-1)が何故1になるのか中学生に分かるように教えて
いただけませんか?


290 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 01:37
>>289
マイナスにマイナスを掛けるとなんでプラスになるの?
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=953590762


291 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 01:43
>>289

0=(+1)*0=(+1)*((+1)+(-1))=(+1)*(+1)+(+1)*(-1)
0=0*(-1)=((+1)+(-1))*(-1)=(+1)*(-1)+(-1)*(-1)
辺ぺんひいて
0=(+1)*(+1)-(-1)*(-1)
(-1)*(-1)=(+1)*(+1)=+1


292 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 01:57
>>290
>>291
ありがとうございます☆
もう少し考えたらしっくりいきそうです。

293 :大一坊主:2001/05/14(月) 04:15
>>283
その二本の論理式は同じものだと思います。
むしろ、対偶証明法と背理法が、ともに排中律に立脚している
ことが重要だと思います。

294 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 09:49
>>246
その論法は有名なあやまりです。
PにおけるC(1)の接線をλ、QにおけるC(2)の接線をμとよぶことにして

 PをとめてQをうごかすときSが最大になるQはμ//OPのとき...(*)
 QをとめてPをうごかすときSが最大になるPはλ//OQのとき...(**)

の二つが確認できたとしても

 μ//OP,λ//OQ のとき S は最大

は言えません。もっとも典型的な問題として

 f(x,y)=((-(x+iy)^4の実部))=-(x^2-y^2)^2+4x^2y^2 (x^2+y^2≦1)
 の最大値をもとめよ。

という問題で (x,y)=(0,0) は

 x=0 をとめるとき y=0 で最大。
 y=0 をとめるとき x=0 で最大。

はいえるけど (x,y)=(0,0) のとき最大でないことはおろか極大ですらない。
なぜこんなことがおこるかというと f は (0,0) で病的特異点(critical
singular point)といわれるところでこういうところでは相異なる2方向での
微小変化を考えたときの最大になっていたとしても(i.e. 極大)そこで
2変数関数として極大とはいえません。どうしてもこの手のLogicでのりきるなら
∠POA=θ、∠QOB=ζとおいて

 (1)S=2cosθcosζsin(θ+ζ) が (θ,ζ)=(π/6,π/6) で病的特異点でない
    ことを示す。具体的には S のヘッシアンが0でない事をしめす。
    さらにSは必ず最大値をとることを示す。

 (2)S の定義域を 0≦θ,ζ≦π/6 に拡張して境界での最大値とが (θ,ζ)=(π/6,π/6)
    における値を比較する。

のいづれかぐらいしか思いつきません。いづれにしても結局 (θ,ζ)=(π/6,π/6)
における S の値は計算せざるをえません。(たとえ問題が最大になる(θ,ζ)を
もとめよという問題でも。)また(1)、(2)は大学受験数学の範囲では
相当むづかしいので結局よけいな回り道をしてしまいます。

295 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 12:41
生物板でも聞いてみてるんだけど、こっちの方がいいかもしんない。
生物の宿題のデータの処理の仕方がわからないので、誰か助けて!

誤差付きの数字同士の割り算って、どうやるんですか?

具体例:
A:2.3±0.1
B:0.5±0.1
A÷Bを求めて、結果をXXX±XXの形で書け。

ってことなんですけど。たぶん答えは4.6±XXだと思うんだけど、
プラスマイナス以降のXXのところをどうやって計算したらいいかわかんない!
助けてください。お願いします。

296 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 12:58
>>295
分からないんだったら
(2.3+0.1)/(0.5+0.1)
(2.3+0.1)/(0.5-0.1)
(2.3-0.1)/(0.5+0.1)
(2.3-0.1)/(0.5-0.1)
をそれぞれ計算してみれば?


297 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 14:19
すみませんーん。
医者で処方箋書いてもらって、薬をもらったのはいいのですが、
ひとつあたりの薬の金額がわからないので、質問してもいいですか?

AとBを各28錠ずつもらいました。
Aの薬は18.9円/1錠ぐらいです。
合計で16000円でした。
だいたいでいいのですが、AとBの1錠の金額が割り出せますかねぇ・・・。
お願いいたします。

298 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 14:34
>>297
( 1600 - 28 * 18.9 ) / 28 = 38.24...
1万6千は間違いだと思うのだが、どうか?
本当に1万6千なら、別な料金が混じっているか、相当に高価な薬だ。
保険効いてるはずだから、原価の2〜3割の金額だと言うことも忘れてはいけない。

299 :297です。:2001/05/14(月) 14:37
>>298
ごめんなさい。1600円です。・・・
ありがとうございます。

300 :297です。:2001/05/14(月) 14:38
あと、すみません。
小数点以下いくついってもいいので、
割り切れませんかねぇ・・・。>>297の答え。

301 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 15:13
>>300
割り切れません。「18.9円くらい」というのに問題があるのでは?

302 :286:2001/05/14(月) 15:40
>>287
ご丁寧な証明ありがとうございました。
けど、いくつか質問させてください。

>係数 A〜Z は、
>θ_{1}, θ_{2},…, θ_{n} の対称式になる。

ここでいっている対称式って、例えばどんな感じのモノですか?

>「各σ_{i}はKの自己同型となる」の部分はいいんでしょ。

すいません、そこもよくないんです…。 ご面倒おかけします。

303 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 16:37
何度も聞いてすいません。
問題を解く前に定義が与えられていました。
定義:fをR^nの開部分集合Dで定義された関数f:D→Rとする。x∈D、v∈R^nを一組固定し、さらに正の実数rを次を満たすようにとる。
0≦|t|<r(t∈R)⇒x+tv∈D。Rの開区間(‐r、r)で定義された1変数関数、g(t)=f(x+tv)のt=0における微分係数 g'(0)=lim(g(h)-g(0))/h{h→0}が存在するとき、fはD内の点xにおいてv方向に微分可能であるという。g'(0)をfのxにおけるv方向の微分係数とよび、f'(x;v)で表すことにする。(i.e. f’(x;v)=lim(f(x+hv)-f(x))

1問目:1変数関数に対する平均値の定理をg(t)=f(x+tv)に用いることにより次を示せ。

x∈D、v∈R^nを一組固定する。
0≦t≦1なる全てのt∈Rに対してx+tv∈Dかつf'(x+tv;v)が存在すると仮定する。
このとき
∃θ(0<θ<1) s.t f(x+v)-f(x)=f'(x+θv;v)

2問目:x0∈D、v,w∈R^nを一組固定する。f’(x0;v)が存在するものとし、更に次を仮定する。
∃r∈R(r>0) s.t. |x-x0|<r⇒f’(x0;w)が存在する。
このとき、f’(x;w)がx=x0においてxに関して連続であればf’(x0;v+w)が存在して
f’(x0;v+w)=f’(x0;v)+f’(x0;w)となることを示せ。

お願いします。




304 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 17:39
関数f(x)=(2/3)x^3-px^2+px+1は、x=αで極大になり、x=βで極小になるとする。
(1)pの値の範囲を求めよ。
(2)pが(1)で求めた範囲を動くとき、2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

この問題の(2)がわかりません。どなたか教えてくださいませんか?

305 :246>294:2001/05/14(月) 17:51
閉曲線が滑らか(接線が決定される)という条件をつけても駄目?

閉曲線Cは有界で滑らか⇒ある直線λからの最遠点が存在
⇔そのCに含まれる近傍でλからの距離が極値を取る
⇒仮定から接線が存在し一意でλに平行

という風に。返信求む。

306 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 18:09
>>304
極値を持つ点を求めて中点求めてpを消去すればでるっしょ
αとかβとか気にしないでpの式になるよう計算してみー

307 :246>294:2001/05/14(月) 18:10
と、思ったらそういう話ではない?
「平行⇒極大」が成り立たないという事?
それはもちろん成り立たないと思われ。
ヘシアンの検討は必要。

閉曲線が滑らかで凹な点が無いという条件を仮定すればどう?

308 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 19:19
整式で表された関数f(x)が、任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)-4
を満足するとき、次の問に答えよ。

(1)f(0)を求めよ。
(2)f'(0)=2のとき、f'(x)を求めよ。

上の問題教えてください。

309 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 19:35
x=y=0を代入セヨ

310 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 19:42
>>308

(1)x=y=0を代入すると
f(0)=f(0)+f(0)-4
f(0)=4
(2)両辺をxで(偏)微分
f'(x+y)=f'(x)+3y(2x+y+2)
f'(y)=f'(0)+3y(y+2)=3y^2+6y+2
これが任意のx,yについて成り立つのでy=xを代入
f'(x)=3x^2+6x+2

311 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 19:43
>>304
αとβはf'(x)=2 x^2 -2 p x+p=0の解だから解と係数の関係より
α+β=p,αβ=p/2
2点(α,f(α)),(β,f(β))の中点は(α+β,f(α)+f(β))なので
あとはf(α)+f(β)をα+βとαβだけで表せばpの式になります。

312 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 19:45
(2) は与式を微分係数の形に変形セヨ
二つの微分係数項を作るように考えて
y≠0として両辺yで割ったあとf(0)=-4を使い、極限を取レ

313 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 19:47
>294

つーか1階の微分だけで極値点かどうか判定するのは無理

314 :某学コンマン:2001/05/14(月) 19:53
>>304
学コンは自分で解きましょう。

315 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 20:07
大学への数学の問題はこちらのスレッドで聞いてください
別に解答ばらすのは構わないけど

大学への数学
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=969597101


316 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 20:33
>>314
こんな問題今月号ありましたっけ?

317 :とと:2001/05/14(月) 20:53
Mが平坦、if and only if、N’を有限生成R-左加群、NをR-左加群とし、f:N’→Nを単射準同型写像とすると、1M〇fも単射。1MはM→Mの恒等写像。〇はテンソル積とする。

318 :とと:2001/05/14(月) 20:56
Mが平坦、if and only if、N’を有限生成R-左加群、NをR-左加群とし、f:N’→Nを単射準同型写像とすると、1M〇fも単射。1MはM→Mの恒等写像。〇はテンソル積とする。

319 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 22:07
x=(√3)cosθ-sinθ,y=x^3-3xとおく.
(1)0°≦θ<180°のとき、xのとりうる値の範囲を求めよ.
(2)実数aに対して,y=aを満たすθが、0°≦θ<180°において3個存在するように、定数aの値を定めよ。

(1)は合成して-2≦x≦√3となったんですが、
(2)がわかりません。
どなたかヒントだけでもお願いします。

320 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 22:56
>>319
ネタか?
y=x^3-3xのグラフ書いて
(1)でもとめた定義域から値域もとめて
あとはy=aとどこで3つ共有点をもつか調べるだけ

321 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 23:25
時刻tにおけるxy平面上の二点P.Qの座標が
P(2t,-t^2+2t) Q(t+4,-3t+4)であるとする。
tが0〜1まで変わるとき線分PQが通過する部分を考えその面積を求めよ

この問題を教えてください
よろしくお願いします

322 :132人目の素数さん:2001/05/14(月) 23:44
>>321
PQの式を出してtについて平方完成すると
PQがある放物線に接することがわかる
あとはtに応じて接点を動かしていけば
PQの通過範囲がわかる
ついでに接点がPなのでQの動向を見れば
線分の通過範囲もわかる

323 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 00:24
>>302
たとえば、a, b, c の対称式とは、

a^3+b^3+c^3-3abc

みたいな式。文字を入れ替えても式の形が変わらないもの(ここの問題では係数は有理数に限る)。
こういう式は基本対称式(a+b+c, ab+bc+ca, abc のこと)で表せます(係数は有理数)。

念のために言っておくと、θの最小多項式を p(x) とすると、その根 θ_{1},…,θ_{n} の
基本対称式は、解と係数の関係から、p(x) の係数で表せるので有理数です。

>各σ_{i}はKの自己同型となる

何が分からないのかが分からないですが・・・。
たとえば、x^3-2=0 の解は、2^(1/3), 2^(1/3)ω, 2^(1/3)ω^2 です(ωは 1 の 3 乗根)。
K, K' を次のように決めます。
K={x+y2^(1/3)+z2^(2/3)│x,y,z∈Q}
K'={x+y2^(1/3)ω+z2^(2/3)ω^2│x,y,z∈Q}
K, K' はどちらも体で、x+y2^(1/3)+z2^(2/3)⇔x+y2^(1/3)ω+z2^(2/3)ω^2 の対応で、
同型となります。これが、σで表される同型写像なわけ。
しかし、この例では K≠K' なので、自己同型にはなっていません。

一方、x^2+1=0 の解は、i,-i です。このときは、
K={x+yi│x,y∈Q}
K'={x-yi│x,y∈Q}
とすると、x+yi⇔x-yi の対応で同型ですが、集合として K=K' だから、これは自己同型。
こういうようなことを言っているにすぎませんけど。

324 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 00:48
>>127
問1のヒント:
t=X_1+X_2+X_3,
u=X_1+wX_2+(w^2)X_3,
v=X_1+(w^2)X_2+wX_3
とおく.ただし w は (w^2)+w+1=0 を満たす複素数.
C[X_1,X_2,X_3](=C[t,u,v])の A_3 不変部分環は
C 上 t, uv, u^3, v^3 で生成される.何故か?

問2のヒント:松村『可換環論』p280を参照せよ.

325 :302:2001/05/15(火) 06:09
>>323
具体例ありがとうございます。
おかげさまで自己同型がなんたるかがわかりました。ふむふむ。
「含む」って言葉に拒絶反応を起こしていた私…。

326 :shima:2001/05/15(火) 08:12
>>246
>>294

S(α,β)は
  どのβ(0<β≦π)に対してもα=π-β/2で最大  (i)
  どのα(0<α≦π)に対してもβ=π-α/2で最大  (ii)
なら
  任意のα、β(0≦α,β≦π)について
  β(n+1)=π-α(n)/2
α(n+1)=π-β(n)/2とおくと

  S(α(n),β(n))≦S(α(n),β(n+1))≦S(α(n+1),β(n+1))
となるような点列(α(n),β(n))[n=0,∞]が取れる

  α(n+1)=π-β(n)/2=π/2+α(n)/4より
α(n)=(1/4)^n*α(0)+2π/3
  lim[n→∞]α(n)=lim[n→∞](1/4)^n*α(0)+2π/3=2π/3
また
  lim[n→∞]β(n)=2π/3でS(α,β)≦S(2π/3,2π/3)
したがって
α=2π/3,β=2π/3でS(α,β)が最大となる

というのはどうですか。検討よろしく!


327 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 09:29
>>305
だめでしょう。結局のところ“高さ最大のところで面積最大”というのは
“底辺を固定して”という仮定のもとでしか成立しえずそれは

 S=2cosθcosζsin(θ+ζ)

のζ(又はθ)のどちらかを固定しているという事に他なりません。
結局 λ//QB の時最大というのは QB を固定しているので

 βを固定したとき S が最大になるのは α=π-β/2 のとき
 αを固定したとき S が最大になるのは β=π-α/2 のとき

がいえてもその両方を満たす点で最大になるとはいえない。という問題点を
なんとかして回避する方法をしめさないかぎり証明は完成しているとは
いえないでしょう。

>>326
これなら証明になっています。

328 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 09:40
>>307
ここでもレスしてくれてたのね。きづかんかった。
“凹がない”でもだめです。ヘッシアンは“2次の微分”なので

 凸だから2次の微分がきえていない。

なんていえませんから。ヘッシアンが+かーかという事というよりは
それが0であるか否かということの方が重要です。(つまり
通常特異点か病的特異点か。)病的だと先にあげた例のように
“異なる2方向での変分がーであるのに極大でない。”という
問題が発生します。もちろん病的でなければ異なる2方向で
極大になっていればそこは極大点ですが。
“2次の微分”を式をつかわず初等幾何だけでしめすのは大変です。

329 :初心者板から:2001/05/15(火) 10:13
ちょっと横から失礼します。
「割り算の優位性 」ってなんですか?

330 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 10:35
>>319
 x=2sin(θ+α) (αは(-1,√3)の仰角)

まではできたとして、各 x の値についてθが何個対応するかかんがえる。
点線で単位円をかいてα≦θ<α+180°のとこだけ実線でぬってみるよろし。
すると
 xの値
 x=-2      1個
 2<x<−√3  2個
 ー√3≦x≦√3 1個
 それ以外    0個
がわかるのでy=x^3-3xのグラフを点線でかいて2<x<−√3に
対応する部分を2重に、-√3≦x≦√3とx=2の部分を1重に線を引く。
(x=2のあたりちょっと見にくいけど...)それと y=a が何回ぶつかるか
かぞえます。たとえば a=-1 だと2重線部分と1回、1重線部分と2回
ぶつかるので解は4個とわかる...
みたいなかんじでさがしてゆきたまへ

331 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 10:41
>>330
訂正 -2 と書くべきところが 2 になってるとこが何箇所かある。
わかるよね?

332 :shima:2001/05/15(火) 11:03
>>246
>>327

S(α,β)=2absin(α/2)sin(β/2)sin((α+β)/2)について
D={(α,β)|0≦α≦π,0≦β≦π}で2ab≧S(α,β)≧0

 どのβ(0<β≦π)に対してもα=π-β/2でのみSが最大  (i)
 どのα(0<α≦π)に対してもβ=π-α/2でのみSが最大  (ii)
なら
α=0またはβ=0または(π,π)でのみS(α,β)=0だから
 (α,π-α/2)(0<α≦π)かつ(π-β/2,β)(0<β≦π)
となる点でのみ最大値をとる
よってα=2π/3,β=2π/3でS(α,β)が最大となる

これじゃだめですか


333 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 11:19
>>332
めんどいので本質的でない係数は無視して

 S=sin(α/2)sin(β/2)sin((α+β)/2) (0≦α≦π,0≦β≦π)

にしてしまいましょう。Pointは

 定理 任意の連続関数はcompact集合上で最大値をもつ。

です。0≦α≦π,0≦β≦π はcompactなのでどこかで最大値を
もつはずだという論述があれば>>332の解答でOKです。
でも上の定理(だれの定理だっけ?Weierstrassかな?)は
少なくとも受験数学ではゆるされませんよね。大学の教養の数学では
使ってもいいですが、この部分の指摘をわすれているとたぶん0点です。

334 :shima:2001/05/15(火) 11:38
ありがとうございました^^

335 :初心者板から:2001/05/15(火) 12:09
早く教えて〜〜〜〜
>>329の割り算の優位性って奴
ねたモトはココ
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=qa&key=988713546&ls=100

336 :shima:2001/05/15(火) 12:14
>>333

それじゃあ
 連続関数f(x)は閉区間で最大値を持つ  から
S(α,π-α/2)(0≦α≦π)は(0≦α≦π)で最大値を持つ
でいいかな


337 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 12:26
>>335
うるせーな、厨房。
1/3*3=1 に決まってんだろ。優位性も糞もあるか。
厨房は厨房同士でジャレあってろや。

338 :初心者板から:2001/05/15(火) 12:44
>>337結局わかんないって事ね!
ありがとさん。


339 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 13:14
>>336
OKです。それが1変数固定法です。αを固定してβを動かしたときの
最大値S(α、π-α/2)の最大値をαを動かしてもとめるのです。
受験数学の範囲で2変数以上の最大値をもとめるならこの方法を
とっておくのが無難です。

340 :shima:2001/05/15(火) 13:26
>>339
どうもです^^

341 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 14:36
a1=2, an+1=1/2(an+2/an)で定義される数列{an}について
(1){an}は下に有界で、単調減少であることを示せ
(2)極限値lim n→∞ an を求めよ
この問題の解き方を教えてください。
相加平均・相乗平均を使うのは分かるのですがそれからが分かりません
ご教授よろしくお願いします


342 :>341:2001/05/15(火) 19:39
相加平均と相乗平均をどうつかうかわからん
それとは違うアプローチを
1) a_1>0 から 定義にしたがい、 a_n>0は容易。
下に有界だけならこれでいいが、後の便宜のためにもう少し大きな下界を探しておく。

f(x) = x/2 + 1/x
g(x) = = -x/2 + 1/x
を考える
x > 0で f(x)は x=√2 の時 極小値 √2をとることから
x>0で f(x) >= x=√2 (*1)

g(x)は x>0 で単調減少 g(√2)=0であることから
x>=√2 で g(x) <= 0 (*2)

この(*1) と(*2)ふたつを使えば
a_n+1 = f(a_n) >= √2
a_n+1 - a_n = g(a_n) <= 0
を示せる。
.........................

2)極限値はおまけみたいなもんだね。
1)から極限があることはわかった。
それは
x = x/2 + 1/x
を満たす。。。。

343 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 20:04
前々から数学は苦手な高二です。
レポートのプリントが出てやってるんですが、
2問わかりません。
おそらくここの方からすれば馬鹿みたいな問題だと思うんですが。

※iは虚数単位

(x+yi)^2=i を満たす実数xを求めよ。

(a+bi=c+diのような形にして、
a=cとb=dを連立するような気がするんですが、変形できないです)

x=3+2iが二次方程式x^2+ax+b=0の解であるとき、
実数の定数a,bの値ともう1つの解を求めよ。
(x=3+2iをx^2+ax+b=0に代入してa,bを求めるんでしょうか。
でも文字が多くて方程式としては解けない気が)

344 :>343:2001/05/15(火) 20:13
高校生はオイラーの exp(ix)= cos( x) + i * sin(x)は
使っちゃだめ?
じゃあ正面から
(x+yi)^2 を素直に計算する
x^2-y^2 + 2xy i
    (複素数同士の乗算は理解してる?)
これが iと等しいから
 x^2-y^2=0   2xy = 1
(複素数の比較 はOK?)
を満たす x,yを求める
 

345 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 20:19
>>343
x=±1/√2

346 :345:2001/05/15(火) 20:20
x+y=r(cosθ+sinθ)とおけ

347 :345:2001/05/15(火) 20:21
訂正:x+iy=r(cosθ+isinθ)とおけ

348 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 20:25
>>344

x^2-y^2=0
2xy=1

まではいくんですが、
これを解くというのがわかりません。
連立方程式は一次しかやったことがないんで、
x^2とかy^2が出るとどうなるのかという。

低レベルですいません。


349 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 20:29
>>345

突然sinとかcosとか出てきて困惑してます。
低学力高二なので、そんな大それたレベルまで達してません。

350 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 20:39
>>348
0=x^2-y^2=(x-y)(x+y) だから x-y=0 または x+y=0

351 :>343:2001/05/15(火) 20:40
>(x=3+2iをx^2+ax+b=0に代入してa,bを求めるんでしょうか。
>でも文字が多くて方程式としては解けない気が)
文字多くないよ
このように計算すると
(aとbの式1) + (a+bの式2)*i = 0
になる。
式1も式2も0でなければいけない
(これを理解してるかな?)
ので、ちゃんと求まる。


ただしこの問題はもっと簡単に
もうひとつの解は x=3-2i に決まってるので
(これが何故かをいちいち示すとなると、ちょっとだけ面倒)
あとは解と係数の関係を使って。。



352 :>348:2001/05/15(火) 20:43
x^2-y^2=0
2xy=1

上の式を因数分解して
(x+y)(x-y) = 0
よって y=x か y=-x
で後は下の式を使って求める。



353 :343:2001/05/15(火) 20:48

結局、xとyはどうなるんでしょうか。
x+y=0 y=-x
(2x)(-x)=1
-2x^2=1
x^2=-1/2
x=√-1/2
x=√1/2√-1
x=√1/2 iですか?

う〜ん、、、

354 :>353:2001/05/15(火) 20:52
y=-x か y=x どちらか
y=-x の方は353のようにおかしいから捨てる
y = xの方も試してみて

355 :343:2001/05/15(火) 20:57
y=-xも、y=xもどちらも正しく導き出されているのに、
使える使えないがあるんですか。

y=xとすると、

x,yとも√1/2?

しかし、これを元の式に入れても合わない気が。

356 :343:2001/05/15(火) 21:00
すいません、√1/2入れると合いますね。

357 :>:2001/05/15(火) 21:02
>しかし、これを元の式に入れても合わない気が。
あうよ 落ち着いて計算してみ
(√1/2+i √1/2)^2 = (√1/2)^2 + (i √1/2)^2 + 2 * (√1/2 * i√1/2)
=1/2 - 1/2 * 2* (i*/2)
= i

それと答えはもう一つあるよ.
 2*x^2=1 を満たす x はひとつではない



358 :343:2001/05/15(火) 21:08
-√1/2もですね。
345で既に出ていたとは。すごいなあ。


359 :343:2001/05/15(火) 21:17
2番目やろうとしてるんですが、
どうも分かりません。そもそもどういう問題なのかも分からない。

解と係数の関係というのは、
α+β=−b/a
αβ=c/a

のことですか?

360 :>:2001/05/15(火) 21:22
そうです。この問題にあわせれば

α+β=−a
αβ= b
ですね。
α=3+2iなら β=3-2i なんで(これを証明なし使っていいかどうかが不明ですが)
ここから求まります。



361 :>:2001/05/15(火) 21:25
(これを証明なし使っていいかどうかが不明ですが)
が心配だったら 351の前半の方法をレポートには書いておこう。

362 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 21:27
>x=3+2iが二次方程式x^2+ax+b=0の解であるとき、
>実数の定数a,bの値ともう1つの解を求めよ。

あれ?
とすると、もう1つの解っていうのは、3-2iそのものなんですか?


363 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 21:28
>>351
>もうひとつの解は x=3-2i に決まってるので
>(これが何故かをいちいち示すとなると、ちょっとだけ面倒)

複素数α、βに対して
(αの共役)+(βの共役)=(α+β)の共役
(αの共役)−(βの共役)=(α−β)の共役
(αの共役)×(βの共役)=(α×β)の共役
(αの共役)÷(βの共役)=(α÷β)の共役(←但しβ≠0)
が成り立つことを認めれば自明。

364 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 21:36
a=-6,b=13で、もう一つの解は3-2i

1週間かけて、19問と問題集がようやくできたようです。
ありがとうございました。

365 :>362:2001/05/15(火) 21:37
>とすると、もう1つの解っていうのは、3-2iそのものなんですか
直観的には
x^2 + a*x + b = 0 解の公式を考えると
x = -a/2 + √(a^2 - 4b)/2
  x = -a/2 - √(a^2 - 4b)/2
a,b実数だから虚数があるとしたら第2項の方だけ、
 で一方の解は実部は同じで虚部をマイナスにしたものと
わかる。

 

366 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 22:31
すいません、この問題を教えてください

方程式
(x^n)+[P1{x^(n-1)}]+[P2{x^(n-2)}]+..............+Pn=0
の解を
α1、α2、α3.............αnとするとき
次の等式を示せ
(1+α1^2)(1+α2^2)............(1+αn^2)={(1-P2+P4-........)^2}+{(P1-P3+P5-......)^2}

367 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 23:14
f(x)=(x^n)+[P1{x^(n-1)}]+[P2{x^(n-2)}]+..............+Pn=0 とおく。

i を虚数単位として、方程式、
f(x+i)f(x-i)=0
を考えよ。

この方程式のすべての解の積が、(1+α1^2)(1+α2^2)............(1+αn^2) である。
あとは、解と係数の関係を利用。

368 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 23:15
 >342 ありがとうございました

369 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 23:20
>>367
助言ありがとうございます
やってみますです

370 :132人目の素数さん:2001/05/15(火) 23:34
レポートなんです。やばいです。

sin(x^2) (0≦x≦π)
の積分って解析的に求められますか?
簡単そうで・・・うう解らない。

371 :125:2001/05/15(火) 23:47
2のマイナス1乗が、なぜ 1/2 になるのか、
いろいろな方面から詳しく教えてください。


372 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 00:09
MにRは作用してないのか?>>318

373 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 00:37
exp(6πi)-1

の答えってなんですか?

374 :>:2001/05/16(水) 00:45
方面1
a^n * a ^ m = a^(n+m)
が n,mが自然数でなくても成立するようにべき乗を拡張

2^(-1) * 2^1 = 2^0=1が成立
2^(-1) = 1/2^1 = 1/2

方面2
exp(x) = Σx^n/n!
で定義する
 2項定理をうまく使って exp(x+y)=exp(x)exp(y) は容易に示せる
expの逆関数を log と表記する

2^xとは exp(x*log2))のことと定義する

(-------* ここまで a^x は aをx回かけるという表現を一切使わず。)
この定義では
2^-1 = exp(-1*log(2))
ところで
exp(log(2))*exp(-1log(2))=exp(log(2)-log(-2))=exp(0)=1
2^(-1) * exp(log(2)) = 1
2^(-1) * 2=1

 

375 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 00:51
時間がないのでも一回書かさしてください。
求められないなら「求められない」って誰か言ってください。

sin(x^2) (0≦x≦π)
の積分って解析的に求められますか?
おねがいします。

376 :>374:2001/05/16(水) 01:01
それを公式無しで説明することは可能でしょうか。

377 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 02:02
>>375
荒らすな馬鹿者

378 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 02:04
>>375
>求められないなら「求められない」って誰か言ってください。

↑ちょっと笑った…

379 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 02:08
>>375
回答

「馬鹿でも簡単に求められます。」

380 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 02:09
この時期にヤバイレポートなんてあるかい!(−−メ

381 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 02:47
これお願いします

3X−Y+6=0,6X+5Y−30=0,X軸で囲まれる三角形の重心の座標を求めよ。

です。交点の求め方が分かりません。お願いします。

382 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 02:57
え〜と
3X−Y+6=0 …1
6X+5Y−30=0…2
の連立方程式と
6X+5Y−30=0…2
Y=0 …3
の連立方程式と
Y=0 …3
3X−Y+6=0 …1
の連立方程式で3点を求めてください


383 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 03:21
A = {n∈N| n<=1000 & n^2は12の倍数}のときAを列記法で表せ。また、元の個数を求めよ。

おしえて
n^2 = 12m (m∈N)
n = 2√3m
こっからうまくいきません。

384 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 03:32
>>383
m=3 l^2とでもしてみれば?

385 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 03:39
>>383
12=2^2*3なので
12mがある整数の2乗なら
12m=2^2*3^2*□^2
これから
2^2*3^2*1^2=36,2^2*3^2*2^2=144,2^2*3^2*9^2=324…
となります




386 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 03:40
>列記法

これはなーに

387 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 03:44
>>382 ありがとうございます。解けました。

388 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 04:00
>>38612の約数なら
{1,2,3,4,6,12}


389 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 09:06
≫375
正直、俺もわからん
置換、部分じゃ無理だよな
何使うんだ?
馬鹿で御免。


390 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 09:13
>>378 >>389
解析的には求まらないよ、これ。

391 :375:2001/05/16(水) 12:20
>>390
ありがとう。それが聞きたかった。
バカにしたやつがバカってことだ(藁

392 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 13:18
T:V→Vで内積(Tx,x)を考えることにより、エルミート変換の固有値
はすべて実数であることを示せ、教えてください。

393 :135人目の素数さん:2001/05/16(水) 13:21
実計量ベクトル空間VにおいてT:V→Vがある正規直交基底で対称行列で
表されるならば、どんな正規直交基底を用いても対称行列で表されることを示せ。お願いします

394 :159:2001/05/16(水) 15:29
>>161
>例えば十分大きなm次元(有限次元)まで考えてやっても各点の上にある解は
>たかだかm個。

mが有界でない場合(mを固定しない場合)はいかにしたらよいでしょうか?

>(a,b,c,…,0,0,0…)⇔a+bx+cx^2+…
>という対応ができる

もしかして、ここがポイントなんでしょうか?
古い話ですが、よろしくお願いします。

395 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 16:08
>>391
幸せな奴・・・(ワラ

396 :383:2001/05/16(水) 19:14
>>384-385
thnks
簡単だったのねw

397 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 22:06
2の−1乗はなぜ0.5なのですか?
1に2を−1回かけると-2になるんですけど、誰かわかりませんでしょうか?

398 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 22:08
>>397
そのー1回かけたやつに1回2をかけたら
1回もかけてないってことになるはずだが…

399 :>:2001/05/16(水) 22:13
>2の−1乗はなぜ0.5なのですか?
>1に2を−1回かけると-2になるんですけど、誰かわかりませんでしょうか

2をマイナス1回かけることが
−2をかけることとなぜ同じと思うの。

”マイナス1回かける”とは”1回かけたことをチャラにすること”
と考えれば 2 で割ることになるでしょ。

400 :>:2001/05/16(水) 22:27
a^b を aをb回かけることで出発すると、
b が 負の時
b が 1/整数 のとき
b が 有理数のとき
b が 無理数の時、
何のこっちゃ?になるから ( aをπ回かけるとは何のことやら)
a^bは、別の定義方法を持ち込んだ方がいい場合がある、

そうすれば 2^(^1) = 0.5 は定義と開き直りも可能

401 :397:2001/05/16(水) 22:29
2^nは2をn回かけたものだから、2^n=2*2^(n-1)となる
nに0を代入して2^0=1=2*2^-1だから2^-1=1/2=0.5になる。

これでは、説明不十分といわれたのでなんとかならないでしょうか?

402 :>:2001/05/16(水) 22:42
定義としかいいようがない

2^n は ” n>0 では 2をn回掛け合わせたもの ”
だけがあるとことろか出発して、
n<= 0では 2^nをどう定義すれば自然かを考える。

例えば 2^n を順に(n=1,2,3,.....)並べる
2,4,8,16,,,
当たり前だけど、 右の数字は一つ左の2倍になっている
さて2の左側にも数字を並べる時、
この2倍関係があった方が自然だと思うなら
......... 0.25,0.5,1,2,4,8,16 .......
この並びを採用するなら
2^0 =1 2^(-1) = 0,5 , 2^(-2) = 0.25



403 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 22:43
>>401
n回かけるというのは、1にn回かける
-n回かけるというのは、あとn回かけたら1になる

でどこらへんが不十分なんだ?

404 :397:2001/05/16(水) 22:53
>>403
>2^nは2をn回かけたものだから、2^n=2*2^(n-1)となる
>nに0を代入して2^0=1=2*2^-1だから2^-1=1/2=0.5になる。

これを書いて提出したらなんでこの式を使ったんだ?って言われた。

405 :>:2001/05/16(水) 23:03
学校のレポートか?教師の出題意図が何だったかだね。
1) 2^n の定義 n<0 まで自然に拡張することを考えさせる
ということだったな?

意図がはっきりしないまま2^-1 = 0.5 は何故かと聞かれているのら
その質問は 1+1=2は何故か唐突に聞いているの同じこと
だから、そんな宿題答える必要もない愚問ということになる。

それこそ 400でいうように
a^b の定義自体を全く別のアプローチでもってきて
 それは定義ですと開きなおるしかない。


 

406 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 23:10
>>392
複素数zに対しz^*を複素共役として
 (Tx,y)=(x,Ty)...(1)
 (ax,y)=a^*(x,y)...(2)
 (x,ay)=a(x,y)...(3)
が一般になりたつ。vを固有ベクトル、eを固有値として
 ev=Tv
そこでx=v,y=Tvとして(x,y)を計算すると
 (v,Tv)=(v,ev)=e(v,v)
 =(Tv,v)=(ev,v)=e^*(v,v)
(v,v)≠0からe^*=e。

>>393
以下X゛でXの転置行列をあらわし、Xのi行j列の成分をX[i,j]であらわす。
v[i]を直交基底、fをv[i]による表現行列をA[i,i']とする。
つまりf(v[i])=納i']A[i,i']v[i']とする。べつの直交基底w[j]をとるとき
v[i]とw[j]の変換行列B[i,j](⇔v[i]=納j]B[i,j]w[j]をみたす行列。)
は直交行列となるすなわちB゛・B=B・B゛=(単位行列)となる。
(ここでB゛はBの転置行列。)これはやってミソ。(v[i],v[i'])=δ[i,i'],
(w[j],w[j'])=δ[j,j']を利用。)
そうするとw[j]をつかったfの表現行列はB^{-1}ABになる。このとき
B^{-1}=B゛をつかえば

 (B^{-1}AB)゛=B゛A゛B=B゛AB=B^{-1}AB

となる。
微妙にsuffixの上下(前後か?)がまちがってるかも。
適宜なおしてよんでみてタモ。しかし教科書にのってるゾ。
どこがわからんかを書いてくれんとこれ以上説明できん。

407 :397:2001/05/16(水) 23:31
ありがと、みんなのをまとめて提出してみます。
認めてもらえなかったら科目留年でごわす。

408 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 23:37
√3は有理数ではない。ってのを証明するのに、背理法を使って解いてたんですが、
√3 = m/n (n,m∈Z,互いに素、n≠0)と置いて
3*n^2 = m^2
m^2は3の倍数。⇒m = 3k (k ∈ Z) っていえます?

409 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 23:39
m = 3k+1 ⇒ m^2 = 3l+1
m = 3k+2 ⇒ m^2 = 3l+1

410 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 23:46
>>409
納得。ありがとございました

411 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 23:49
質問です。
 lim[n→∞](ln(n))^r/n=0
これってわかります?

412 :132人目の素数さん:2001/05/16(水) 23:58
>>411
左辺の1/r乗が0であること i.e.
 lim[n→∞](ln(n))/n^(1/r)=0
をしめせばよい。n^(1/r)=xとおけば左辺は
 lim[x→∞](ln(x^r))/x
 =r・lim[x→∞](ln(x))/x
 =0

413 :解析系の人間:2001/05/17(木) 00:09
正も負も,ひとつも漏れることなく,かつ重複がないように,
有理数の列を書き出すようなアルゴリズム,わかる人,
教えてください.

414 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:20
わからないって優香、理解してない

同値って何?例えば、P,Q:命題 として
PとQの真理値が等しいとき、P ⇔ Q でいいの? P = Q は何なん?

415 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:22
>>412
 ありがとうございました。

416 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:28
おたずねです

 a,b:整数 a,b>0 GCD(a,b)=1 a^2-b^2:完全平方数
 ならば,@a+bもa-bも完全平方数
 または,A(a+b)/2も(a-b)/2も完全平方数

これ,どこかで見た気がしますが,分かる人頼みます!


417 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:34
>>413
正と負は交互に同じ絶対値のものを置けばいいので正だけ考える
(0,1]は1/xで反転すれば[1,∞)なので、xと1/xも交互に置けばいいので
(0,1]だけ考えればよい
最初は1をとり第2項からは
n/mの列を考える
mは2から順にとる

mに対してn=1から始め、その後は1<n<mでmと互いに素な整数を取っていく
すなわちmを分母にもつ1より小さい既約分数をとっていけば全ての有理数を並べる事ができる

俺も解析系だが…

418 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:36
>>413
>有理数とは、整数に、分数で表される数を追加した数の集まり
>この場合、分数で表される数は、整数で表せない数とする。
らしいんだけど、無限にあるように思われるが。
n/(n+1) (n ≧ 2)
この条件だけだって無限になる。

せめて、もっと詳しい条件(値の範囲なり)付けてくれないと、コーディングできん。

419 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:47
>>418
加算無限って知ってる?

420 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 00:56
>>416
整数nと素数pに対しnの素因数分解にでてくるpの回数を素因子pのnに
おける多重度(=multiplicity)とよぶ。たとえば72における
2の多重度は3,3の多重度は2,5の多重度は0。(素因子としてでてこない
ときは0。)そうすると

 nが平方数⇔任意の素数pに対しpのnにおける多重度は偶数



 (abにおけるpの多重度)=(aにおけるpの多重度)+(bにおけるpの多重度)

をみとめてもらって
aもbも偶数ってことはないので場合分け。
(i)aかbかどっちか偶数のとき
(a,b)=(奇、偶),(偶、奇) いづれにしても a+b,a-bともに奇数。
x=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
奇素数pをとる。xは平方数なのでxにおけるpの多重度は偶数。
もしa+bにおけるpの多重度が奇数とするとa-bにおけるpの多重度も
奇数になる。(たして偶数だから。)そうするとa+b,a-bともに
pの倍数なので2a,2bもpの倍数になる。しかしpは奇数なので
a,bがpの倍数になるけどこれはGCD(a,b)=1に反する。
p=2についてはa+bもa-bも奇数なので特に2の多重度はa+bにおいても
a-bにおいても0。よってどんな素数pについてもその多重度は
a+bにおいてもa-bにおいても偶数。
(ii)aもbも奇数のとき。
奇素数についてはpの多重度はa+bにおいてもa-bにおいても偶数なのは
(i)同様。a+b,a-bが平方数でないとすると多重度が奇数となりえる
のは2しかない。このときa+bとa-bにおける多重度はともに奇数
(たして偶数だから。)このとき(a+b)/2、(a-b)/2における2の多重度は
ともに偶数となる。すると全部の素数の多重度が偶数になる。

421 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 01:09
<<420
420っす。いまよみなおしてみると我ながら恥ずかしい証明だな〜。
場合分けのタイミングとかしかたとかめったヘタ。
適当に直してよんでちょ。
たぶんウソは書いてないけどヘタクソ。

422 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 01:23
GCD(a+b,a)=GCD(a,b)=1 だから
GCD(a+b,a-b)=GCD(a+b,2a)=1or2

423 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 01:32
以下の問題教えて下さい。

aを定数として、次の不等式を解け。
ax-2<a^2*x^2-4<ax+2

424 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 01:45
⇔ -2 < a^2*x^2-ax-4 < 2
⇔ 9/4 < (ax-1/2)^2 < 25/4
⇔ 3/2 < ax-1/2 < 5/2 or -5/2 < ax-1/2 < -3/2
⇔ 2 < ax < 3 or -2 < ax < -1

後はaの符号で場合分け

425 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 03:02
分散を大学で勉強してるのですが、高校で飛ばしたのでわかりません。

統計学で、標準偏差を二乗した物の分散です。(なんか分散にもいろいろあるらしいので・・・

分散とは、どんなものか?何がわかるのか?全然わかりません

426 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 03:29
>>425
ここで勉強↓
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/lecind.html

427 :>431:2001/05/17(木) 08:58
L=2,3,4.........と順次(無限){
p=1,2,3,,, L-1 と順次(有限){
     q=L-p とおいて
     q/p を書き出す
     ただし ガイシュツ はすっとばす
}


}

で 全部の正の有理数を列挙可能。


428 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 09:50
助けてください。

問題1:地表が平面である斜面がある。真東に斜面上の実測で17m進むと高さは8m高くなり、真北へ斜面上の実測で37m進むと高さは12m低くなる。
(1) 斜面上水平となる方向を求めよ。
(2) 斜面上tanが最も急な方向を求めよ。

問題2:地表が平面である斜面がある。斜面上を東へ水平距離に換算して100m進んだら高さが20m高くなり、真東から北へ30度の方向へ水平距離で10m進んだら高さが20m高くなった。
(1) 真北へ100M進むと高さはどれだけ変わるか?
(2) tanが最も急な方向と大きさを求めよ。

誰か教えてください。方向だけでなく、やり方も教えてください。
お願いします。


429 :lim[x→0][1/(x^2) - 1/(tan(x)^2]:2001/05/17(木) 10:24
工学系数学のロピタルの定理のあたりに演習で出ていたのですが、
不定形の呪縛からのがれることができません。ロピタルでは解けないん
ですかね? これは、∞にいきそうですが、lim[x→0][1/x - 1/(tan(x)]は
0に収束しそうな? どなたかご教授おねがいします。

430 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 10:34
>>429
工学系数学には、分数の通分は載ってないの?(w

431 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 10:56
解と係数の関係の一般形ってどんなものですか?

432 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 11:01
>>428
問題1
x = 西<東、z = 南<北、y = 高さ

原点(0,0,0)
東17m(17,8,0)
北37m(0,-12,37)

2ベクトルの外積を求め、法線を得る。
(-12 * 0 - 37 * 8, 37 * 17 - 0 * 0, 0 * 8 - -12 * 17 )
= ( -296, 629, 204 )
よって、西296m、北629、高さ204の方向

上となる方向を足せば良いはずなので、
(17,8,0) - (-(0,-12,37)) = (17,20,-37)
よって、東17m、南37mの方向。(高さ20m)

あってます?

433 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 11:27
>>432
ちょっとまちがってない?
だって“実測で”17mすすむと8m高くなったってことは“水平距離”
では15mすすむってことでしょ?
質問者のレベルを考えてあげると“高さ”を“z”にしたほうが
いいかも。
というわけで東をx、北をy、高さをzにして原点を“現在地”にすると
平面は(0,0,0),(15,0,8),(0,35,-12)を通るので法線は>>432さん
のようにやるか、しかしどう考えても“外積”はつかえなさそうなので
法線ベクトルを(a,b,c)として 15a+8c=0, 35b-12c=0。よって
法線ベクトルとして (-8/15,12/35,1) がとれる。
ということはもっとも急な方向(Fall line)はこの法線ベクトルの
(x,y)平面への正射影をした(-8/15,12/35,0)の方向。
斜面上水平になる方向は Fall line に垂直な方向 (12/35,8/15,0)。

434 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 11:29
>>432
>上となる方向を足せば良いはずなので、

マジカヨ???ネタ?

435 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 11:35
x = 西<東
y = 南<北
z = 高さ

原点(0,0,0)
東100m(100,20,0)
東北30度10m(cos(30゜)*10,20,sin(30゜)*10)

(1)
20mの高さの直線の式を求める
y = a*x + b
>方向き = zの増加量 / xの増加量
a = ( 0 - sin(30゜)*10 ) / ( 100 - cos(30゜)*10 )
b = 0 - a*100 = sin(30゜)*100 / ( 10 - cos(30゜) )

z軸上(南北線上)の20m地点は、x = 0の時のy、すなわちbになる。
後は比例計算で、b : 20 = 100 : 高さ を解けば良い。

(2)
北に100m、東にbmの方向?<自信ネェ

>>433
スマソ、問題1の(2)は完全に寝ぼけました。
>>434
そういうなよ。間違うこともあるっつーの。

436 :429>>430:2001/05/17(木) 11:45
1/(x^2) - 1/(tan(x)^2) = (1 - (x^2)/(tan(x)^2))/(x^2) で
分子分母を各々2回微分しても、∞ * 0 の不定形から逃れられないん
ですけど、根本的になにか勘違いしてますか?

437 :>427:2001/05/17(木) 12:33
>413 へのレスだね
L=2,3,4.........と順次(無限){
p=1,2,3,,, L-1 と順次(有限){
     q=L-p とおいて q/p を書き出す
     ただし p、qが互いに素でないときは はすっとばす
}


}

で 全部の正の有理数を列挙可能。


438 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 12:37
>>436
これもロピタルでとける。一応...
(tan^2x-x^2)/x^2tan^2x と通分して4回微分したまへ。

439 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 12:53
>>435
問題2か?あってはいるみたいだがわざわざ>>433の問題1とちがう
方針でとく必要はないだろ?>>433の方針と同じ方針で平面が(0,0,0),
(100,0,20),(10cos(30゜),10sin(30゜),20)を通るから法線ベクトルは
(-1/5,-√3/5-4,1)がとれるでいいじゃん。(1)も斜面の方程式は
-x-(√3+20)y+5z=0 だから x=0,y=100 のときのzを求めりゃいい。

440 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 14:31
微分の問題とかで
f(x)=x^(1/3)+1のf'(x)は1/3x^(2/3)で極値を求めようとすると
undefined。
でもF(x)=x^2/(x^2-9)のf'(x)は-18x/(x^2-9)^2でx=0が極値。
この二つは何が違うんですか?
だって両方ともxに0入れたら0ですよね?
ここんとこ全然わかってないんです、わかりやすい説明お願いします。

441 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 14:40
>>440
おいおい。f=x^(1/3)+1の導関数は1/3x^(-2/3)だぞ。つまり
f'=1/{x^(2/3)}... ん?>>440 の 1/3x^(2/3) の x^(2/3) は分母に
あるの?... ま、いづれにしても分母=0になってしまうので
undefined。F'(x)のほうの分母は0にならんでしょ?

442 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 14:43
すいません上見間違いです、混乱しまくってるもんで。
分母が0になったらundefinedってことですか?


443 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 14:51
>>442
ま、“だいたい”そんな感じ。正確には“右”微分可能か否かは
lim[h→+0](f(x+h)-f(x))/h が収束するか否か。Fのほうはちゃんと
x=0で0に収束するけどfのほうはx=0で発散する。でも収束のあやしい
ところ以外できちんと“分数”の形みたいにかけてて“あやしい”ところで
分母が0になってるとほぼまちがいなく収束しない。i.e. 微分不能。
でもほんとに定義不能かどうかは上記の極限が存在するか否か
チェックせんとだめ。

444 :429>438:2001/05/17(木) 15:21
どうもありがとう!
2/3 になりました。4回も微分しなければならないとは
気がつきませんでした。ねばりが足りなかったですね。
反省。


445 :名無信者さん:2001/05/17(木) 15:22
三重積の問題
a,b,c:一次従属 ⇔ |a b c |=0
の証明がわかりません。 すべてベクトルです。だれか教えてください。

446 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 15:30
>>445
|a b c |=a・(b×c)
b・(b×c)=0、c・(b×c)=0だから自明

447 :445:2001/05/17(木) 15:41
>>446
どうもありがとうがざいます。

448 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 16:09
数列{αn}を初項4/5,公比2の等比数列,数列{βn}を初項1/5,公比−1/2の等比数列
とする。

(1) n=1,2,3,4,5,のとき、αnの少数部分は?

(2) an=αn+βnの少数部分βnは?

(3) 数列{βn}の初項から第100項までの和の整数部分は?

以上です。 よろしくお願いします

449 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 16:40
>>448
異なる定義でβnが重複してますよ。

数列{αn}を初項4/5,公比2の等比数列
数列{βn}を初項1/5,公比−1/2の等比数列とする。

(1) n=1,2,3,4,5,のとき、αnの少数部分は?
(2) an=αn+βnの少数部分bnは?
(3) 数列{bn}の初項から第100項までの和の整数部分は?

これでいいのかな?

450 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 16:45
yes


451 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 17:05
449さんお願いします

452 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 17:37
x(≧0)の小数部分をS(x)とするとき、S(x+y)≠S(x)+S(y)に注意。(例:x=y=0.5)
本問では「負数の小数部分」が未定義なので「βnの小数部分」という表現を使わないように。

(1)書き出していくとS(αn)の規則性が見える
(2)bn=S(an)=S(αn)+βnを示す
(3)0<Σ[n=1,100]βn<0.2より (Σbn)の整数部=(ΣS(αn)+Σβn)の整数部=(ΣS(αn))の整数部

453 :452:2001/05/17(木) 17:48
>(2)bn=S(an)=S(αn)+βnを示す

これはn=1で成立しない。
注意せよと書いた自分がひっかかってしまった。鬱

454 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 18:14
1+1/2+1/3+1/4+‥‥‥‥
は収束しますか?
また、
1−1/2+1/3−1/4+‥‥‥‥
は収束しますか?
よろしくお願いします

455 :345:2001/05/17(木) 18:18
>>454
しない。
する。

456 :454です:2001/05/17(木) 18:29
>>455さん
A=1+1/2+1/3+1/4+‥‥‥‥
B=1-1/2+1/3-1/4+‥‥‥‥
として、
A/2=1/2+1/4+1/6+1/8+‥‥‥‥
B=A-2*(A/2)=0
であってますか?

457 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 18:59
>>456
全然だめ
A=∞だから
それではB=∞-∞だよ

458 :名無しさん@お腹いっぱい。:2001/05/17(木) 19:04
五目並べで、
先手が勝つパターン
後手が勝つパターン
決着がつかないパターン
は、それぞれ何パターンづつあるか、求めることってできますか?
とても知りたいです。
15*15の盤です。

459 :再び454です:2001/05/17(木) 20:03
>>457さん
ではどうやって出すのでしょうか
Aが無限大になる理由も教えてもらえるとありがたいのですが

あと、禁止問題っていうのはどういったのがありますか?
0^0とか0!の他に教えてもらえたら嬉しいです

460 :455:2001/05/17(木) 20:07
>>456
(1)A=1+1/2+1/3+1/4+・・・とする。
(1)の答えはA=∞である。
(1)より、1/2+1/4+1/6+1/8+・・・=1/2(1+1/2+1/4+1/6+・・・)=∞

461 :460:2001/05/17(木) 20:11
>>459
460は無視してくれ。君の発言を誤解してた。

462 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 20:12
>>460
???

463 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 20:18
>>462
かちゅーしゃ使え。

464 :392,393:2001/05/17(木) 20:26
>406
どうもありがとう、感謝します。

465 :460:2001/05/17(木) 20:27
>>459
∫[0,∞]1/xdx=∞

466 :454:2001/05/17(木) 20:35
むしろΣではないのですか?

467 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 20:38
>>432
>>433
どうもありがとう。

468 :428:2001/05/17(木) 20:41
>>432
>>433
どうもありがとう。
問題1は高校生でもできるって、書いてあったんですけどできるんですか?


469 :(゚д゚)ウマー:2001/05/17(木) 20:45
y=tan -1 (1+x)/(1-x)
-1 は逆三角関数の-1です。
y=log(x+√x^2+3)
√のかかる範囲はx^2+3です。
この2つの式を微分すると、どうなるか教えてください。
お願いします。

470 :460:2001/05/17(木) 21:05
>>466
不等式の評価

471 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 21:21
有り難うございます、何となく分かる気がしました。
後でやってみます。
もう一つ1-1/2+1/3-1/4+‥‥‥‥
のほうもよろしくお願いします。

それともう一つ他スレで見たのですが
1+2+3+4+‥‥‥‥=−1/12
というのは本当ですか?
おいらには分かりません(泣

472 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/17(木) 21:59
>>471
1-x+x^2-x^3+・・・+(-x)^(n-1)={1-(-x)^n}/{1+x}
の両辺をxで0からxまで積分すると
x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-・・・+(1/n)(-x)^n=log(1+x)
                         -(-1)^n{∫[x=0,x](x^n)/(1+x)dx}
あとは残った定積分を評価してn→∞としてください

473 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:03
>>471
      〜-、
     / ̄ l |   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
    ■■-っ < んなこたーない
    ´∀`/    \_____
   __/|Y/\.
 Ё|__ | /  |
     | У..  |

474 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:28
平面上の点Oを中心とする1辺の長さrの正六角形ABCDEFに関して、初め△OABの
位置にある△XYZを次のように動かす。
つねに△XYZ≡△ABCであり、かつ頂点Xはこの正六角形の内部を動き、頂点Y,Zは
ともに正六角形の周上すべてを動く。
このとき、点Xの軌跡を図示せよ。
また、点Y,Zがともに正六角形の周を1周するとき、点Xの通過する道のりを求
めよ。

上の問題がわかりません、、
二日ほど考えているのですが・・・
よろしくお願い致します

475 :数学素人です:2001/05/17(木) 22:40
すみません。
微分です。

f(x)=(x*y^2)/(x^2+y^2)
偏微分が(0,0)で偏微分可能かを調べるという問題なのですが、
変数xについての(0,0)での偏微分可能ってことを示すだけでいいのでしょうか?
変数yについての(0,0)での偏微分可能ってことを示さなければいけないのでしょうか?
一応 lim[h→∞0] {f(x+h)-f(x)}/hで
計算はして極限の存在をしらべて、変数xでもyでも可能ってことはわかりました。

あと、このf(x)が(0,0)で連続の証明方法がまったくわからなくてこまってます。

よろしかったら先輩がたおしえていただけませんか?

476 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:45
f(x,y)の間違いでない?

477 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:47
問 題
次の□の中に入る数字を求めよ
8 18 36 □ 77


478 :数学素人です:2001/05/17(木) 22:49
>476さんへ

f(x,y)です。
すみません。
まちがえました

479 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:53
>>475
極座標…

480 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:55
教えてください。微分方程式の問題です。

ある国の人口が50年で2倍になるとすると、増加率が住民の数に比例するという仮定のもと、
何年で3倍になるか。

481 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 22:59
>>474
う、、むつかしい

482 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/17(木) 23:03
>>480
dN(t)/dt=kN(t)
解は
N(t)=N_0 * e^(kt)
あとは適当に

483 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:13
>482
ありがとうございます。
何となく解けました。答えは50log{2}3になるのかな?

484 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:28
三角形ABCの各辺をm等分し、そこからそれぞれの辺に平行になるような線を引く。
m*m個の三角形ができる。
頂点Aには0を、頂点Bには1を、頂点Cには2を。
辺AB上の分点には0or1を、辺CD上の分点には1or2を、辺CA上には2or0をつける。
また平行線の交点には0or1or2をつける。
このとき分けられた三角形のうち頂点についた数字が1,2,3になっているものが
奇数個であることを示せ。

意味が分かりづらくて申し訳ありません。
しばらく考えてるんですけどめどが立ちません。
教えていただけないでしょうか。

485 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:32
>>474

平面上の点Oを中心とする1辺の長さrの正六角形ABCDEFに関して、初め△OABの
位置にある△XYZを次のように動かす。
つねに△XYZ≡△ABCであり、かつ頂点Xはこの正六角形の内部を動き、頂点Y,Zは
ともに正六角形の周上すべてを動く。
このとき、点Xの軌跡を図示せよ。
また、点Y,Zがともに正六角形の周を1周するとき、点Xの通過する道のりを求
めよ。

とりあえず予選決勝法とファクシミリでいけないだろうか?
ちょっと俺にはとけない、、すまん
修行しなおすぜ


486 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:33
>>484
>m*m個の三角形ができる。

できないような気が…

487 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:41
>>486
いやできるんだって。
おそらく俺の書き方が悪いから伝わってないんだろうけど・・・
(mの2乗)個ね。1つの分点からは2本の平行線を引くことになるんで。
m=2の時は4個の三角形ができるというわけね。

意味が分かりづらくて申し訳ない。

488 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/17(木) 23:43
>>483
そうですね

489 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:52
ついでに
CD上の分点には1or2
ってBC上でしょ

490 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:57
>>489
そうです。
ご指摘ありがとうございます。+申し訳ありません。

491 :132人目の素数さん:2001/05/17(木) 23:57
>>489
そうです。
ご指摘ありがとうございます。+申し訳ありません。

492 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 00:12
積分区間を[−∞,∞]→[−1,1]
に変換するにはどうすれば?
ガウス・ルジャンドル(数値計算)で使います。
F(t)=f(x)のカタチで示してくれるとありがたいです。

493 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 00:21
>>492
そんなんも分からない奴が、ガウス・ルジャンドルなんて計算してるの?
嫌な世の中になったものだねぇ

494 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 00:25
ベクトル解析のお勧め教科書・演習書ってありますか?


495 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 01:01
>>484
帰納法

496 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 02:05
帰納法でいける?
k等分してたものからk+1等分の示し方が謎です。
申し訳ないです。

497 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 03:05
今ラウンジで
「SEXというIDが出るまでがんばるスレ!!PART2」
http://corn.2ch.net/test/read.cgi?bbs=entrance&key=990113430
というのをやってます。
で、八文字のIDの中に大文字で「SEX」と出る確立はどれくらいでしょうか?
彼らがあまりに不憫なので気になりました。教えて下さい。

注意
・IDは全部で八文字、アルファベット大文字・小文字と数字、
 あとピリオド、スラッシュが使われるみたいです。
・生成の法則がわかんないので、確立は全くのランダムってことでお願いします。
・よければ計算式も教えて下さい。

498 :?P?R?Q?l???f?????:2001/05/18(金) 03:07
>>497 1/(10^(10^10))

499 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 03:23
>>498
ウソツキ…

500 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 03:39
>>497
アルファベット大文字=26種類
アルファベット小文字=26種類
数字=10種類
ピリオド+スラッシュ=2種類
合計64種類
8文字に64種類の文字を使用すると、
64の8乗=281兆4749億7671万0656通り
8文字の中に3文字は6ヶ所置けるから、
求める答えは、
6÷281兆4749億7671万0656
です。

501 :500:2001/05/18(金) 03:45
間違えた・・・

502 :500:2001/05/18(金) 03:57
>>497
アルファベット大文字=26種類
アルファベット小文字=26種類
数字=10種類
ピリオド+スラッシュ=2種類
合計64種類
8文字に64種類の文字を使用すると、
64の8乗=281兆4749億7671万0656通り
SEX以外の5文字は、
64の5乗=10億7374万1824通り
8文字の中に3文字は6ヶ所置けるから、
求める答えは、
10億7374万1824×6÷281兆4749億7671万0656
=6÷262144
=43690.66666分の1

これでいいかな?

503 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 04:06
>>502
(゚Д゚)ハァ?

504 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 05:10
>>497
\を任意の文字として
IDが"SEX\\\\\"となる確率;(1/64)^3=(1/2)^18
{S,E,X,\,\,\,\,\}の並べ方;8*7*6=21*2^4

∴21*(2^4)*(1/2)^18=21/2^14≒1/780

あれ?こんなもん?
さらに大/小文字関係無いなら8倍で約1/100?

505 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 06:10
>>474
>初め△OABの位置にある△XYZを次のように動かす。
>つねに△XYZ≡△ABCであり

△OABと△ABCは合同ではないのでどちらかが間違いのはず。
「つねに△XYZ≡△ABC」が正しいとすると
頂点Xの軌跡は正六角形の外部になってしまうので
「つねに△XYZ≡△OAB」が正しいとして
複素平面上に以下の様に点を配置する。

r=1
O=0
A=1
B=(1/2)+(√3/2)i
C=-(1/2)+(√3/2)i
BY=tBA (0<=t<=1)
BZ=sBC (0<=s<=1)

|BY|=2t , |BZ|=s
YからBCに降ろした垂線の足をHとすると
(|BZ|+|BH|)^2+|HY|^2=|ZY|^2より
(s+t/2)^2+((√3)t/2)^2=1
s=(-t+√(4-3t^2))/2
つづく

506 :505:2001/05/18(金) 06:12
YZ=-√(4-3t^2))/2+((√3)t/2)i
YX=YZ*(cos(π/3)+isin(π/3))
OX=OY+YX=略=((2-t-√(4-3t^2))/2)OB ←ビックリ!

f(t)=(2-t-√(4-3t^2))/2とすると
2f '(t)=-1+(3t/√(4-3t^2))
2f '(1/√3)=0
-0.154≒f(1/√3)=(3-2√3)/3<=f(t)<=0

OX=f(t)*OBより
YとZが正六角形の外周を一周すると
Xの軌跡はまさに”*”型になる。
道のり=12r|f(1/√3)|=(8√3-12)r

YがAからBに動くときに頂点Xが直線OB上に来ることは
計算なしに示せると思うけど、道のりは無理かな?
続きは他の人に任せます。

507 :505:2001/05/18(金) 06:27
f(t)が最小になるのはYZ//ACのとき

YZとOBの交点をGとすると
XB=OX+OB=GB+GX
OX=GB+GX-OB=(2/√3)-1=|f(1/√3)|

幾何のみで示せそうです。

508 :505:2001/05/18(金) 07:02
参考図
http://r1.ugfree.to/~angriff/up1/585.jpg

509 :504:2001/05/18(金) 07:59
勘違いしてた。
SEXって3文字がこの順番で並んでないといかんのか。

IDが"SEX"(大文字限定)から始まる確率;(1/64)^3=(1/2)^18
"SEX"の並びがどこかに出現するパターン;6通り

∴6*(1/2)^18≒1/43691(小文字限定も同様)

大文字小文字を区別しないなら
8*6*(1/2)^18≒1/5461

510 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 12:53
W(α)={x|(αIーT)x=0}、Tは線形変換で
W(α)≠{0}⇔α=固有値を解いていただけないでしょうか?
お願いします。

511 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 13:20
>>510
自明

512 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 13:43
階乗の階乗、n!!はなんと読んだらいいんでしょう。


513 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 13:53
>>512
n!!は階乗の階乗ではなくて奇数だけ偶数だけの階乗
(n!)!とは違うよ

514 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 13:56
なるほど…勘違いしてた。でなんと読めばいいんですか?>n!!
同様に、(n!)!は?


515 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 18:03
不躾な質問で申し訳ありませんが、
射影多様体の基本群の計算方法に
一般論があるのでしょうか?
ご存知でしたら教えてください。

516 :Grothendieck:2001/05/18(金) 18:37
>>515
KAWAMATAに聞いてくれ

517 :132人目の素数さん :2001/05/18(金) 19:50
この虫食い算がわかりません。答えは1通りだそうなんですが、
ヒントなどいただけないでしょうか?

     □□9□□□□
   * □□□□□9□
    _________
      □9□□□□
    □□□□□9□
    □□9□□□
   9□□□□9
 □□□□9□□
 □9□□□□
_____________
 □□□□□□□□9□□

518 :517:2001/05/18(金) 19:54
ずれてしまいました。修正します。■には9が入ります。

     □□■□□□□
   * □□□□□■□
    _________
      □■□□□□
    □□□□□■□
    □□■□□□
   ■□□□□■
 □□□□■□□
 □■□□□□
_____________
 □□□□□□□□■□□

519 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 20:05
そろえるのに■
式の空欄に□
をつかって整形すればいいとおもわれ

520 :517:2001/05/18(金) 20:07
大変すみません。修正します。
      □9□□□□
   *  □□□□9□
    _________
      □9□□□□
    □□□□□9□
    □□9□□□
   9□□□□9
 □□□□9□□
 □9□□□□
_____________
 □□□□□□□□9□□


521 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 20:11
n個(n≧2)の点があり、
どの2点間にも一方向にのみ矢印が引かれている。
このとき、適当な1点をとれば、
  他のn-1点へ、高々2本の矢印を通ってたどり着くことができる

これを証明してください。


522 :517:2001/05/18(金) 20:14
どうやってもずれてしまうのでしょうか・・・
荒らしみたいですいません。・・


       □□■□□□
      *□□□□■□
       □■□□□□
     □□□□□■□
     □□■□□□
    ■□□□□■
  □□□□■□□
  □■□□□□
= □□□□□□□□■□□

523 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 20:14
■■■■■■□○□□□□
■■■*■■□□□□○□
    _________
■■■■■■□○□□□□
■■■■□□□□□○□
■■■■□□○□□□
■■■○□□□□○
■□□□□○□□
■□○□□□□
_____________
■□□□□□□□□○□□

○は9

でいいですか?
>>520

524 :517:2001/05/18(金) 20:19
>>552の図
6桁*6桁の掛け算です。


525 :517:2001/05/18(金) 20:22
>>519>>523 やっと意味がわかりました。ありがとうございます。

■■■■■■□□○□□□
■■■*■■□□□□○□
    _________
■■■■■■□○□□□□
■■■■□□□□□○□
■■■■□□○□□□
■■■○□□□□○
■□□□□○□□
■□○□□□□
_____________
■□□□□□□□□○□□

 ○は9

 です。

526 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 20:39
>>524>>525が微妙に違う問題になってるよ
525が正しいの?

527 :526は間違えた:2001/05/18(金) 20:41
>>523>>525が微妙に違う問題になってるよ
525が正しいの?

528 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/18(金) 21:00
>>521
induction on n
n=2のとき明らか
n=kで成立と仮定
n=k+1のとき
k+1個のうちのk個の点を選んだとき、その中には
題意の「適当な点」が1つ存在する、これをAと呼ぶ
また、矢印を2本を通るとき経由する点があり
これをB_1、B_2、・・・、B_mと呼ぶ
次に、k+1個目の点をとり、これをCと呼ぶ
a) AC上の矢印がAから順方向のとき、題意は満たされる
b) AC上の矢印がAから逆方向のとき、
  b-i)B_1からB_mのうちどれかからCへ順方向の矢印が
  少なくとも1本引かれる場合、
  Aを題意の「適当な点」として題意は満たされる
  b-ii)B_1からB_mすべてにCから順方向の矢印が引かれる場合
  Cを題意の「適当な点」として題意は満たされる

以上あわせて、題意は示された

529 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/18(金) 21:03
>>528
本文9行目
× 次に、k+1個目の点をとり、これをCと呼ぶ
○ はじめにk個選んだとき残った1点をCと呼ぶ

530 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/18(金) 21:11
より簡潔に

induction on n
n=2のとき明らか
n=kで成立と仮定
n=k+1のとき
k+1個の点のうちk個の点を選ぶと、その中には
題意の「適当な点」が1つ存在する、この点をAと呼び
矢印を2本を通るとき経由する点をB_1、B_2、・・・、B_mと呼ぶ
また、残った1点をCと呼ぶ
i) A及びB_1、B_2、・・・、B_mのうちどれかからCへ順方向の矢印が
少なくとも1本引かれている場合、Aを題意の「適当な点」とすれば
題意は満たされる
ii) A及びB_1からB_mすべてにCから順方向の矢印が引かれる場合
Cを題意の「適当な点」として題意は満たされる

以上あわせて、題意は示された

531 :132人目の素数さん:2001/05/18(金) 22:28
>>484
>このとき分けられた三角形のうち頂点についた数字が1,2,3になっているものが
>奇数個であることを示せ。
示せません。3はひとつもないので0個です。

0,1,2になってるのなら奇数個です。
以下各平行線の交点を“格子点”とよぶことにして

補題 Pを内部の格子点とするときPのまわりの6点のなす六角形の辺のうち
0−2型の辺の個数と1−2型の辺の個数の奇偶性はひとしい。
∵)2がひとつもなければあきらか。2があるとしてそこから6角形の周を展開して
2−*−*−*−*−*−2とする。0−1、0−2型の辺のまんなか1/3を
とりのぞいてできる幾つかの線分のうち2がのってない線分も消してしまうと
(残った線分の端点の数)=(1−2型の辺の数)+(0−2型の辺の数)+2なので
主張を得る。

主張 0−1−2型の三角形の数は奇数個である。
∵)内点の0以外の点の個数に関する帰納法。全部0ならそれはBC上の1−2の
数なので奇数個。n個までならよいとしてn+1個のときどっかに1か2がある。
1として一般性をうしなわない。1のまわりの六角形をかんがえる。
この1を0にとりかえると

 元の0−1−2型の三角形の数
 =六角形のまわりの0−2型の辺の数
 ≡六角形のまわりの1−2型の辺の数 (mod 2)
 =とりかえたあとにできる0−1−2型の三角形の数

から0−1−2型の3角形の数の奇偶性はかわらない。一方それは帰納法の仮定
よりそれは奇数である。よって主張はしめされた。

532 :521:2001/05/18(金) 22:32
>>528 >>529 >>530
おおっ、すごい!
ありがとさんです。

533 :132人目の素数さん:2001/05/19(土) 00:30
頼むから虫食い算でスレッドを荒らさないでくれ
以前もあったと思うが、こういうパズルは自分で解いてニヤリとするものであって
人に聞くものではない

534 :517:2001/05/19(土) 00:38
>>527
そうです。525のほうです。
>>533
すいません。どうしても解けなかったもので。

535 :132人目の素数さん:2001/05/19(土) 00:57
>>534
答えを見れ
答えの載ってない虫喰い算なんてすておけ(w

536 :tr:2001/05/19(土) 02:30
>>534 = 517 さん
□ に 9 が入ってもいいのかなぁ.. -> 139777*597395

537 :484:2001/05/19(土) 05:20
>>531
どうもありがとうございます。
問題を何カ所も間違えてしまいご迷惑おかけしました。


538 :132人目の素数さん:2001/05/19(土) 08:48
■■■■■■□□○□□□
■■■*■■□□□□○□
    _________
■■■■■■□○□□□□
■■■■□□□□□○□
■■■■□□○□□□
■■■○□□□□○
■□□□□○□□
■□○□□□□
_____________
■□□□□□□□□○□□

 ・


       □□■□□□
      *□□□□■□
       □■□□□□
     □□□□□■□
     □□■□□□
    ■□□□□■
  □□□□■□□
  □■□□□□
= □□□□□□□□■□□



539 :132人目の素数さん:2001/05/19(土) 15:44
算数オリンピックのポスターに載っている去年のファイナル問題の解き方教えて

正方形PQRSが3点で外接する三角形ABCがあって、辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rがある。
AP=7cm,PB=6cm,BQ=QC,CR=2cm,RA=7cmのとき、正方形PQRSの面積を求めよ

できるだけ小学生的な方法でね

540 :y^2=x^3+ax+b:2001/05/19(土) 16:36
>>539
調べてきたけどRA=9cmのまちがいです

541 :127人目の素数さん:2001/05/19(土) 23:09
わからないのでおしえてください
(理由も)

1 6 6 11 16 32 37 42 ?
?に当てはまる数字は何か

542 ::2001/05/19(土) 23:13
覆面算
英語×国語=古文漢文
教えてください

543 :132人目の素数さん:2001/05/19(土) 23:25
>>542
語×語≡文≠語 (mod 10)だから
文は4,6,9のいずれか。

ここから先がわからない。「7つの文字が異なる」 「文=4,6,9」の条件から
150個程の式を書き出したら唯一の解、23×83=1909が見つかった。

544 :訂正:2001/05/19(土) 23:27
誤  7つの文字が異なる
正  6つの

545 :517:2001/05/19(土) 23:45
>>536
trさん。ありがとうございました。


546 :数列はなんでもアリ:2001/05/20(日) 00:23
>>541
?=74
∵階差数列=5+{-5+16(n-2)/3}[|cos(2(n+1)π/3)|] (|x|は絶対値,[x]はガウス記号)

てゆーか問題はそれで合ってます?

547 :tr:2001/05/20(日) 00:42
>>541 さん
適当にルールをでっちあげ。(笑)
+5, *1, +5, +5, *2, +5, +5, +5, *3, …

548 :今年の予想:2001/05/20(日) 01:18
ある物体の空気中で測った重さをMグラム、水中で測った重さをN
グラムとする。M,Nの測定にそれぞれΔM、ΔNの誤差があるとき、
密度ρのごさΔρは、Δρ=(-NΔM+MΔN)/(M-N)^2によって
近似されることを示せ。
とゆー問題なんですけど教えてください。ちなみに分野は微分です。
ヒントはアルキメデスの浮力原理と書いてあります。

549 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 01:32
>>548
体積をVとおいて
 V=M-N
っちゅうのがアルキメデスの浮力原理だったっけ?もわすれた。
だとすると
 Δρ
 =∂ρ/∂MΔM+∂ρ/∂NΔN
 =-N/(M-N)^2ΔM + M/(M-N)^2ΔN
となるんではなからうか?

550 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 01:33
添削おねがいします

Prop. 写像f:Y→X g:X→Y に対して
f・g:X→Xは恒等変換 かつ g・f:Y→Yは恒等変換
ならばfは全単射

Proof
f・gはX上の恒等変換よりfの値域=f・gの定義域X
よってfは全射。
fが単射で無いと仮定すると
∃x,y∈Y x≠y⇒f(x)=f(y)
よって
∃x,y∈Y x≠y⇒g・f(x)=g・f(y)
これはg・fが恒等変換であることに矛盾する
よってfは単射
以上よりfは全単射である

551 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 01:35
>>548-549
あれ?かきわすれた
 ρ=M/V=M/(M-N)
これを M と N で偏微分するだけね。

552 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 02:00
>>550
添削してもいいの?気悪くしないでね。
>fの値域=f・gの定義域
これちょっとヘタクソ。これやっぱり
fの値域⊃f・gの値域...(*)
という恒真式とf・gの値域=Xからfの値域=X
といく方がsmart。なぜかは将来“category”というのを
勉強するとわかるけど、これは
 f・gが全射⇒fが全射
という事実が背景にある。このことを保証してくれているのが
(*)なのでこれをおさえておくほうがBetter。
あと数学界には“背理法拒絶教”という信仰があって極力背理法を
つかわないほうがよい。そこでfの単射性の論述も
 f(x)=f(y)とする。
 このときgf(x)=gf(y)。
 gfは単射なのでx=y
としたほうがよい。この証明もじつは
 g・fが単射⇒fが単射...(**)
ということをおさえている。(*),(**)は“写像”のもっている
大変重要な性質なのでおぼえとくといいかも。

553 :552:2001/05/20(日) 02:05
>>550,>>552
まちげ〜た。(*)は
 f・gが全射⇒fが全射...(*)
のこった。

554 :552:2001/05/20(日) 02:16
>>550,>>552-553
ありゃ?やっぱおかしいや。もと記事の(*)はそのままでcategorical
に重要ってのが
 f・gが全射⇒fが全射

 g・fが単射⇒fが単射
の2つ。まあ大目にみてやってちょ。

555 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 02:52
>>552
>あと数学界には“背理法拒絶教”という信仰があって極力背理法を
>つかわないほうがよい。

これについて詳しく推していただけませんか?


556 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 04:11
サイン波の場合、周波数が同じなら振幅や位相が違っても
重ねあわせればサイン波になることを示せ。という問題です。
和積の公式を使えばいいよっていわれたんですが分かりませんでした。
ヒントだけでもいいので誰か教えてください。お願いします。


557 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 04:15
>>556

合成公式をつかえ
A*sin(ωt)+B*sin(ωt+δ)

558 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 04:34
合成公式のほうが難しそうなのですが・・・。

559 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 04:45
>>558
AsinX+Bsin(X+Y)
=AsinX+BsinXcosY+BcosXsinY
=(A+BcosY)sinX+(BsinY)cosX
=CsinX+DcosX (C=A+BcosY , D=BsinY
=Esin(X+Z) (E=√(C^2+D^2) , sinZ=D/E , cosZ=C/E)

560 :今年の予想:2001/05/20(日) 11:28
>549
どーもありがとうございました。

561 :ドキュン学生:2001/05/20(日) 12:02
有限次代数体Kのアデール化はKpのOpに関する制限直積でそれをKAと表すとすれば
OAってのはどういう意味なんでしょうか?

(OはKの整数環 pは素点)



562 :132人目の素数さん:2001/05/20(日) 14:05
>>561
わたしも最近“数論”の勉強をはじめたドドキュソです。この質問の
意味すらわかりません。森田先生の教科書をいましらべてみたんですが
OAってのはこの教科書にものってません。そちらの教科書でのOAの
定義ってなんですか?

563 :550:2001/05/20(日) 14:30
>>552
単射の定義は証明に使いやすいから f(x)=f(y)⇒x=y
という形で覚えろと良く言われてたのですがうまく使えませんでした。
こうするんですね。
categoryというのはGrothendieckのcategory論ですか
ちょっと話は聞いています。すごいスピードで論文書いたんですよね。
(*)覚えておきます。
美しい証明をありがとうございます。

564 :ドキュン学生:2001/05/20(日) 15:09
>>562
教科書で見たわけではなく何かの本(プリントだったかもしれない)で見たのです。
定義はのってませんでした。岩波数学辞典を見てもよくわからなかったので聞いてみたのです。
環RがK上の多元環(他にも条件が必要かも)だったらRAはRとKAのK上のテンソル
でいいと思うのですがKの整数環ではそうは出来ないのでわからなかったのです。

ところで森田さんの本とは東京大学出版の整数論ですか?

565 :562:2001/05/20(日) 15:42
>>564
>ところで森田さんの本とは東京大学出版の整数論ですか?
そうです。うちの大学には数論の研究室があるわけでなし、だいたい
私自身幾何の研究室なので代数は他の院生さんと“自主ゼミ”で
院生さんにならってる程度なのでほんとにききかじった程度の知識しか
ないのですが、きちんと数論の研究室のある大学の学生さんはどうゆう
勉強をされてるのか大変興味ぶかいです。
そんな話はさておき、そのOAってのはどういう文脈のなかででてきたの
ですか?KAはKの“アデール”ですよね。O自身も“アデール”とよべる
ようなものをもっているのでしょうか?なんとなくよくわからない
です。もしよろしかったらどんな文脈ででてきたかだけでも
教えてください。

566 :ドキュン学生:2001/05/20(日) 16:08
>>565
いやあ恥かしいことに内容は全然理解してないんです。英語の本でしたので語学の問題も
多少はあると思いますが・・・
たしかKAからQAへのノルム写像のカーネルをKA^1と表した後にOA^1という記号が出て
きたと思います。
僕はまだどういう方向に進むかは決めてないので特に数論の勉強ということはしてないです。
まあ興味はありますが。今は森田さんの本で手一杯です。

567 :562:2001/05/20(日) 16:25
>>566
う〜ん。わからない。とりあえずノルム写像のあたり(積公式のあたり)
をよみかえしてみても該当しそうな概念がみつかりませんね。
もう私は撤退します。でもここには Eisenstein級数のスレがあった
ぐらいですからきっと何人かは専門家もいると思います。その人たちの
レスを期待してわたしはROMモードにはいります。もし2ch以外の
場所で判明したらぜひぜひ概略だけでもカキコしてください。

568 :名無しさん:2001/05/20(日) 22:30
AB=120、BC=122の長方形ABCDがある。
AB、BCに接する半径20の円と、AB、DAに接する半径rの円があるとき、
この2つの円に外接し、CDに接する円の半径が50であった。
rはいくつか。

569 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 04:19
>>568
きたない解になった。問題が悪い。
AB=187、BC=126に直せば整数解を得る。

570 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 11:51
>>568-569
ほんとだ。なんだこの問題。こんな問題やらす教師のほうがわるい。無視すべし。

571 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 12:22
>>568-570
もしかしてBC=112じゃないか?それだとまだまし。
>>568の返答もとむ。

572 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 16:43
有理数の閉包と内部を教えてください。

573 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 16:59
>>572
閉包=実数全体
内部=φ

574 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 17:49
>>572,573
有理数をどんな位相空間の部分空間と見なすのか明示しないと
閉包とか内部とか考えることはできないぞ。


575 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 17:52
>>574
まぁまぁ自然なのでいいじゃないですか、

576 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 18:44
たとえばQのsubspaceとしてのQの閉包はQ。
「自然なの」って何だよ……

577 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 18:54
命題「pならばqである」
の否定は
「pならばqでない」
でいいんでしょうか?

578 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 19:00
>>577
違いますよ。

579 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 19:05
>>577
いくないよ。

580 :579:2001/05/21(月) 19:07
あら、かぶっちった。スマソ。

581 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 19:49
>>577
良くない。

582 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 20:10
>>577
だめ

583 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 20:13
>>577
ちゃうなあ。

584 :577:2001/05/21(月) 20:15
あぁ、やっぱりちがうんですね。
正しくはどうなるんでしょうか?

「qでないならばpでない」
でもない・・・ですよね。

585 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 21:12
>>577

「pならばqである」は
「pでないかまたはqである」と同値であることに注目せよ。


586 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 21:20
>>584
それは同値。対偶。

587 :≠577:2001/05/21(月) 23:09
「全ての命題は偽である」みたいな命題の矛盾性はどうやって回避するのですか?

588 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 23:14
>>587
回避って?
命題は真偽を定めることができるものだから
真とは限らないから、そういうのは矛盾出たら偽ってことじゃないの?

589 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 23:16
1+1=2を証明しなさい。
これが1年生のころやった問題だった。
数学科じゃないからわけわからんかった。

590 :132人目の素数さん:2001/05/21(月) 23:21
「全ての命題は偽である」が偽 → 全ての命題は真
という手順は間違いてことですか?排中律とかではなくて。

591 :572:2001/05/21(月) 23:45
>573,574
ありがとうございます。
ただ有理数と言うことだったので普通ので良いと思います。

592 :大日本帝王:2001/05/21(月) 23:59
あのう、この問題を解くに当たって息詰まってしまったのですが、
解説していただけないでしょうか。

(1)次の各々に答えよ。
   1.kが偶数のとき、k^2を4で割った余りを求めよ。
   2.kが奇数のとき、k^2を4で割った余りを求めよ。
(2)kが奇数のとき、k^2を8で割った余りを求めよ。
(3)a^2+b^2+c^2+d^2=64 を満たす正の整数a,b,c,dの値を求めよ。

まず、 (1)は分かりました。 偶数は2nと表せ、また奇数は2n+1と表せるので、
あまりは0.1と順になりますよね。
ところが、 (2)がよく分かりません。 8で割るときに、文字式のわり算の中で、0.5n^2とかを使っていいのでしょうか。
教科書ガイドや参考書を見ましたが、やり方が乗っていないので困っています。
実は簡単な問題でしたらすみません。
(3)は、この (1)、 (2)を用いて条件式をつくるのだと思うのですが・・・・
やはり (2)がわからないと始まらないので、どなたか解説お願いします。。

593 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 00:11
4n^2+4n は8で割り切れるを示してもいいし、
上がわからないなら、奇数は8n+1,8n+3,8n+5,8n+7の形をしてるから
それぞれについて8で割った余りを考えればよい。

594 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 04:40
問題が証明問題じゃないんだから適当な定数当てはめて求めただけでいいじゃん
(3)もすべてとか言ってないんだからぱっと浮かぶA=B=C=D=4と単純に考えればいいじゃん
難しく考えすぎ、つうか出題が変

595 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 04:47
>>594
明記してなくてもこの場合は全てという意味だろ?
(1)(2)を使えば(3)がかなり簡単な式になるんだからさ

596 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 07:08
Kを体、f(x)∈K[x]を既約多項式とするとき、イデアル{f}によって
L=K[x]/{f}は体となる。π:K[x]→Lという自然写像が定義される。
xの剰余類をαとしたとき、L=Im(π)=K[α]は体であるから、K(α)=K[α]。
よって、K[α]の元はg(α)の形に表される。

「L=Im(π)=K[α]は体である」ってところがわかりません。K[α]と結べる
ところがなんとも・・・です。
よろしくお願いします。


597 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 09:03
>>596
>Im(π)=K[α]
K[x]→K[α]を考えろ。

598 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 09:30
三角形の底辺1m、その辺に垂直な辺1.5m
残り2つの角は何度になるのでしょうか?
数式あったら教えてくだされ、先生方

599 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 10:23
>>596
おぼえておこう。(単位元をもつ)体から環への環準同型は単射しかない。
これ頻出。本問に適用すれば L→Im(π) は体から環への環準同型だから
単射。一方あきらかに全射。ゆえに同型。

600 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 10:29
>>596,>>599
うん?カキコしたあとちみの記事よみなおしてきづいたけどちょっと
おかしいぞ。その証明は“任意のK(α)の元 x は多項式 g(T)∈K[T]
をとって g(x) の形にかける。”のだろ?まあ、どうちでもいいけど。

601 :>598:2001/05/22(火) 12:41
56.30993247402 度
もう 一方は 90度からこれをひく。
図を書いて測ればわかるよ。(ネタ)



602 :>598:2001/05/22(火) 13:24
601のつづき
  あえて 式を書くなら ArcTan(縦の辺/横の辺)

603 :598:2001/05/22(火) 16:02
この手の知識は、生活していて使う機会が無いもので
こんなことも分からなくなってしまいました。

601さんありがとう。これを機に、もうちょと勉強してみるよ


604 :577:2001/05/22(火) 16:37
あのぉ、結局
「pならばqである」の否定はどうなるんでしょうか?
教えて下さい。

605 :>:2001/05/22(火) 16:43
pならば q とは (NOT P) OR (P AND Q)
のこと
pならば q の否定は Not ( (Not p) OR (p AND q))
これを整理し
p AND Not( p AND q)
= p and (Not p or Not q)
= p and (Not q)

P かつ (Qではない)



606 :>:2001/05/22(火) 18:41
もっと簡潔には 天地真理値を表を書くといい
P Q P->Qが成立
--------------------
T T ○
T F ×
F F ○
F T ○

P->Q の否定とは 上の表の×の行の全部の和
(この場合は1個しかないが)
すなわち P=true,Q=Falseのみなので
P かつ Not Q



607 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 19:10
誰か助けてください。

問1:In=(0 ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
問2:Dn={(x,y)∈R^(2)|(x-1/n)^(2)+y^(2)<1/n^(2)}とするとき、∩Dn、はなんですか

r>1/n
rnot∈In
rnot∈∩Inとなり、空集合であってますか?
問2はアルキメデスをどう使ったらいいんですか?おしえてください。
お願いします。
>>275
>問2
En={(x,y)∈R^(2)|0<x^(2)+y^(2)<1/(2n)^(2)}とおくと
Dn⊂En だから ∩Dn⊂∩En。明らかに∩En=φだから∩Dn=φ。

これは大きい円に小さい円が含まれてるから正しいのですか?
小さい円と重ならないとこは考えなくてよいのですか?

608 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 19:12
誰か助けてください。

問1:In=(0 ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
問2:Dn={(x,y)∈R^(2)|(x-1/n)^(2)+y^(2)<1/n^(2)}とするとき、∩Dn、はなんですか

問1は、0not∈Inなんで 0not∈∩In
任意の実数r(≠0)について、アルキメデスの原理より
rn>1となる自然数が存在する。
r>1/n
rnot∈In
rnot∈∩Inとなり、空集合であってますか?
問2はアルキメデスをどう使ったらいいんですか?おしえてください。
お願いします。
>>275
>問2
En={(x,y)∈R^(2)|0<x^(2)+y^(2)<1/(2n)^(2)}とおくと
Dn⊂En だから ∩Dn⊂∩En。明らかに∩En=φだから∩Dn=φ。

これは大きい円に小さい円が含まれてるから正しいのですか?
小さい円と重ならないとこは考えなくてよいのですか?



609 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 21:00
ttp://www.geocities.co.jp/Athlete-Crete/2165/miura.gif

教えて。

610 ::2001/05/22(火) 21:10
教えてください
球(直径6cm)が9個入る最小体積の正六面体の一辺の長さはいくらですか?

611 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 22:15
きゅっ球が九個…

612 :初心者:2001/05/22(火) 22:21
{(sinθ+cosθ)^2+(sinθ+cosθ)^2}=
は、「2」でいいですよね?


613 :577:2001/05/22(火) 22:24
>>605 >>606
ありがとうございます。
ところで、天地真理値ってなんですか?

614 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 22:26
>>612
いくないよ。

615 :>613:2001/05/22(火) 22:30
ただのギャグです。
むかしむかし、天地真理というアイドルがいて
そこから文字っただけです。
正しくは真理値です。
。。。



616 :佳奈りんご:2001/05/22(火) 22:36
>>610
多分8ルート3+12ルート2で良いと思うが
ちょっと検討してみる

617 :高校生:2001/05/22(火) 22:40
>612
与式
=4sinθcosθ=2sin2θ

θ=30*360n° 150*360n° n=整数
で2の値を取りうる

618 :佳奈りんご:2001/05/22(火) 22:41
>>609
3個の頂点からそれぞれ角の2等分線を引いてください
それらが辺と交わる点3個を結んだ物が
正三角形です

619 :佳奈りんご:2001/05/22(火) 22:43
>>612
2個目のかっこ内の+はーの間違いじゃあ無いですか???
そこがーなら2になります

620 :佳奈りんご:2001/05/22(火) 22:50
>>617
与式=2+4sinθcosθ=2+2sin2θ
2θ=180°*n
θ=90°*nでしょ???

621 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 22:58
教えてください。
―――――――――
X,Y:位相空間 O:直積空間X×Yの開集合
K:Yのコンパクトな部分集合
の時、
U(K)={x;{x}×KはOの部分集合}
はXの開集合である事を証明せよ。
―――――――――
U(K)に含まれる任意のxについて、U(K)に含まれるxの開近傍が取れる事を示せば命題が成り立つ事は分かったのですが、そこで止まってしまいました。

622 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 23:49
1)中心が直線y=x+5上にあり、原点と点(1,2)を通る。円の方程式を求めよ。
2)点(1,2)を通り、x軸、y軸に接する円の方程式を求めよ。
親切な方、解き方を教えてください。

623 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 23:50
>>618
ダウト!!
36°,72°,72°の三角形で実験してみ。
54°,54°,72°になっちまうから。

624 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 23:58
>>621
x をU(K)の元とする。
任意の y(∈K)に対して(x,y)∈{x}×K⊂O だから
xの(Xに於ける)近傍 A(y)
yの(Yに於ける)近傍 B(y)
が存在して A(y)×B(y)⊂O となる。
K⊂∪_[y∈K]B(y) で K がコンパ

625 :132人目の素数さん:2001/05/22(火) 23:59
>>622
1)
円の中心を(t,t+5)半径をrとして座標を代入してみれば?

626 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 00:03
>>622
2)
x軸に接する円とy軸に接する円をそれぞれ求めよ、って言う意味だよね。
図を書いてみるとすぐわかると思うけど。

627 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 00:22
∫X/1-cosX dX
です。どうやればいいのかなぁ

628 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 00:23
>>627
とりあえず頼み方から勉強してください(w

629 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 00:26
お助け願います。

ψ:K[x]→K[α]⊂L(代入写像)、I={f}(∵K[x]は単項イデアル整域)ってお膳立ての下、
Lが体であるから、部分環K[α]は整域。(1)
{f}≠{0}は素イデアルなので、fはK[x]の既約多項式。(2)

(1)は体Lが整域となるからでしょうか?
(2)は・・・なぜ故?

よろしくです。

630 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 02:20
(2)
既約ではないと仮定してみる。

f=g*hと書けると仮定する。(g、hはK[x]の一次以上の多項式)

f=g*h∈{f}だが、g∈{f}でもh∈{f}でもないから矛盾。

これは、{f}が素イデアルである事に反する。

よって、fは既約である。

631 :tr:2001/05/23(水) 02:36
>>609 さん
頂点から反時計廻りに A, B, C とします。(C が鈍角)
 1. 角C の2等分線をひき, BA との交点 D を求める
 2. DC と 30度の角をなすように 2直線 DP, DQ を書く
てな感じッス。

>>622 の (2)
(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2 が (1,2) を通るナリ。

632 :パット:2001/05/23(水) 05:51
【問】---------------------------------------------------
100個のボールを、区別のある2つの箱A,Bに無造作に入れる。
次の各場合について、2つの箱にそれぞれ50個ずつボールが
入る確率を求めよ。
(1) ボールに区別がない場合。
(2) ボールに区別がある場合。
---------------------------------------------------------

で、この答えは私わかるんです↓
【解】---------------------------------------------------
組み合わせ C[n,r] = n(n-1)(n-2)…(n-(n-r))/r!
重複組み合わせ H[n,r] = n(n+1)(n+2)…(n+(r-1))/r! = C[n+r-1,r]
と書くことにすると、
(1)1/H[2,100]
(2)C[100,50]/2^100
---------------------------------------------------------

でも、(1)の「ボールに区別をつけない」ということが現実問題として
どういう意味を持つのかよく分からないのです。
例えば、
[箱Aに50個、箱Bに50個入る]という事象と
[箱Aに0個、箱Bに100個入る]という事象が
同じ確からしさで起こるということが信じられません。
具体的にどういう実験をすれば、こういう結果が得られるのでしょうか?
(1)に対応する実験を教えてください。

633 :パット:2001/05/23(水) 05:53
訂正
>>632
> 組み合わせ C[n,r] = n(n-1)(n-2)…(n-(n-r))/r!


組み合わせ C[n,r] = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1))/r!

の間違い。

634 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 07:29
Kを体、RをKに含まれる部分環とするとき、(i), (ii), (iii)は同値であることを示せ。
(i) KはRを含む最小の体。
(ii) K={ r/s ; r∈R, s∈R-{0} }。
(iii) KはRの商体。

という問題なのですけど、解けなくて困っています。教えていただけないでしょうか。宜しくお願いします。

635 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 07:50
>>634
教科書(イデアルのあたり)見ろ

636 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 08:09
>>618
>>631
ありがとうございました。助かりました。

637 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 08:10
>>635 さん
さっきからずっと教科書見ながら格闘しているのですけど....(汗


638 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 09:39
例えば(2)→(1)
K⊃F⊃R Fは体とする。s/t∈K-Fをとると、
s∈R⊂F t∈R-{0}⊂FでFは体だから1/t∈F
Fは体だからs/t=s*(1/t)∈Fでs/t∈K-Fに矛盾
従ってK=FつまりKはRを含む最小の体。
K=Q R=Zだと思ってやればいいよ。

639 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 09:42
>>637
ちょっとステートメントがいいかげんだぞ。
(i)はこうか?
 (i)f:R→Lが環準同型でLが体であるとき体準同型g:K→Lで f=giとなるものがある。
   ただしi:R→Kはしぜんな埋め込み写像。
それともこっちか?
 (ii)R⊂L⊂K,Lが体ならL=K。
どっちかわからんとHintもだせん。

640 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 13:09
>>630
ありがとうございます。逝ってきます。。。

641 :621:2001/05/23(水) 14:23
>>624
ごめんなさい、よく解りません。

>xの(Xに於ける)近傍 A(y)
>yの(Yに於ける)近傍 B(y)
>が存在して A(y)×B(y)⊂O となる。

何故こうなるのでしょうか?

642 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 14:27
あの、お願いします。
ψ=ψ(x)
ψ''(x)={ax^2+b}・ψ
a,b:定数
こう言った微分方程式は解けるのでしょうか?
教えてください。

643 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 15:41
609で質問したものですが、>>618のやり方では正三角形になりません。
>>631には「DC と 30度の角をなすように」とありますが、定規とコンパスのみで可能なのでしょうか。
教えてください。

ttp://www.geocities.co.jp/Athlete-Crete/2165/miura.gif

644 :ドキュン学生:2001/05/23(水) 16:01
>>567
有限次代数体Kのアデールは
局所コンパクト群の族{Gp}と(有限個のpを除いた)そのコンパクト部分群{Up}
として考えたものですが(すなわちGp=Kp、Up=Op)初めからG=Oとして
{Op}の{Op}に関する制限直積をOAと見ればいいのかと思います。
つまりただの直積を意味するというわけではないかと・・・
もし違うようでしたらすいません。

645 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 16:16
>>643
30°を作ることは可能です。まずは、
その辺を1辺とする正三角形を書けば
60°は出来るその角の2等分線をとればいい。
ちなみに618はミスです

646 :幾何 学子:2001/05/23(水) 16:57
定理
x:I→R^n が求長可能である

x(t)=( x_1(t) … x_k(t) )^t としたとき、
各x_i :I→Rが有界変動である。

の証明はどのようにしたらよいのでしょうか。
上から下への証明はなんとなく分かったのですが
逆のやり方が分かりません。よろしくお願いします。

647 :幾何 学子:2001/05/23(水) 16:58
すみません。書くところを間違えました。

648 :幾何 学子:2001/05/23(水) 17:28
すみません。まちがえてなかったみたいです。
646の問題お願いします。

649 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 18:09
>>646
「^t」って何?転置?

650 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 18:13
(問題)
F(x)を(x+1)^2で割ったとき余り2x+3
また(x-1)^2で割ったとき余り3x−2である

(1)F(x)を(x+1)^2(x-1)で割った余りを求めよ。

解答
除法原理より
F(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
で表せるよって
F(x)/(x+1)^2の余りは
(-2a+b)x-a+c・・・・・・・・・・・A  ←この部分がわかりません
2x+3・・・・・・・・・・・・・・B       どのようにして求めたか
                          教えて下さい。
AとBより-2a+b=2    -a+c=3
F(-1)=ax^2+bx+c
この3式より
a=-1 b=0 c=2

答え:余りは-x^2+2

651 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 18:22
>>645
何度もすみませんでした。
おかげさまで理解できました。

652 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 18:33
>>650
F(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c において
右辺を(x+1)^2で割ってみる
(x+1)^2(x-1)Q(x)の部分は割り切れる
ax^2+bx+c の部分を割ってみると
商がaあまりが(-2a+b)x-a+cとなるから。

式で書くと
F(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
    =(x+1)^2(x-1)Q(x)+a(x+1)^2+(-2a+b)x-a+c
    =(x+1)^2{(x-1)Q(x)+a}+(-2a+b)x-a+c

653 :これを解けたらIQ150!:2001/05/23(水) 18:44
英国にある三階建てのアパートでの話です。そのアパートの住人は全部で
33人です。そのうち英語を読み書き出来ない人の割合はちょうど50%
でした。1階に住んでいる13人は全員読み書きできます。2階の住人の
読み書きが出来る人の割合は70%でした。ある日のことそのアパートに
あたらしく3人の人が入居して、1階・2階・3階に入りました。2階に
住む人の割合は80%にかわりました。
はたしてそのアパートの三階の住人の読み書き出来る人の割合は一体いくら
になったのでしょう?


654 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 18:45
>>652
理解しました、ありがとうございました。

655 :ケミスト:2001/05/23(水) 18:51
ずっと思ってたんですけど、中学校のころ先生に聞いて、先生が解んなかった事なんです。
「四角形の中に4つの辺と接するように、円を入れました。みんなどんな事がわかる?」
生徒A「円の中心から接点に線を引くと、その線とその四角形の辺は直角で交わります。」
先生「おっ!その通りだ。なかなかいいとこに目をつけたな。他には?」
僕「えっと、、向かい合った辺の長さはその円の直径の2倍以上になると思います。」
先生「、、、おっ、そうか。えっ、そうだよなぁ。あれ、**君ちょっとこれは今すぐには、証明できないなぁ。ちょっとまってくれるかな。」
それっきりその先生は僕が聞きに行っても「もうちょっと待って。」の連続でした。
あれから8年ぐらいずっともやもやしてます。この話は本当に実話です。
誰か証明してくれませんか?四角形が正方形の場合は簡単なんですけどね。円に接すればどんな四角形でもいいっていう事で。図で説明できないのが残念ですが、簡単な状況なんで想像できると思うんですけど、、。
ちなみにその先生は日大出身でいい先生でした。僕は国立工学部に行き、数学とちょっと離れてしまいました。

656 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 19:03
>>653
33人の50%って16.5人だぞ???

>>655
良い問題ですな考えてみます

657 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 19:03
>>653
33人の50%って16.5人だぞ???

>>655
良い問題ですな考えてみます

658 :ケミスト:2001/05/23(水) 19:12
有難うございます!!!ホントニうれしいです。よかったー。馬鹿にされないで、、、。

659 :>655:2001/05/23(水) 19:27
>僕「えっと、、向かい合った辺の長さはその円の直径の2倍以上になると思います。」
僕がそう思ったのは、それなりに理由があったの?
だったらそこが糸口だね。


660 :ケミスト:2001/05/23(水) 19:41
>659さん。
えーと。そんなに深い意味はないです。中学の時ですから。先生がそういう質問をして
みんなが三角定規を使っていろいろと計ってるから、ぼくもそうしただけです。
で、2倍以上にならないと、四角形で円を囲めないのかなぁ。と思っただけです。
卒業のちょっと前の学年集で先生が、「ひょっとしたら、**の定理がができるかもしれません。
先生はまだ証明できずにいます。」とか言っていたのが印象的でした。

661 :ケミスト:2001/05/23(水) 19:49
>659
すいません。>僕「えっと、、向かい合った辺の長さはその円の直径の2倍以上になると思います。」

>>向かい合った辺を足したその長さは、円の、、
です。問題訂正。

662 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 20:35
0〜9までの数字をそれぞれ一つずつ用いて十桁の数を作る時、
その数のいちばん上位の桁からn(n=1〜10)桁目までの数が
すべてのnで割り切れるようにこの数を定めよ。


663 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 20:45
>>661
分子構造

664 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 21:26
>>662
381654290です。
証明は結構長くなる、うまいの見つけた方お願いです

665 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 21:28
>>662 >>664
3816547290です
上のに7書き忘れました

666 ::2001/05/23(水) 21:31
>>610
よろしくおねがいします。

667 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 22:05
平行四辺形の一辺の中点を
定規を使って(点と点をむすぶ事だけができる)
求めよ
(1)補助線はどこに引いても良い
(2)補助線は平行四辺形の中だけ
この問題お願いします

668 :567:2001/05/23(水) 22:07
>>644
なるほど。それならなんとなくOの“アデール”とよべなくもありませんね。
こまかいことですが、そう解釈するとOAはOの無限直和ですね。
ところでそう解釈するとそちらの資料はきちんと解釈できそうですか?
こちらにはOAなるものが登場する資料がまったくないので判断つきません。
なんのお力にもなれなかったのにわざわざ私の“好奇心”におつきあい
していただいてカキコしていただいてありがとうございました。

669 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 22:08
>>664
[n]=n桁目の数
[n-m]=n桁目からm桁めまでの数((m-n+1)桁)とする。

すぐに[10]=0,[5]=5が決まる。
[10]=0より[1-9]≡0(mod9)なので[9]はなんでもよい。

[1-3]≡0(mod3),10*[1-3]≡30≡2(mod4)より[4]=2,6

1000*[1-3]≡0(mod6),[1-6]≡0(mod6)より[4-6]≡0(mod6)
[4-6]=258,654の2通りだけ。

以下略

670 :佳奈りんご:2001/05/23(水) 22:25
>>667
対角線を2本引くその交点を通る、辺に平行な線を引けばいい。
>>668
そう、そこまではいいんだけど、
そっから書くのが場合分け多くなっちゃうんだよね

671 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 22:28
>>670
それ定規だけでできるの?


672 :667:2001/05/23(水) 22:38
えっと点と点を結ぶ事しか出来ないんですが>>670

673 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 22:44
(平行四辺形の頂点を除く)辺上の勝手な点Aと対角線の交点を結べば対辺との交点A'を得る。
…ってな具合に進めるとできんのか?ワカラン

674 :567:2001/05/23(水) 22:50
>>661
円の半径は1としておく。
中心から接点、頂点に線分をひくと8つの角ができる。2つづつ
はひとしいのでそれぞれをα,β,γ,δとする。α+β+γ+δ=π、
0<α,β,γ,δ<π/2、この範囲で2対辺の和 S=tanα+tanβ+tanγ+tanδ
の下限をもとめる。Sの定義域を-π/2<α,β,γ,δ<π/2と拡張すると
境界上で無限大になるのでこのSは内点のどこかで最小値をとる。
それが正であることをしめせばよい。未定乗数λを導入して
 T=tanα+tanβ+tanγ+tanδ+λ(α+β+γ+δ-π)
とおく。(α,β,γ,δ)で最小とする。このときdT=0より
 1/cos^2α+λ=0
 1/cos^2β+λ=0
 1/cos^2γ+λ=0
 1/cos^2δ+λ=0
よってcos^2α=cos^2β=cos^2γ=cos^2δであるが-π/2<α,β,γ,δ<π/2
によりα=β=γ=δ=π/4で最小。

675 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 22:59
>>667
平行四辺形ABCDの辺BC上に勝手な点Eを取る。
AC,BDの交点をF
RF,ADの交点をG
AE,BDの交点をH
GH,BCの交点をI
とすればIはBCの中点…のように見えた(w

誰か確認して

676 :訂正>675:2001/05/23(水) 23:01
× RF,ADの交点をG
◎ EF

677 :675:2001/05/23(水) 23:06
>>675はでたらめでした。スマソ

678 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 23:07
>>675
みえんけど...

679 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 23:15
たのみます
 a^2+b^2=c^2 GCD(a,b,c)=1 となる a,b,cを求めよ。
ということですが,いかかがでしょう?

680 :132人目の素数さん:2001/05/23(水) 23:23
>>679
m>n,GCD(m,n)=1 に対し
(i)m,nともに奇数のとき
a=(m^2-n^2)/2,b=mn,c=(m^2+n^2)/2
(ii)m,nどちらかが偶数のとき
a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2
が整数解のすべて。(だれの定理だっけ?だいぶ昔の人)

681 :ミナカ:2001/05/23(水) 23:24
おねがいします。
次の方程式について、Au↑=b↑の形に書き,Au↑=b↑の解の全体は、
どのようなものになっているかに対応する形で解を求めなさい。
x+3y+z+w=1
  y-z-w=1 

682 :ケミスト:2001/05/23(水) 23:25
>674さん
有難うございました。僕の知識でぎりぎり理解できました。すごいですね。
なるほど。ナットクです。ウィー、8年間のなぞが解けるって、、。すっきりしました!!

683 :ドキュン学生:2001/05/23(水) 23:40
>>668
いえ直和ではなく直積ですね。もともと集合としての{Gp}の{Up}に関するアデールの定義は
GA={X=(Xp)∈ΠKp|有限個のpを除いてXp∈Up}(ここでΠ=パイは積の記号の意味)
という制限直積ですから、GとしてU自身をとればUAはただの直積になります。
初めに見た記号OAの解釈として正しいかどうかはともかく、これ自体は合ってる話だと思います。

684 :674:2001/05/23(水) 23:40
>>682
すまソ。“それが正であることをしめせばよい”は“それが2以上である
ことをしめせばよい。”でした。まあもうわかってえてるみたいだから
いいけど。

685 :ドキュン学生:2001/05/23(水) 23:45
>>683の定義内のΠKpはΠGpの間違いです
すいません

686 :668:2001/05/23(水) 23:45
>>683
おっと。そのとうりでした。つまんない事かいてしまいました。
“イデール”を構成する最後の段階であくまで帰納的極限を
とるだけで各コンポーネントワイズには直積でしたね。
つまり(直積、id)の形の帰納的極限なので直積そのものがでるん
ですね。すいません。うっかりしました。

687 :√√√:2001/05/23(水) 23:48
√33

688 :ドキュン学生:2001/05/23(水) 23:53
>>686
コンポーネントワイズ・・・聞いたことないです(笑
まあ言ってる意味はアデール化の操作の事なんで内容はわかってると思います

それではどうもありがとうございました。もし上の解釈と違うようでしたらまた書きます

689 :ドキュン学生:2001/05/23(水) 23:55
度々申し訳ないですが>>688の「わかってると思われる人」は僕ですから

690 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 00:18
すいません確率について教えて頂けないでしょうか

北大の問題で
りんごを9こを、S君、Y君、K君でわける。
一人ももらえない場合があっても良いとする。
このときS君が4つもらえる確率を求めよ

という問題があるのですが
普通ですと確率なのでりんごを区別して考えるはずですし
答えもそうなっているのですが
アインシュタイン型の確率と受けてればりんごは区別しないから
この問題はこたえが2つある、、と友人に言われました。

どう考えてもおかしいと思うのですが
知識不足で論破することができません。。
みなさん教えてください。


691 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 00:24
アインシュタイン型?

692 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 00:33
>>691
多分ボルツマン型分布とアインシュタイン型分布からきている
確率の事だよ

>>690
その友人はかなりのマニアだな。。
俺は確率は専門じゃないから答えられんが
たしかアインシュタイン型は量子力学のときにしか成り立たないはず。。

693 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 00:38
オレは確立サパーリなんだが、その〜型というのは例題の場合にも適用できるの?
それならそれぞれの立場で解答が出てきて、結果的にそれらが違っても問題ないのでは

694 :>691:2001/05/24(木) 00:39
ボーズアインシュタイン統計から来ている言葉かな

695 :692:2001/05/24(木) 00:43
>>693
例題?

690の北大の問題では多分なりたたないと思う、、
けどなんともいえれないな。。
さくらたん応援たのむぅ

696 :文系です:2001/05/24(木) 00:49
虚数って2乗とかで相殺される場合を除いて
虚数を用いた解しかなかったように思うのですが、
そんな閉鎖的な虚数って何の役に立つのですか?

697 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 00:50
>>695
そうです
例題=北大の問題 という意味です


698 :696:2001/05/24(木) 01:05
スレ違いな質問でしたね・・
ただ、別スレにまた書き込むほどの疑問でもないので
戯れに応えていただければありがたいです。

699 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 01:19
>>698
スレ違い感もあるけどそんなにわたしは不愉快じゃないな。
でも
>虚数を用いた解しかなかったように思うのですが、
>そんな閉鎖的な虚数って何の役に立つのですか?
の話のくだりがわかんなくて疑問の内容がわからん。
どこが閉鎖的?

700 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 01:20
>>文系
エレクトロニクス電子光学の波動関数で役に立ちまつ

701 :624:2001/05/24(木) 01:40
>>641
X×Y に直積空間としての位相を入れたから

702 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 01:52
>>667
答えはわかった。しかし君これなんかの宿題?疑問?
それとも答えは知ってるけど出題してんの?
別スレで同じ問題だしてる人いたけどあれ君?
いづれにしてももう眠いからねる!
ほんとに答えがしりたくてわからなくて聞いてるならもっかい聞いて。
私の解答は大変ながい。もっと簡単な解答があるのかもしれんけど
書くのは大変。もしこれが単なる出題なんだったらかきたくない。

703 :674:2001/05/24(木) 02:15
>>674,>>682
あらあら。しまったな〜。いまみなおしたらあなだらけ。
でもま、Sをcompact集合まで連続に(無限大をゆるせば)しかも境界で無限大に
なるように拡張できることはたしかだから方針はまちがってないので
適当になおしてよんで下さい。
#自己ふぉろっとかんとやいやいつっこまれそうだもんな〜。

704 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 02:20
>>703
ありゃ?これもまちがってるよ。しかしもう眠いのでねよ。
>>674は境界部分の扱いまちがってます。信じないで。
直してやろうという殊勝な方おられたらかわりになおしてたも。

705 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 02:32
>>661,>>674,>>704
いかん。これもっと簡単だった。tanθは0<θ<π/2で下に凸なので0<α,β,γ,δ<π/2
に対し(1/4)tanα+(1/4)tanβ+(1/4)tanγ+(1/4)tanδ≧tan{(α+β+γ+δ)/4}。
特にα+β+γ+δ=2πのときtanα+tanβ+tanγ+tanδ≧4で終わりじゃん。
なにやってんだろ俺... >>661さ〜ん。こっちのほうがいいぞ〜。

706 :パット:2001/05/24(木) 02:46
>>632
の解釈をどなたかお願いいたしますm(__)m

707 ::2001/05/24(木) 02:53
数学の問題だから現実にあり得るかどうかなんか関係ないんじゃないか
ボールじゃなくて、光子や中間子がたくさんあつまってる系の
統計力学なんかでは、
個々の粒子の個体識別ができないことを前提に状態数を数え上げるから
、この手の数え方をするはず。

708 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 03:23
代数的数の集合が積について閉じているのは分かったのですが、
和について閉じているのは分かりません。
過去ログではここでは説明するのが少し面倒って書かれてありましたが、
どなたか教えていただけないでしょうか。

709 :tr > パットさん:2001/05/24(木) 03:39
>>706 = >>632
ボール 100個を 1列にならべ, 列の両端
またはボールの間のどこかに区切り | を 割りこませて
区切り | の左・右にあるボールの個数を
箱 A・B に収めるボールの個数と考えてください。
  「0個 | 100個」 となるパタン
  「50個 | 50個」 となるパタン
どちらも一通りしかありませんよね。

710 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 04:12
>>690
>りんごを9こを、S君、Y君、K君でわける。

A君、B君、C君にしろよ(w

>という問題があるのですが

それだけじゃ確率は決まらない。

[解釈1]
3人でジャンケンをしてひとり選び
そいつにりんごを1個与える。。。
というのを9回続ける。
この場合Sがちょうど4個獲得する確率は
C[9,4]*(2^5)/(3^9)。(C[n,r]は二項係数。)

[解釈2]
3人に正10面体(藁)のサイコロを1個ずつ持たせる。
(サイコロには0〜9の数字が書いてある。)
「せぇ〜のッ!」で3人同時にサイコロをふる。
出た目の和が9なら各自が自分の出した目のぶんだけ
りんごをもらう。
出た目の和が9じゃなかったらやりなおし。。。
この場合Sがちょうど4個獲得する確率は 6/55。

#ほかの解釈もあるかもしれないが考えてない。

711 :710:2001/05/24(木) 04:24
[おまけ]↓こっちでも訊いたら?
http://www2.plala.or.jp/ryutaro/math/

712 :いいのかなあ…?:2001/05/24(木) 06:02
>>632
「無造作に」ってゆうコトバが入試の数学でこんなふうに使われてるの?

713 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 08:18
>>708
>>102-105 よまれよ。

714 :ましー:2001/05/24(木) 08:32
例題
月利2%で10万円借りました。
月末に同じ金額を返済し5回で完了します。
1回の返済金額はいくらですか。
ただし、借りたのは、その月の1日とし、1回目の返済は、その月の月末とします。

このような問題の時いったいどのように関数電卓で打てば知りたい値Xが出るのでしょうか?
説明書をくまなく読んだのですが、Σの使用法に関する例題が無くてわかりません。
どなたかお知恵を拝借できませんでしょうか?
よろしくお願いします。


715 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 08:43
>>710
不思議な問題だ・・

[1]:3進数で222,222,222面体(10進数で19,683面体)のさいころを一回振って
2の数だけS君にりんごを渡す方法
[2]:55面体のさいころ
(各面にはx+y+z=9を満たすxyzの全ての組み合わせがそれぞれ書かれている)
を一回振ってzの数だけS君に渡す方法

と書き換えられるが
"S君が一つもりんごをもらえない確率"は
[1]だと511/19683=0.025...に対し
[2]だと10/55=0.181...になってしまう・・・

716 :大一坊主:2001/05/24(木) 08:49
>>712
>>632はネタに決まってるだろ。
でも、「ボーズ・アインシュタイン統計に従うボール」
なんてあったら面白いわな。
そんなことがマクロで起こる世の中なんて住みたくないけど。

717 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 09:46
>>714
小数点以下の誤差には目をつむってもらって...
借り入れ金をa,利率をr,返済回数をN,返済額をxとして
(1月1日に借りて)n月1日の残金をa[n]とする。すると

 a[1]=a
 a[n+1]=(1+r)a[n]-x...(*)
 a[N+1]=0

をとけばよい。すると(*)は

 a[n+1]-x/r=(1+r)(a[n]-x/r)

と変形できるので一般項は

 a[n]=(1+r)^(n-1)(a-x/r)+x/r

であるから

 0=a[N+1]=(1+r)^N(a-rx)+x/r
 {(1+r)^N-1}x/r=(1+r)^N・a
 ∴x
 =r(1+r)^N・a/{(1+r)^N-1}
 =ar/{1-(1+r)^(-N)}

本文だと

 x=21215.83...

なので21216円以上づつ返せばよいです。

718 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/05/24(木) 10:44
一様均質でできた10面体(各面に1〜10が1つずつ書いてある)
のさいころ3回ふった時、積が100を超える確率を教えて下さい。


719 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/05/24(木) 10:45
× 一様均質でできた

○ 一様均質な材料でできた


720 :勇者ヘッポコくん:2001/05/24(木) 12:21
>>714
毎回の返済額をa円として、v=1÷1.02とおけば、
a×(1−v^5)÷(1−v)=10万円
が成立。これを解けば、a=20799.842なので、
毎月20800円返済すればOK。

721 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 12:34
>>720
おかしかないか?この論法だと一月目にぜんぶかえすと
a×(1−v^1)÷(1−v)=10万円
からa=10万円になるぞ。一月目だと利子がつかんのか?

722 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 12:51
>>721
Case by Case と思われ。借り先によっては借りたその月末までに
はらえば利子がつかないこともあるし町金とかだったら借りた
瞬間に利子がつくこともあるし。それによって
 a[n+1]=(a[n]-x)(1+r) ((返した残りに利子がつく))
 a[n+1]=a[n](1+r)-x ((利子がついてから返した金を引く))
のどっちかだね。

723 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 15:38
Kを体とし、VをK上のベクトル空間、Wをその部分ベクトル空間、
ρ={(v[1],v[2])∈V×V | v[1]-v[2]∈W}とする。
V/W=V/ρに和をC(v)+C(v')=C(v+v')、スカラー倍をΛC(v)=C(Λv)
と定義するとV/WはK上のベクトル空間となることを示せ。

この問題を教えてください。お願いします。

724 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 15:50
数列{Αn}はΑ1=2,Αn+1=3Αn+2n^2−2n−1(n=1,2…) (1)Βn=Αn+1−Αnとするとき数列{Βn}の漸化式は? (2)一般項Βnは? (3)一般項Αnは?

725 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 16:17
Jensenの不等式の証明方法を教えてください。。。
お願いします。
また、関数が凸のとき、凹のときの両方を証明しないと証明したことにはなりませんか?


726 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 16:47
>>701
解りました、有難うございます。

727 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 17:38
>>724
その誘導もいいけど、このやりかたもおぼえておけ!

A[n+1]=3A[n]+2n^2-2n-1 ---(1)

[1] A[n+1]=3A[n] を解くと
A[n]=c*3^n (cは定数)---(2)

[2] A[n]=pn^2+qn+r (p,q,rは定数)とおいて(1)に代入してp,q,rを求めると
p(n+1)^2+q(n+1)+r=3(pn^2+qn+r)+2n^2-2n-1
(2p+2)n^2+(-2p+2q-2)n+(-p-q+2r-1)=0
p=-1, q=r=0
A[n]=-n^2 ---(3)

[3] (1)の一般項は(2)+(3)で与えられる。
A[n]=c*3^n-n^2
ただし、A[1]=2よりc=1 よって
A[n]=3^n-n^2


728 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 18:08
>>724
穴埋め形式なら>>727の決め打ち方式も可。

誘導に乗らないときは、
証明に穴があると点をごっそり削られるので注意。
>>727では他に解が無いことを示していない)

729 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 18:23
次の問題教えて下さい。

放物線C:y=x^2 と、Cの上側(y>x^2)に定点A(a,b)がある。
点Aを通るCの弦を直径とするあらゆる円が
ある一点を共有するためのa,bの満たすべき条件を求めよ。



730 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 19:23
>>728

(1)を満たす数列が2つあればその差の数列の一般項は(2)。
だからこの解法での一般項の不定性はすでに(2)に含まれている
から初項を与えれば一意など明らか。

つーか[1]の部分は単なる斉次項の計算という解釈だけじゃなくて、
一般項の不定性を計算するという意味があるんだよ。


731 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 19:26
>(1)を満たす数列が2つあればその差の数列の一般項は(2)。

(1)を満たす数列が2つあればその差の数列が満たす漸化式は[1]で、その一般項は(2)。


732 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 19:51
>>730
高校生の問題と決め付けて書きました。説明不足でスマソ
範囲外のことはそう書かない限り明らかではないかと。(煽りではない)

責任を取って(?)誘導に沿った回答を書きます…

733 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 19:52
>>724

(準備)
A[1]=2
A[2]=5
A[3]=18
B[1]=A[2]-A[1]=3
B[2]=A[3]-A[2]=13

(1)
 A[n+2]=略=3A[n+1]+2n^2+2n-1
 A[n+1]=3A[n]+2n^2-2n-1 (n≧1)
辺々引くと
 A[n+2]-A[n+1]=3(A[n+1]-A[n])+4n (n≧1)
 B[n+1]=3B[n]+4n (n≧1) ・・・ (a)

(2)
 B[n+2]=3B[n+1]+4(n+1)
 B[n+1]=3B[n]+4n (n≧1)
辺々引くと
 B[n+2]-B[n+1]=3(B[n+1]-B[n])+4
 (B[n+2]-B[n+1]+2)=3(B[n+1]-B[n]+2)
            =3^2(B[n]-B[n-1]+2)
             ・・・
            =3^n(B[2]-B[1]+2)=4*3^(n+1) (n≧1)
整理して
 B[n+2]-B[n+1]=4*3^(n+1)-2 (n≧1)
これはn=0のときも成り立つので、書き直すと
 B[n+1]-B[n]=4*3^n-2 (n≧1) ・・・ (b)

(a)を(b)に代入してB[n+1]を消すと
 3B[n]+4n-B[n]=4*3^n-2 (n≧1)
整理すると
 B[n]=2*(3^n)-2n-1 (n≧1) ・・・ (c)

(3)
問題文の漸化式より
 A[n+1]=3A[n]+2n^2-2n-1 (n≧1)
これを(c)に代入してA[n+1]を消すと
 {3A[n]+2n^2-2n-1}-A[n]=2*(3^n)-2n-1 (n≧1)
整理して
 A[n]=3^n-n^2 (n≧1) ・・・ (答)

734 :724:2001/05/24(木) 20:03
みなさんどうもありがとうございました。


735 :蒸気圧曲線太郎:2001/05/24(木) 21:32
日本の明日を担う優秀な方々。だれか助けて下さい。下式を変形し、"T="の形にしたいのですが、
あたしにはどうしてもできません。

lnP=51.009-(5386.51/T)-(4.953*lnT)+(3.82*P/T^2)

助けてくれ〜!!

736 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 22:23
>>653
日本の三階=英国の2階。
A:80%

737 :ケミスト:2001/05/24(木) 22:36
>704 >705の方々へ
わざわざ有難うございます。でも、
(1/4)tanα+(1/4)tanβ+(1/4)tanγ+(1/4)tanδ≧tan{(α+β+γ+δ)/4}
の部分が曖昧なのでもう一度高校の教科書に戻って勉強したいと思います。
確かにやった記憶がありまする。しかし、僕がずっとわかんなかったことをあっさり解いてしまう皆さんには、
ホント頭が下がります。高校の時偏差値65で浮かれてた自分がはすかしいです。
大学はいってやんなくなっちゃったしなぁ。でも好きだから今からがんばろ、、。(独り言)

738 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 23:22
微分方程式
m*dv/dt=mg-kv^2
の解き方を教えていただけないでしょうか。

739 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 23:54
Iは極大イデアル⇔R/Iは体 (Rは可換環。Iはそのイデアル)

この証明は、

A≠0(Aはaの同値類を表しています)とする。
∃B s.t AB=@(@は1の同値類を表しています)⇔∃b s.t ab-1∈I
J=I+(a)とおくと、この条件はJ=Rと同値。

となっています。Jを上のように置けば、ab∈(a)、1-ab∈I と取ると、
1∈J(ideal)⇔J=R
って経緯なんでしょうか?妙だったらご指摘ください。お願いします。

740 :132人目の素数さん:2001/05/24(木) 23:54
>>708
>過去ログではここでは説明するのが少し面倒って書かれてありましたが

「少し面倒」って書いたのは俺だったような・・・。予備知識のいらない方針を2つ示す。

[方針1]
a, b を代数的数。それぞれの最小多項式を f(x), g(x) とする。
f(x)=0 の解のすべてを a_1, a_2,…,a_n とする(a=a_1 としておく)。
F(x)=g(x-a_1)*g(x-a_2)*…*g(x-a_n)
とおく。右辺を展開して x について整理すれば、係数は a_1, a_2,…,a_n の対称式だから
有理数。a+b は F(x)=0 の解だから、代数的数。

[方針2]
a, b を代数的数。その次数を n 次、m 次とする。
K={Σr(i,j)*a^i*b^j│r(i,j)∈Q}
を考える。なお、Σは、0≦i≦n-1, 0≦j≦m-1 の範囲で取る。
K は、和・差について閉じており、積についても a^n, b^m が出てくるたびに最小多項式を
利用して次数を下げられるので、閉じている。
従って、1, a+b, (a+b)^2, (a+b)^3, (a+b)^4,… は K に含まれる。

しかし、K は Q 上のベクトル空間と見なすこともでき、その次元は高々 mn 次元。
({a^i*b^j} が一次独立とは限らないので次元は mn より小さい可能性あり)。

mn+1 個の元、1, a+b, (a+b)^2, (a+b)^3,…,(a+b)^(nm) を取れば、これらは一次従属。

すなわち、有理数を係数として、A+B(a+b)+C(a+b)^2+D(a+b)^3+…=0 となるから、
a+b は代数的数。

741 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 00:52
ヘタレですみません。
sin20*sin40*sin80の値がどうしても出せません。
3倍角の公式を使うと聞いたのですが……。
誰か教えて下さい。
お願いします。

742 :だれか教えてちょ:2001/05/25(金) 00:58
宿題に出てわからない...(>_<)

x^2+(i-2)x+2ab+(b/2-2a)i=0
を満たす実数a,bが存在するような、実数xの値の範囲を求めよ。
ただし、i=√(-1)とする。←虚数って事ね。


743 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 01:17
>>741

sin20*sin40*sin80=sin60/4=√3/8
(∵恒等式 4sinx*sin(60+x)*sin(60-x)=sin3x)

744 :消防並です:2001/05/25(金) 01:20
分数の割り算はなんでひっくり返してかけるの
教科書に載ってないんだけど

745 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 01:41
>>710
解釈2に問題があると思うよ。
>出た目の和が9なら各自が自分の出した目のぶんだけ
>りんごをもらう。
>出た目の和が9じゃなかったらやりなおし。。。
>この場合Sがちょうど4個獲得する確率は 6/55

この場合、どのりんごをもらうかということを意識してない。
数学的確率は統計的確率に一致しないとだめだからこの場合統計的確率で考えてみると
確率はかならず現実的に図られなければ成らない。
6/55はあくまでりんごをすべて同じものと考えちゃってる

746 :710:2001/05/25(金) 02:56
>>745
>解釈2に問題があると思うよ。

つまり >>690 の問題に対しては >>710 の解釈1を
採用するのが正解で解釈2を採用するのは間違いだ、
ということですか?

>数学的確率は統計的確率に一致しないとだめだから
>この場合統計的確率で考えてみると
>確率はかならず現実的に図られなければ成らない。

申し訳ないけど意味わかんないです。

>6/55はあくまでりんごをすべて同じものと考えちゃってる

そうです。駄目ですか?

747 :tr:2001/05/25(金) 03:18
>>742 さん
c = 2a, d = b/2 とおいて問題を書きかえると
  x^2 + (i - 2)x + 2cd + (d - c)i = 0
  みたす実数 c, d が存在するような
  実数 x の値の範囲を求めよ
となる。

  (x^2 - 2x + 2cd) + (x + d - c)i = 0
  ⇔ { x^2 - 2x + 2cd = 0 …(1)
    { x + d - c = 0 ………(2) (∵ x, c, d は実数)

c, d は, x の方程式 (1) から得られる
  0 ≦ D/4 = 1 - 2cd ⇔ cd ≦ 1/2 …(3)
をみたす必要がある。いま (1) (2) から x 消去した
  c^2 + d^2 - 2c + 2d = 0
  ⇔ (c-1)^2 + (d+1)^2 = 2 …(4)
をみたす (c,d) は (3) をみたすから (式は略)
結局, cd 平面において (2) (4) が共有点をもつ
x の範囲を求めればよく 0≦x≦4 を得る。

748 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 03:34
2^9940×(2^9941−1)と同じ性質を持つ最小の自然数<N>は何?


749 :741:2001/05/25(金) 04:54
>>743
おお! ありがとうございます!
でもこの問題って、この公式を知らなかったら
解くのはかなり難しいような気がします。

これ以外の解き方というのはもう無いのでしょうか?
(あつかましくて申し訳ありません。)

750 :715:2001/05/25(金) 05:49
>>745
>>715でも書いたけど

(S,Y,K)={
(0,0,9),(0,1,8),...,(0,8,1),(0,9,0),
(1,0,8),(1,1,7),...,(1,8,0),
...
(8,0,1),(8,1,0),
(9,0,0)
}
という55枚のりんごの分配方を書いた紙から
一つの紙を引く、というやり方でりんごを分けたら(>>710の[解釈2])
どういう問題があるのかな?

751 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 07:57
sin20*sin40*sin80=sin(20)*sin(2*20)*sin(2*(2*20))
はsin20とcos20でかける。

752 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 08:50
再)日本の明日を担う優秀な方々。だれか助けて下さい。下式を変形し、
"T="の形にしたいのですが、あたしにはどうしてもできません。

lnP=51.009-(5386.51/T)-(4.953*lnT)+(3.82*P/T^2)

助けてくれ〜

753 :>748:2001/05/25(金) 09:44
>2^9940×(2^9941−1)と同じ性質を持つ最小の自然数<N>は何?

2^0 * (2^1-1) =1
自然数であるという同じ性質をもつ

全く意味不明の問題だね。

754 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 09:53
>>739
こゆ証明じゃないか?
以下ちょっと記号をかえさせてもらってaのR/Iにおける類をa+Iと
かかせてもらって(よってR/Iの単位元 i は“1+I”)
 ∀a+I≠0+I ∃b+I s.t. (a+I)(b+I)=1+I
⇔∀a(not)∈I ∃b s.t. ab-1 ∈ I
⇔∀a(not)∈I I+(a)=R
⇔I≦J≦R I≠J⇒J=R
同値性の証明は普通まずどっちかを仮定しもいっぽうが成立すること
をしめし、同じ事を反対についてもするってのが正道だけどなるべく
“⇔”でつなげて2度手間をはぶこうっていう“横着”をしたほうが
好まれたりする。まあそれ自身はいいんだけどその“横着”が初学者用
の教科書につかわれたりして、それが混乱のもとになったりすることも多い。
なれないうちは教科書で横着していてもきちっと“正道”にのっとった
証明を別に自分でやってみることおすすめ。

755 :>748:2001/05/25(金) 10:17
>2^9940×(2^9941−1)と同じ性質を持つ最小の自然数<N>は何?
2
偶数であるという同じ性質をもつ

756 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 10:33
>>749
3倍角の公式つかうなら... sin80°=-sin(360°-80°)=-sin280°と考えて
sin20°sin40°sin280°を考える。sin3×20°sin3×40°sin3×280°
ぜんぶ√3/2だからそれらは3倍角の公式から-4t^3+3t=√3/2 の3解。
整理してt^3-(3/4)t+√3/8=0の3解。よって解と係数の関係から
sin20°+sin40°+sin280°= 0
sin20°×sin40°+sin40°×sin280°+sin280°×sin40°=-3/4
sin20°×sin40°×sin280°=-√3/8
だからsin20°sin40°sin80°=√3/8

757 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 13:58
646を お願いします。誰か教えてくれませんか?
>>649 そうです。転置って言う意味です。

758 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 17:15
乱数の検定について調べていますがなかなか良い本が見つかりません。
χ自乗検定で不規則性を調べたいのですが、どのように行えばよいでしょうか。

759 :ニュース速報板人:2001/05/25(金) 17:41
ニュース速報板で問題が出たんですが、さっぱりわかりません。

A、B2人の易者がいる。
Aは占いの的中率が70%で見料が7万円。
Bは占いの的中率が20%で見料が2万円。
ある青年がP社、Q社どっちに就職したほうが幸福になれるか占ってもらう事にした。
A、Bどちらの易者に占ってもらう方が得でしょうか?

http://ton.2ch.net/test/read.cgi?bbs=news&key=989939753&ls=50
の412からですが、なんやら争ってます。どっちが正しいのでしょうか?

760 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 18:05
>>759
選択肢がP,Q二つしかないときにはBの易者は的中率80%と
考えることはできます。その仮定を認めるか認めないかの
問題ですよね。

だから2択でないようにA,Bを競馬の予想屋に変えたら問題
として面白いんじゃないかな。そして、Aは単勝しか予想
しないけどBは連勝複式を予想するとかしたらどうでしょう。


761 :大学1年生:2001/05/25(金) 19:02
レポートにまとめて提出しなさいといわれたのですが、
中学の数学も怪しい私にとって、この問題は難しすぎです。
誰か解き方と答えを教えてください。よろしくお願いします。

問題 自然数nに関する次の命題を数学的帰納法により証明せよ。

(”x^n”)=”nx^(n-1)”

導関数の公式

(c)´=0(cは定数)

(”x^n”)´=”nx^(n-1)”

(sinx)´=cosx

(cosx)´=−sinx

(”e^x”)´=”e^x”

数学記号の書き方を例のとうりに書いたつもりですが、
書き方に間違いがあるかもしれません。ちなみに1番最初の命題は、
(xのn乗)´=nxのn-1乗 と書いたつもりです。

数学的帰納法とはなにかさっぱりわかりません。これについても
教えてくれませんか?図々しくて本当に申し訳ありません。
よろしくお願いします。



762 :>:2001/05/25(金) 19:38
帰納法とは
1. P(1) が 成立
2. k<n なる k すべて について P(k) が成立を仮定した時
P(n)が成立
を示す。そうすると P(1),P(2),P(3),,,,,,,
,任意 x について P(X)が成立している
という論法です。

が、上の問題は何を示せといってるのか?
冒頭の
(”x^n”)=”nx^(n-1)” か?
これはタイプミス?
元々は 左辺の導関数 = 右辺 だった?

しかし 下の公式?とやらを使っていいなら
そこにかいてあるから、証明も何もない。あれれ

ということは、
題意は 下に書いてある公式を証明せよ
ということか?

763 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 21:12
>>758
>乱数の検定について調べていますがなかなか良い本が見つかりません。
「乱数」伏見正則著 東京大学出版会
なんか、どうよ?

>χ自乗検定で不規則性を調べたいのですが、どのように行えばよいでしょうか。
↓ここなんか、どう?
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/lecind.html

764 :大学1年生:2001/05/25(金) 21:45
762様
レスしてくれてありがとうございます。すみません。
「(nは整数)」というのが抜けていました。
新しく書き直しておきます。

私が思うに、多分、下の公式?とやらを使って、冒頭の
(”x^n”)=”nx^(n-1)” を数学的帰納法により
更にくどく証明しなさいといっているのではないのでしょうか?
数学に詳しい方がここまで言うということは、きっとこれは、
ものすごく変な問題なんでしょうね。
迷惑をおかけしてしまい本当に申し訳ありません。

問題 自然数nに関する次の命題を数学的帰納法により証明せよ。

   (”x^n”)=”nx^(n-1)”


導関数の公式

  (c)´=0(cは定数)

  (”x^n”)´=”nx^(n-1)”(nは整数)

  (sinx)´=cosx

  (cosx)´=−sinx

  (”e^x”)´=”e^x”

「ノートは表のページだけを使い、裏のページには何も書かないで
レポート提出しなさい。」と、ワケのわからないことを
先生は言っていました。他に「証明は1ページだけでは収まらない。」
ということもいっていました。もう何がなんだか本当に分かりません。
助けてください。お願いします。

765 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 22:03
>>764
どう考えてもおかしい。こんな感じの問題のまちがいでない?
問題 (x^n)'=nx^(n-1)を示せ。ただし次は証明なしで利用してよい。
(1)(定数)'=0
(2)(fg)'=f'g+fg'

766 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 22:39
>>754
なるほど。にらめっこしながらやってみます。
ありがとうございました。

767 :大学1年生:2001/05/25(金) 22:39
765様
レスしてくれてありがとうございます。
正しいであろう問題を考えてくださったのは嬉しいのですが、私はバカなので
サッパリわかりません。せっかく問題を直してくれたのに、本当にすみません。

大学名は言えませんが、この問題は、私の通っている大学が独自に作った教科書、
「初級微積分学講義」に載っているものです。

やはり教科書がおかしいのでしょうか?

768 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 22:58
>>767
わからんっす
“帰納法”といえば命題のどっかに“自然数n”がまじってて
>>762さんのレスにあるとうりn=1のときから順に証明して
いくもんだから本文のばあいその“n”ってのはxの肩にのっかって
るのしか思いつきません。だとすると証明すべきは2つ
(1)(x^1)'=1
(2)(x^k)'=kx^(k-1)までが正しいということを利用して
(x^(k+1))'=(k+1)x^kを証明する。
(1)はいいとして(2)はたぶん

 x^(k+1)=x・x^k

とx^(k+1)を2つの部分に分解して“積の微分の公式”(>>765の(2))
を利用して微分するぐらいしか思いつかないっす。とりあえずそんな
感じでレポート書いてみてあとは野となれ山となれって開き直るしか
ないんではないでしょうか?

769 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 23:00
>>748

6

770 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 23:04
>>748
1でどうよ?

771 :729:2001/05/25(金) 23:04
上でも書いたのですが
反応がないまま埋もれてしまったので
もっかい書きます。
お願いします。教えて下さい。

放物線C:y=x^2 と、Cの上側(y>x^2)に定点A(a,b)がある。
点Aを通るCの弦を直径とするあらゆる円が
ある一点を共有するためのa,bの満たすべき条件を求めよ。


772 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 23:11
>>771
問題の意味が良く分からない・・・。

773 :132人目の素数さん:2001/05/25(金) 23:48
>>771
(a,b)を通る傾きmの直線はy=m(x-a)+bだ。それとy=x^2の交点のx座標を
α、βとおきたまへ。α+β=m、αβ=ma-b...(*)を導きたまへ。
2交点(α、α^2)、(β、β^2)を直径とする円の方程式は
(x-α)(x-β)+(y-α^2)(y-β^2)=0だ。展開して上の(*)を利用して左辺を
m,x,y,a,bで表したまへ。mの2次式になるはずだ。それがmに関して恒等式
となるようなa,b,x,yがあればそのときの(x,y)がmによらず通る点だ。
mに関して恒等式になるためのa,b,x,yに関する条件式が3つでるはずだ。
内ひとつからa^2が定まってしまうはずだ。のこり2つのうち1つから
xを消去したまへ。a,b,yに関する方程式がでるはずだ。それがyについて
とけるための条件をだしたまへ。

774 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 00:46
関数fとgの掛け算のf*gのn回微分は
(f*g)<n> = Σ[k=0,n]C[n,k]*f<n-k>*g<k>
(n回微分をf<n>と表現しました。)となって
教科書にものってて証明も帰納法でできましたが、
合成関数(f。g)のn回微分は一般化できるのかなと
考えてみたらなかなか予想もできなくてはまってし
まいました。身近な本にはのってなくてこれに
一般式が存在するのか知りたいのですが?
よろしくお願いします。

775 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 00:51
>>774
どうして一般化できないと思うの?

776 :一般式:2001/05/26(土) 00:52
解析概論で見たぞ

777 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 00:53
>>771
773とかぶってもうしわけないですが・・・

x=aは、y=x^2と2点を共有しえないので
(a,b)を通る直線をy=m(x-a)+bとおける

y=m(x-a)+bとy=x^2の交点をA(α,α^2),B(β,β^2)とすると
解と係数の関係により
 α+β=m
 αβ=am-b

 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-2am+2b
 (α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=m^2-4am+4b

直径^2=|AB|^2=(α-β)^2+(α^2-β^2)^2=(m^2-4am+4b)+(m^2-4am+4b)^2
半径^2={(m^2-2am+2b)+(m^2-2am+2b)^2}/4

円の中心はABの中点なので
中心のx座標=(α+β)/2=m/2
中心のy座標=(α^2+β^2)/2=(m^2-2am+2b)/2

以上より円の方程式は
 {x-(m/2)}^2+{y-(m^2-2am+2b)/2}^2={(m^2-2am+2b)+(m^2-2am+2b)^2}/4
これをmについて整理すると
 am^3+(-3a-b-y)m^2+(a+6ab-x+2ay)m+(x^2+y^2-2by-3b^2-b)=0
これがmの値によらずに成立するのはmの各係数が全て0のとき、すなわち
    a=(-3a-b-y)=(a+6ab-x+2ay)=(x^2+y^2-2by-3b^2-b)=0
 ⇔ (a,b,x,y)=(0,0,0,0)または(0,1/6,0,-1/6)
 ⇔ (a,b,x,y)=(0,1/6,0,-1/6) (∵b>a^2)

以上より(a,b)=(0,1/6)のとき題意の円は定点(x,y)=(0,-1/6)を通る
(答) (a,b)=(0,1/6)

778 :774:2001/05/26(土) 01:16
>>775
関数fに注目してk次の導関数を考えたときk次の導関数に至る道は
二つ(k−1次からくる場合とk次のままその付属する関数が微分
されてくるパターン)があって、それを予側するのは次数があがるほど
困難になるように感じたのです。なにかヒントくれるとうれしいです。
>>776
ありがとう、身近にある本で発見できなかったのでちょっとがんばって
みようかと思いました。


779 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 02:14
748です。ありがとうございました。

780 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 02:31
>>774
二項展開って知ってる?
(a+b)^n=納k=0,n]{C[n,k]a^k・b^(n-k)}
この式と似てるよ。

(f*g)<n> = Σ[k=0,n]C[n,k]*f<n-k>*g<k> ――@
数学的帰納法を使って
(1) (f+g)'=f'g+f(g')
(2)p=1,2,・・・,nの時に@が成り立っていると仮定する
すると
(f*g)<n> = Σ[k=0,n]C[n,k]*f<n-k>*g<k>
もう一度微分して
(f*g)<n+1>=Σ[k=0,n]{C[n,k]*f<n-k+1>*g<k>+C[n,k]*f<n-k>*g<k+1>}
=Σ[k=0,n]{C[n,k]*f<(n+1)-k>*g<k>}+Σ[k=1,n+1]{C[n,k]*f<n+1-k>*g<k>}
ここでコンビネーションのある性質を使えば上手くいく、と思う。
C[n+1,k]ってC[n,k]とC[n,k-1]を使って表現できるよね、確か。

781 :741:2001/05/26(土) 02:33
>>756 ありがとうございました。
ちょっと感動。

782 :>>780:2001/05/26(土) 02:38
それは積のn回微分。
774が訊いてるのは合成関数のn回微分。

783 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 02:54
>>782
御免なさい・・・。

784 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 07:38
>>777
君、計算違とるよ。

>直径^2=|AB|^2=(α-β)^2+(α^2-β^2)^2=(m^2-4am+4b)+(m^2-4am+4b)^2
これまちがい。
(α^2-β^2)^2
 ={(α+β)^2}{(α-β)^2}
 =m^2(m^2-4am+4b)
でしょ。
だから、残念ながら続く議論(&結論)も誤り。

ところで、二点(x1,y1)(x2,y2)を直径の両端とする円の方程式が
 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
で与えられることは知っておくほうがいいよ。


785 :745:2001/05/26(土) 08:15
>>746
普通入試なんかできすれてる確率は数学的確率とよばれるのね。
それとは別に統計的確率と呼ばれるものが存在する。
統計的確率は書いて字のごとく実験によって(何回も試行を組み合わせて)
求める確率である。
今、数学的確率と統計的確率には数学的確率∈統計的確率のような関係があるから
(たしか高校向けの本ではモノグラフというのに乗ってる)
数学的確率、つまり求める確率は実験的に計測されなければならない。

次に2つのコインを投げて表と裏がでる確率を考えてみる。
コインを統一視すると[表、表][表、裏][表、表]となる。
確率は1/3であると考えた場合は失敗である。
何故なら試行を何回も繰り返すと実験的に1/2という値になるからである。
さらに確率とは各々等確率でなりたたなければならない(=同様にたしからしい)
が↑のコインの考え方では各々等確率でおきないのである。


786 :745:2001/05/26(土) 08:20
続き

では北大の問題はどうかというと
実験で求めるのは困難なので同様にたしからしいかどうかを考える。
(ABC)=(9.0.0)のときのおこりやすさを1とすると
(ABC)=(8.1.0)のときはその9倍おこりやすい
つまり等確率でおきているとは考えにくい。

したがって6/55は不適である。


787 :>:2001/05/26(土) 09:39
>コインを統一視すると[表、表][表、裏][表、表]となる。
コインが日常レベルのものでなく、光子なり中間子なりみだいな
ものだった同一視ありだな。
数学の問題で、ことわりがない時に、そんなひねくれた解釈
しちゃだめだろうけど。


788 :>:2001/05/26(土) 09:42
試験の問題で、コインなりリンゴなりサイコロなり
具体的な事物をだしている問題は日常の常識という
暗黙の前提条件があるということだな。

789 :774:2001/05/26(土) 11:51
>>780
レスどうもです。
合成関数の場合 (f。g)'=(f(g(x))'=f'*g'となって
fの微分にgの微分が毎回出現するので積の時のように
単純に二項展開できなくて、、、


790 :710:2001/05/26(土) 14:33
(cf. >>690, >>710, >>715, >>745, >>746, >>750)

>>785
解説ありがとうございます。

>>786
>(ABC)=(9.0.0)のときのおこりやすさを1とすると
>(ABC)=(8.1.0)のときはその9倍おこりやすい
>つまり等確率でおきているとは考えにくい。

解釈1では確かにそのとおりだけど
解釈2ではこの両者は等確率です。
この問題(690)に対してはどちらの解釈で考えても
正解である、と私は思ってます。

791 :ダック:2001/05/26(土) 14:49
教えてください。

MAX 2xー3y+z+2s
制約 2X+2y−3z+s<=3
   x>=0 y>=0 Z>=0 0<=s<=2

 こういう場合ってどうやって標準形になおすのですか?

792 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 16:50
以下の関係式の証明方法がわかりません。
数学的帰納法で証明できるようなのですが...

n
Σ[nCk][(-1)^k]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)]
k=0

ちなみに、(1-1)^n を展開して

0 = Σ[nCk][(-1)^k] = Σ[nCk][(-1)^k]*k/[k+x]
k k

+ Σ[nCk][(-1)^k]*x/[k+x]
k

としたのですが、ここから先へ進めません。
どなたか、アドバイスのほど、よろしくお願いいたします

793 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 19:06
>>792
n+1
Σ[(n+1)Ck][(-1)^k]/[k+x]
k=0
 n-1
=Σ[(n+1)C(k+1)][(-1)^(k+1)]/[k+1+x]
 k=0
 +1/x+(-1)^(n+1)/(x+n+1)
と分解して(n+1)C(k+1)=nCk+nC(k+1) をつかいたまへ。
そして帰納法のかてえをつかいたまへ。

794 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 19:12
>>792
帰納法つかわないんなら分母はらってx=0〜nを代入してもいいね。
分母はらうと両辺高々n次の多項式だから。

795 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 20:01
>>791
勝負!
2x-3y+z+2s-t=3
s-t=2
x≧0 y≧0 z≧0 s≧0 t≧0
でどうだ?

796 :大学1年生:2001/05/26(土) 20:48
768様
レスしてくれてありがとうございます。768様のおっしゃるとおり、
野となれ山となれで開き直りでレポートを提出しようと思うのですが、
どういうレポートを提出すればこの場をしのげるのかが分かりません。
人に頼ってないで自分で何とかしろ!という声がイタイほど聞こえてくるのですが、
数学に詳しい方たちならどういうレポートを書くのか教えて欲しいです。
この問題を証明する具体的なレポートを書いてくれませんか?
本当に申し訳ありません。お願いします。



797 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 21:08
>>792
地道にやってみました。

1) n=1においては成立している。
2) n=p-1において成立しているとすると、
Σ[k=0,p-1]C[p-1,k](-1)^k/(k+x) = (p-1)!/x(x+1)…(x+p-1) ----- (a)
3) n=pを考えて左辺を変形
Σ[k=0,p]C[p,k](-1)^k/(k+x)
= Σ[k=0,p-1]C[p-1,k](p/p-k)(-1)^k/(k+x) + C[p,p](-1)^p/(p+x)
= pΣ[k=0,p-1]C[p-1,k](-1)^k{1/(p-k)}{1/(k+x)} + C[p,p](-1)^p/(p+x)

{1/(p-k)}{1/(k+x)} = α/(p-k) + β/(k+x) とおいてkの恒等式とみなし
αβを求め以下のように変形

= Σ[k=0,p-1](-1)^k(p/(p+x))C[p-1,k](1/(p-k)) + p/(p+x)Σ[k=0,p-1]C[p-1,k](-1)^k/(k+x)
+ C[p,p](-1)^p/(p+x)

第一項と第三項で(1/(p+x))Σ[k=0,p]C[p,k](-1)^k =(1-1)^p = 0
第二項には(a)式が含まれ、それはn=pのときの証明すべき右辺となっている。

以上。


798 :771:2001/05/26(土) 22:09
>>773さん
アドバイスありがとうございました。
>それがmに関して恒等式
>となるようなa,b,x,yがあればそのときの(x,y)がmによらず通る点だ。
その「恒等式」は
 (a-y^2)m^2 + (-x+2ay+a-2ab)m + x^2+y^2-2by-b+b^2 = 0
で、これが恒等式になるための条件は
 (ア)a-y^2 = 0
(イ)x-2ay-a+2ab = 0
(ウ)x^2+y^2-2by-b+b^2 = 0
となりました。
このあと、
>・・・それがyについてとけるための条件をだしたまへ。
の部分がよくわからなくて、次のようにしました。、
 (ア)(イ)より y=a^2 , x=2a^3+a-2ab となるので、
 これが(ウ)を満たすことが必要十分。
 代入してbについて整理すると
  (4a^+1)b^2 - (8a^4+6a^2+1)b + 4a^6+5a^4+a^2 = 0
 ∴(4a^2+1)(b-a^2)(b-a^2-1) = 0
 よって求める条件は
  b-a^2=0 または b-a^2-1=0
これでもよいでしょうか?


799 :773:2001/05/26(土) 22:29
>>798
あいすまソ。我輩計算まちがいしてさうらう。今やりなおしてみた。
君のと同じ答えになった。もはや君に教える事はなにもナイ。
我がしかばねを乗り越えて逝きたまへ。

800 :132人目の素数さん:2001/05/26(土) 23:07
>>798

もともと>>771の問題文で、点AはCの上側にあることが
わかっている(つまりb>a^2が成り立っている)ので、
「b-a^2=0」は成り立つことはない。
だから答としては
 「b-a^2-1=0」
とすべきでしょう。


801 :ダック:2001/05/26(土) 23:27
>795
どうもありがとうございます。
でも、なんでそうなるんですか?それがわからないのです。
本にも似たようなものはのっていないし

802 :768:2001/05/27(日) 00:28
>>796
>この問題を証明する具体的なレポートを書いてくれませんか?
う〜ん。それをやってしまうのはちょっと...
まあ、こんなとこでカキコしてる人間がモラルどうこういえた義理じゃあ
ありませんがやっぱまずいでしょうね。とりあえずは>>762,>>765
(敬称略)などの記事や高校時代の教科書などを参照しながら自力でできる
範囲をカキコしてみてください。おかしいところ、わからないところから
先の方針などはアドバイスできると思います。私自身の意見としてはたぶん
出題者の題意は>>765に書いたような感じだと思います。この方針で
レポートをかけばいくばくかの評価は得られるとおもいます。
しかし、保証はできません。ご自分の責任の上でやってください。
とりあえずはn=1の場合はできるとおもいます。
そこで(x^k)'=kn^(k-1)を仮定して(x^(k+1))'を計算してください。
計算にはx^(k+1)=x・x^kと分解して積の微分の公式(>>765)を利用して
ください。
以上できるとこまでカキコしてください。

803 :132人目の素数さん:2001/05/27(日) 00:52
>>796
>数学に詳しい方たちならどういうレポートを書くのか教えて欲しいです。

ここでそれはさすがにアンフェアでしょう。
その先生に直接聞くというのが一番いいんじゃない?

804 :132人目の素数さん:2001/05/27(日) 05:45
>>795 だめだ
2x-3y+z+2s+t=3
s+u=2
x≧0 y≧0 z≧0 s≧0 t≧0 u≧0
でどうだ?
(非負変数を増やして制約条件の不等式を
等式に変えるのでは・・・)


805 :大学1年生:2001/05/27(日) 12:43
802様 803様
レスしてくれてありがとうございます。802様、803様のおっしゃるとうり、
自分のやれる所までやってみます。わがままばかり言って本当に申し訳ありませんでした。
1からまた出直してきます。

806 :758:2001/05/27(日) 19:29
>>763
乱数についての本のご紹介、ありがとうございました。
早速探しまして、購入する事ができました。

内容的にはちょっと難しい気がしますので、今後質問するかもしれません。
そのときはよろしくお願いいたします。

807 :ほえむ:2001/05/27(日) 21:51
立体空間の第1次象限で平面の方程式
X+2Y+Z-d=0(dは自然数)の面上にある
格子点の数をもとめたいのですが・・・

808 :132人目の素数さん:2001/05/27(日) 22:11
>>807
X+2Y=d-k,X>0,Y>0上の格子点の数A[k]をもとめてk=1〜d-1
までたしたらいいんじゃない?めんどうだけどできるよ。

809 :ほえむ:2001/05/27(日) 22:18
追記でこれを一般化したいのですが・・・

810 :132人目の素数さん:2001/05/27(日) 22:46
>>790
解釈2でも同様にたしからしくないよ。
例えば、S,Y,Kのとるりんごが、9,0,0ならば、
どのりんごもS君に行くから、1通りの分け方しかないが、
S,Y,Kに、3,3,3と分けるとしたら
どのりんごが、どの人に行くかで沢山の場合がある。
これを先ほどと同じ1通りとしてしまうと、この2つは同程度に
確からしいとは言えないので、狂いが生じます。
3,3,3の方がずっと起こりやすい。

745がいってるのが多分正論。


811 :132人目の素数さん:2001/05/27(日) 22:50
>>807-809
>>808のA[k]はd-k>3に対して[(d-k-1)/2]-1個でしょ?
[(d-k-1)/2]=(d-k-1)/2-(1/4){1-(-1)^(d-k-1)}
を利用してあとはたすだけ。等差級数と等比級数の公式しってりゃ
できるよ。

812 :ほえむ:2001/05/27(日) 22:58
dが偶数の時は普通に階差でしたね(汗
奇数のときはそのときでこれも階差。
階差数列とけりゃ一発でした

813 :ダック:2001/05/27(日) 23:09
>804
ありがとうございます。
もう一回それでやってみます。


814 :132人目の素数さん:2001/05/28(月) 03:57
>>791
>MAX 2xー3y+z+2s
>制約 2X+2y−3z+s<=3
>   x>=0 y>=0 Z>=0 0<=s<=2

やってみたがzがいくらでも大きくできるから
MAXがもとまらないのでわ?



815 :710(=790):2001/05/28(月) 12:54
>>810
解釈2で考える場合は9個のりんごを区別してません。
(9,0,0)と(3,3,3)は同様に確からしいです。

816 :132人目の素数さん:2001/05/28(月) 14:57
cosecx=?
が分かりませんcosecx=
と同等の関係を持つものはありませんか
教えて下さい。

817 :132人目の素数さん:2001/05/28(月) 14:59
>>816
大学生か?
教科書をちゃんと買うか図書館へ逝って来い。



818 :ダック:2001/05/28(月) 18:06
>816
1/sinXじゃないんですか?
間違っていたらごめんなさい

819 :大学1年生:2001/05/28(月) 20:45
今日、先生に宿題のレポートのことを直接聞きました。
問題がおかしいのではなく、私がおかしかったことがわかりました。
正しくは↓

問題 自然数nに関する次の命題を数学的帰納法により証明せよ。

   (”x^n”)=”nx^(n-1)”

↑これだけです。
764の下の「導関数の公式」は関係ありません。(それでも全然分からないけど)
迷惑をおかけしてすみませんでした。



820 :132人目の素数さん:2001/05/28(月) 20:49
>>815
810じゃないけど
りんごを区別しないのは明らかにおかしいよ。
745がいってるけどりんごを区別しないと実験で求められなくなる。

我々が求める確率は
試行を何回も繰り返して実験で求めなければならない。
そして、実験によって求められるということは同様に確からしい。
その例外が「量子力学」のアインシュタイ型確率と呼ぶ。


821 :132人目の素数さん:2001/05/28(月) 21:02
次の問題の解答を教えて下さい。

Sn=1+2+3+・・・+nに対して、Snが平方数となる
ようなnの集合をT、Snの集合をS’とする。このとき、
(1)Tの要素を小さい方から3つあげよ。
(2)偶数nがTの要素であるとき、n/8はS’の要素である事を
   示せ。

よろしくおねがいします

822 :大学1年生:2001/05/28(月) 21:54
819の続きです。
´(ダッシュ)がぬけてました。すみません。
書き直しました。↓

(”x^n”)´=”nx^(n-1)”

n=1のとき、x´= 0
n=2のとき、x^2´=2x
n=3のとき、x^3´=3x^2
n=4のとき、x^4´=4x^3

と、やってみましたが、もうこれが限界です。分かりません。
数学に詳しい方、教えてくれませんか?お願いします。

823 :名無しさん:2001/05/28(月) 22:09
>>822
n=k+1における与式
を定義に従って表し
その中に (x^k)' を作ってn=kで成立するという仮定を
使ってください

824 :132人目の素数さん:2001/05/28(月) 22:29
>>821
それって論述模試の問題?

825 :名無しさん:2001/05/29(火) 00:31
間違い探しの問題
(1)「2=3である。」

4−10と9−15はどちらも−6となり、等しい。
この各々に同じ数25/4を加えても等しいから

4−10+25/4=9−15+25/4

この両辺を因数分解すると

(2−5/2)2=(3−5/2)2

となり、2−5/2=3−5/2

∴2=3

さて、この証明の誤りを見つけてください

826 :名無しさん:2001/05/29(火) 00:36
因数分解のとこが意味不明なんですけど

827 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 00:39
>>826
二乗を書いたつもりなんだろーよ。

×  a^2=b^2 ⇒ a=b
〇  a^2=b^2 ⇒ a=±b

828 :名無しさん:2001/05/29(火) 00:41
なるほろ

829 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 00:43
>>827
コピペじゃない?(上付き表示が元に戻ってしまう)

830 :名無しさん:2001/05/29(火) 00:44
>>829
またまたなるほど

831 :132人目の暇人さん:2001/05/29(火) 00:55
Google で突き止めた(w
http://www.junko-k.com/mondai/mondai6.htm

832 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 01:06
>>831
おお!(w

833 :大学1年生:2001/05/29(火) 07:27
823様
レスしてくれてありがとうございます。
n=1,2,3,4,…のときは命題は成り立たないのでしょうか?
あと、´(ダッシュ)の意味がイマイチ分かりません。重要な記号なのでしょうか?

823様のおっしゃるとおりにやってみました。↓

(”x^n”)´=”nx^(n-1)”

n=kのとき、(x^k)´=kx^k-1
n=k+1のとき、(x^k-1)´=(k+1)x^(k+1)-1
         (x^k-1)´=xk+x´k

と、やってみましたが、全然、私には出来ません。
せっかくレスしてくださったのに、本当に申し訳ないです。
レポート提出の期限が、明日の5月30日なので急いでいます。
もう1度教えてください。お願いします。

 

834 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 07:39
>>833
ネタですか?そうじゃないなら高校に戻ったほうがいいよ。

835 :大学1年生:2001/05/29(火) 07:46
833の続きです。ちょっと確認させて欲しいのですが、

(”x^n”)´=”nx^(n-1)”

の、右辺は、nx全体のn-1乗ですか?それとも、xだけのn-1乗ですか?
多分、nx全体のn-1乗だとおもうのですが。
教えてください。お願いします。

836 :大学1年生:2001/05/29(火) 07:48
834様
ネタではないです。本当です。そう言われるのも仕方ないと思いますが。


837 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 07:53
しょうがねぇなぁ。

問題 自然数nに関する次の命題を数学的帰納法により証明せよ。
(x^n)'=nx^(n-1)

n=1のとき、明らかに成り立つ。
(x^n)'=nx^(n-1)が成りたつとすると、
(x^(n+1))'=(x*x^n)'=(x)'*x^n+x*(x^n)'=x^n+x*(nx^(n-1))=(n+1)x^n
従って、全ての自然数に対して成り立つ。

高校の教科書に(たぶん)のってるよ。

838 :0^0は無視:2001/05/29(火) 09:00
導関数の定義
f ´(x)=lim[h->0](f(x+h)-f(x))/h

n=kのとき
(x^k)´=lim[h->0]((x+h)^k-x^k)/h=kx^(k-1)
を仮定すると

(x^(k+1))´
=lim[h->0]((x+h)^(k+1)-x^(k+1))/h
=lim[h->0]((x+h)*(x+h)^k-x*x^k)/h
=lim[h->0]((x+h)*(x+h)^k-(x+h-h)*x^k)/h
=lim[h->0]((x+h)*(x+h)^k-(x+h)*x^k+h*x^k)/h
=lim[h->0]((x+h)*(((x+h)^k-x^k)/h)+x^k)
=(x+0)*kx^(k-1)+x^k
=kx^k+x^k
=(k+1)x^k
=(k+1)x^((k+1)-1)
となってn=k+1のときも成立

n=1のとき
(x^n)´=(x^1)´=lim[h->0]((x+h)^1-x^1)/h=lim[h->0]h/h=1
nx^(n-1)=1*x^(1-1)=x^0=1

以上より帰納的に(x^n)´=nx^(n-1)が成立

839 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 09:23
二項定理を帰納法で示す

(x^n)´
=lim[h->0]((x+h)^n-x^n)/h
=lim[h->0]Σ[k=1,n]nCk・h^(k-1)・x^(n-k)
=nx^(n-1)

(゚д゚)マズー

840 :710(=815):2001/05/29(火) 12:52
>>820
確認したいんだけど。。。
「この問題(>>690)では9個のりんごを区別しなければならない。
そして解釈1(>>710)のように考えなければならない。」
と思ってますか?

私は「9個のりんごを区別しないで解釈2のように考えても
正解である」と思ってます。

>745がいってるけどりんごを区別しないと実験で求められなくなる。

???
解釈2も実験可能です。ただし面倒なんでやる気ない。

841 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 13:58
xとyの次数が3以下の多項式調和関数をすべて求めよ、
h=h(r)がrだけの関数である調和関数h(r)をすべて
求めよ、を教えてください。

842 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 14:12
>>841
たかだか3次以下の多項式なんだから
f(x,y)=ax^3+bx^2y+...
とおいてΔf=0からa,b,...を求めたまへ
Δを∂^2/∂r^2,...等で表示してrについての常微分方程式とみて
ときたまへ。教科書にのってるらろ。

843 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 14:22
>>841
あきらかに同次成分おのおのが調和関数になるので
3次同次のもの
f=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3
2次同次のもの
f=ax^2+bxy+cy^2
1次同次のもの
f=ax+by
0次同次のもの
f=a
についてΔf=0をとかれよ。それらの線形結合全体がもとめるものだ。

Δ=∂^2/∂r^2+(1/r^2)∂^2/∂θ^2+(1/r)∂/∂r
だからrだけの関数だったら
f''+(1/r)f'=0
をとけばよろし。

844 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 16:59
>>840
確率の定義しってますか?
根本的な勘違いしてるぜ

845 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 18:40
>>844
お前の言う「勘違いしてる」ってとこを説明してみろよ

846 :大学1年生:2001/05/29(火) 18:41
837様 838様 839様
レスしてくれてありがとうございます。
おかげで明日の授業に間に合います。本当にありがとうございました。

847 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 21:43
教えてください、お願いします。
―――問題―――
ユークリッド空間R^3の部分集合
X={(x,y,z);(x^2+y^2-1)(y^2+z^2-1/4)=0}
についての整係数ホモロジー群を求めよ。
――――――
A={(x,y,z);x^2+y^2-1=0}
B={(x,y,z);y^2+z^2-1/4=0}
として、
A〜B〜S1
(Snはn次元球面とした、"〜"はホモトピー同値とした)
A且つB〜S1+S1
として、Mayer-vietorisを使おうとしたのですが、上手くいきません。
どうすればいいのか教えてください、お願いします。

848 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 21:45
某大学の院試問題なんです。

849 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 22:03
>>821
1/2*n(n+1)が平方数
→1/2*n かつ n+1 が平方数 または 1/2*n+1 かつ nが平方数
この辺が足がかりだと思われ。

850 :女子は数学苦手です。:2001/05/29(火) 22:12
数学に強い方にお願いがあります。
パズル(?)みたいなのを解いてくれませんでしょうか。
今日出されたのですが、全く分かりません。
その問題というのが、
「一年を365日ぴったりとすると、13日の金曜日は毎年必ずある。それを数学的に証明せよ。」
・・・というものなんです。
いくら考えても分かりません・・・。
数学に強い方、ぜひ教えてください。お願いします。

851 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 22:25
>>850
単純に場合わけじゃ駄目なの?
1月13日がどの曜日かで分けるって言う感じじゃ駄目?

852 :女子は数学苦手です。:2001/05/29(火) 22:26
>>851
すいません851さんのおっしゃってる事がまずわかりません(汗)
はぁ・・・。
ごめんなさい・・・。

853 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 22:37
1月13日がある曜日Dだとし、月→日までに0−6の番号をつける。
曜日が一つ進んだとき、DをD+1と書く。

各月の日数を7で割ったあまりは
3-0-3-2-3-2-3-3-2-3-2-3(1月to12月)
このとき、各月の13日の曜日をDであらわすと。
D+(0,3,6,8,11、13、16、19、21、24、26、29)
ここで、
D+0≡D    D+8≡D+1 D+16≡D+2 D+24≡D+3
D+11≡D+4 D+26≡D+5 D+13≡D+6 (Mod7
となり、Dは全ての曜日を取りうる。
つまり各月の13日は全ての曜日をとるので、
もちろん金曜日も含まれる。
 

854 :女子は数学苦手です。:2001/05/29(火) 22:41
なりほど。
ありがとうございました。良く分かりました。
はぁ。女子はよく数学が苦手だとか言われますが私がその良い見本です(笑)
853さん&851さんありがとうございましたぁっ。(あれ?同じ方・・・じゃないよね?)

855 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 22:44
>>851
こういう感じ?
てか仮定が逆だ。
「1月13日がある曜日Dだとし、月→日までに0−6の番号をつける。
→「月→日までに0−6の番号をつけたとき、1月13日がある曜日D(0から6)だとし、
あと7割りの余りが曜日と一致するの言い忘れ。粗くて ]''×・/

856 :132人目の素数さん:2001/05/29(火) 23:33
>>845
http://www25.tok2.com/home/toretate/kakuritu.html

ここを見てみるとよくわかると思うよ


857 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 00:00
n円持っているとします。
コインの表が出ると金が倍に、
コインの裏が出ると金が半分になります。
n円持っているときの期待値を求めると
(2n*1/2)+((-n/2)*1/2) = n*3/4 > 0
となります。
繰り返し試行をすると増えるのですか?
それとも変わらないのでしょうか?
問題分かりづらくてスマソです。

858 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 00:18
>>857
足すべし。比較はnと。
(2n+(n/2))/2 = 5n/4 > n

859 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 00:25
>>857
>(2n*1/2)+((-n/2)*1/2) = n*3/4 > 0

引いて0と比べてるところを見ると
増分(の期待値)かな。それなら

 (n*1/2)+((-n/2)*1/2) = n/4 > 0

くり返せば増える。
相加平均≧相乗平均が味噌かな。

860 :857です。:2001/05/30(水) 00:42
期待値は正ですので理論上は
繰り返せば増えることになります。
しかしここで疑問があります。
表裏はそれぞれ確率が等しいので
試行を数回繰り返した時点で
増える確率と減る確率は等しいのではないのでしょうか?

例えば1億回試行したとします。
表の出た回数が裏を出た回数より
一回でも多くなれば増えます。
逆に一回でも少なくなれば減ります。
これはそれぞれ等確率なのではないのでしょうか?
そうなると期待値に矛盾するのでは????
そのあたりをご教授下さい

>>859
あ、計算間違えてましたね(^^;

861 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 00:52
r:[a,b]→Uが閉道であり、Uは連続な角関数があるような
R^2(平面ということ)\{P}(たとえば、Pに頂点をもつ
扇形)であるとき、回転数W(r、P)=0になることを
示してほしいのですが。

862 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 01:09
>>860
賭け方によるでしょ。
毎回定額を投資する>>859
毎回獲得分を投資する>>860

863 :再度857です:2001/05/30(水) 01:40
>862
ちなみに毎回全額を投資する場合です。

864 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 04:13
>これはそれぞれ等確率なのではないのでしょうか?
>そうなると期待値に矛盾するのでは????

確率は等しくても増える場合の金額と減る場合の金額が違うだろsage

865 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 10:08
>>847
A={(x,y,z);x^2+y^2-1=0}
B={(x,y,z);y^2+z^2-1/4=0}
についてH_i(A)=Z(i=0,1),0(それ以外),H_i(B)=Z(i=0,1),0(それ以外),
だからX=A∪Bのホモロジー群は0次、1次、2次だけみれば十分。
Y=A∩Bは2つのS^1のdisjoint unionだから
H_i(Y)=Z(i=0),Z+Z(i=1),0(それ以外)。
H_1(Y)=Za+Zb,H_1(A)=Zc,H_1(B)=Zd,i:Y→A,j:Y→Bとすると
i(a)=i(b)=0,j(a)=j(b)=d
以下やってみたまへ。

866 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 12:49
>>850-854
これどっかの数学のページにあったカレンダーの問題のなかの一題じゃないの?
だったらうるう年の影響もかんがえんとダメヨ。
といっても基準を1/1からじゃなく3/1から考えればいいだけだけど。

867 :非通知さん:2001/05/30(水) 13:13
お願いします
A={(x,y)∈R:x^2+y^2≦1},B={(x,y)∈R^2:x+y≦√2}
とするとき、A⊂Bを示すには、どうすればいいのですか?


868 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 13:36
2次元の正方格子上に制限されないランダム・ウォークの1ステップを生成するには
どうすればいいですか?
x成分と、y成分の平方の和が1になればいいのですが、Mathematicaで関数を作りたいのです。

よろしくお願いします

869 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 14:42
>>865
解けました、有難うございます。

870 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 14:55
>>867
Aに含まれる点(a,b)をとって来ます。すると、a,bは
a^2+b^2≦1
が成り立つ。このときに(a,b)が
a+b≦√2
が成り立っていればAの点がBに含まれると言えます。
具体的には、
a^2+b^2≦1 ---(1)
ab≦√(a^2・b^2)≦(a^2+b^2)/2 ---(2) (相加・相乗平均の大小関係を使った)
(1),(2)より、
ab≦1/2 ----(3)
(1),(3)より、
a^2+2ab+b^2≦2
よって
a+b≦√2

871 :非通知さん:2001/05/30(水) 15:05
870様 有難うございます お礼として、投げ接吻をどうぞ
感謝いたします


872 :非通知さん:2001/05/30(水) 15:15
またしても867です 助けて下さい
写像f:X→YとXの部分集合A,Bで f(A∪B)=f(A)∪f(B)
と言うのを証明したいのですが…
あとf:X→YとYの部分集合C,Dで f^-1(C)-f^-1(D)⊂f^-1(C-D)
が 成り立たない写像と部分集合の例を教えて下さい 

873 :TEN MINUTE:2001/05/30(水) 15:19
はじめまして。ロシアンルーレット問題に関して質問があります。
ロシアンルーレット(6連シリンダーに弾が1発入っていて、二人が交互に引き金を引く)は、通常は先手後手で有利不利はありません。
何故なら、どのタイミングであっても死ぬ確率は6分の1で、先手も6分の3、後手も6分の3で死ぬからです。
ところが、大学の数学に入ると、時系列から先手不利という話を聞きました。
何故なら、確率が等価な場合、先に事象が発生するほうが不利だからという話でした。
ロシアンルーレットの場合、先手が一発目を撃った瞬間に死ぬ確率は6分の1だが、後手は0という説明を受けました。
私はその話に納得したのですが、事実でしょうか?


874 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 15:32
>>873
初歩的な質問ですまない。
先手が死ぬ確率=1/6
後手の死ぬ確率=0
なら、あとの5/6はどこに消えたのか? 50:50じゃないにしろ
確率の総和=1でないのになぜ納得するの?

875 :>:2001/05/30(水) 15:36
たぶん 先手が一発撃った時の直後の状態のことだから
そこで起こり得り事象としては
1) 先手が死ぬ
2) 後手が死ぬ
3) どっちも死なない
の3つある。
この3つの和が1ならOKでしょ。



876 :TEN MINUTE:2001/05/30(水) 15:40
>>874様。ありがとうございます。
上記の話は書かれているとおり、「最初の一発目が撃たれた瞬間」の話です。
2発目が撃たれた瞬間は後手が死ぬ確率は6分の1、先手はもちろん0です。
これらの確率を引き金が引かれた瞬間瞬間で見ていくと
発射された瞬間:先手の死んでいる確率の和:後手の死んでいる確率の和
1発目:1/6:0/6←先手有利
2発目:1/6:1/6
3発目:2/6:1/6←先手有利
4発目:2/6:2/6
5発目:3/6:2/6←先手有利
6発目:3/6:3/6
と、奇数発のとき、先手のほうが1回多く手順を重ねるため、不利になるという話です。

877 :>873:2001/05/30(水) 15:43
ていうか次のように計算すれば平等でないことがわかる

第n発目の発射で死ぬ確立 (1/6) (5/6)^n
nは先手1回目を1 後手2回目を2 先天2回目を3 ...
と数える

先手が死ぬ確率 上記を nを奇数について、総和 6/11
後手が死ぬ確率     nを偶数について 総和 5/11
------------------------------------------------
確かに1発目で死ぬ可能性が先手にはあって
後手にはないぶん先手不利


878 :ご冗談でしょう?名無しさん:2001/05/30(水) 15:44
>>867,872

図をかけ、自明じゃ!
ヴァカ!!


879 :TEN MINUTE:2001/05/30(水) 15:49
>>877様。ご回答ありがとうございます。
式のnに1をいれますと、1/6×5/6=5/36になります。
最初の一発目に関しては1/6になると思います。
書き忘れましたが、シリンダーは一回ごとに回し直すことは無く、必ず6回撃てば勝負が決まります。

880 :非通知さん:2001/05/30(水) 15:49
878様 言葉で証明しなきゃいけないの おいらは文系数学講師 数学わかんないの ごめんね


881 :>879:2001/05/30(水) 15:52
877 誤植
(1/6) (5/6)^n ではなく
立 (1/6) (5/6)^(n-1)
でした。

882 :TEN MINUTE:2001/05/30(水) 16:06
>>881様。
すみません、私が考えるに
1発目で死ぬ確率=1/6
2発目で死ぬ確率=5/6(1発目の生存確率)×1/5=1/6
3発目で死ぬ確率=5/6(1発目の生存確率)×4/5(2発目の生存確率)×1/4=1/6
以下略で、常に1/6だと考えていましたが、何が間違ってしまったのでしょう。

883 :>:2001/05/30(水) 16:17
877は常のシャッフルする(弾倉の回し直し)をする場合の
計算でした。

回し直しをしないのなら 常に1/6でいいです。

884 :TEN MINUTE:2001/05/30(水) 16:21
>>883様。ご回答ありがとうございます。
回し直しをしない場合、引き金を引けば常に1/6確率で死が来るわけですから、先手も後手も死ぬ確率は同じですよね。
そうすると>>876のようにミクロで見た場合、先手が不利になるというのは正しいのでしょうか。

885 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 16:33
☆__________________________.
|.            │
│ はにゃ〜ん.   │
| γ∞γ~  \    │
│人w/ 从从) )   │
│ ヽ | |┬ イ |〃  │
│ `wハ~ . ノ)    │
│  / \`「 .     │
| 数学板さくらスレ. │
|_________________________│





(● ´ ー ` ●)ノ さくらスレ旗掲揚


886 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 16:34
ミクロで見たいなら「2発目で死ぬ確率」は1/5だよ
「1発目で先手が死なず、なおかつ2発目で後手が死ぬ」というのはミクロの見方じゃない。

887 :TEN MINUTE:2001/05/30(水) 16:42
>>886様。
すみません、ミクロというのがまずかったですね。
弾が発射されて誰かが死ぬまでの時間ではなく、時間を区切って考えるとという意味でミクロという言葉を使いました。

888 : ご冗談でしょう?名無しさん:2001/05/30(水) 16:43
>>880

ハァ???
だから図を書けば明らかだから
それを見ながら言葉で説明しろって言ってんだよ
おめーほんとうに数学講師?
イマイ並みだぜ マジで!
 

889 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 16:58
↑あほ講師・トンデモ講師は放置が一番

890 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 17:09
物理を勉強している学生ですが教えてください。
与えられた密度 ρ に対するポアッソン方程式 △φ=ρ の解は、普通

φ=(1/4π)∫ρ/r d^3r (d^3r は体積要素)

で与えられますよね。
でもこれは ρ が有限な領域にある場合の話で、
そんな条件のない場合、
つまり早い話が ρ/r の空間積分が発散してしまう場合には
この公式は使えなくなります。
そんな場合でも、もとの方程式 △φ=ρ の解は存在するのか、
というのが質問です。

 よろしくお願いします。


891 :710(=840):2001/05/30(水) 17:22
>>844
>確率の定義しってますか?

あらためて聞かれると、困った。知らないですね。
http://www25.tok2.com/home/toretate/kakuri05.html
には「数学的確率の定義」が書いてあったけど、それですか?

>根本的な勘違いしてるぜ

正10面体のサイコロが3個ある(S、Y、Kとおく)。
各サイコロの面には0〜9の数字が書いてある。
S、Y、Kを同時に振る。
(S,Y,K)=(9,0,0)となる確率と
(S,Y,K)=(3,3,3)となる確率は等しい。

…これのどこが勘違い?

892 :名無しさん必死だな:2001/05/30(水) 17:23
誰か「常用対数」について、
優しく詳しく教えて下さい。
ちなみに私は「真数」もしらなければ
「自然対数」なんて言葉もしりません。
手間だとは思いますが、そのへんから
丁寧に教えてもらえたら助かります。
ここを見たらわかる!って場所でおけこうです。



893 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 17:38
>>892
10を何乗したらxになるか、という値をxの常用対数と言います。
例えば100の常用対数は2、1000の常用対数は3です。
じゃあ、半端な数の常用対数はというと、例えば10のm/n乗という
のは10のm乗のn乗根のことであると定義しますから、勝手なx
に対し、10のm/n乗がいくらでもxに近いようなm/nを見つけること
ができます。その極限値をxの常用対数といいます。


894 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 18:28
>>892
たいへんわかりやすい回答
ありがとうございました。
常用対数という意味はよく理解できました。
ちなみにもう一つ疑問なんですが、
log←こいつはなにを表すのか
教えていただけたらたすかります。


895 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 19:11
>正10面体のサイコロが3個ある(S、Y、Kとおく)。
>各サイコロの面には0〜9の数字が書いてある。
>S、Y、Kを同時に振る。
>(S,Y,K)=(9,0,0)となる確率と
>(S,Y,K)=(3,3,3)となる確率は等しい。
>
>…これのどこが勘違い?

正10面体ってなんじゃ?


896 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 19:12
logarithm

897 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 19:18
>894
>log←こいつはなにを表すのか

「10g」ってことで重さをを表しています。


898 :>894:2001/05/30(水) 19:35
常用対数をあらわす記号です

”1000の常用対数は3”というのを
log(1000) = 3 と表記します

899 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 19:50
>>898
おおお!やっと理解できました。
ありがとうございます。
>>897
一瞬、信じちゃった^^;


900 :( ´D`)ノ:2001/05/30(水) 19:59
900げっとれす

901 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 20:37
>>895
いまさらそこに突っ込むな。
1〜10の番号の書かれたカードと同じだ。

902 :132人目の素数さん:2001/05/30(水) 20:50
そろそろ移転の時期だな


903 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 20:57

新スレに移行しました.
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=991223596


904 :132人目のさくらたん:2001/05/30(水) 20:58
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905 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 13:46
∫u(y)dS(y)=∫u(x+rz)dS(z)への変数変換はy-x=rzと置けばいいのは
分かるのですが、その後はどうやればいいのですか?どうか教えて下さい。




906 :132人目の素数さん:2001/06/05(火) 13:48
新スレに移行してるよ。


907 :132人目の素数さん:2001/06/06(水) 08:24

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   ,l γノノ从リ)))  ..| このスレッドは終了しました。
   く〉V/┬ イ |レ"  .| 質問は最新のさくらスレですること。
   / ヘ||、~ -~ノ|| <
  / ~ γ||〈`只´〉||    \
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908 :佐藤:2001/06/27(水) 00:55
空間図形における2直線の位置関係で、垂直の関係とは、ねじれの位置にあって平行移動すれば同じ平面で垂直に交わる場合も含まれますか。確かベクトルではそれも垂直だったような気がしますが中学でしたらどうでしょう。どなたかおしえてください。

909 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 01:25
>>912
言ってる事が、よくわかりません。
中学で?ねじれの位置ってやるんでしたっけ?

910 :132人目のさくらたん:2001/06/27(水) 01:28
>>908-909
最新のさくらスレで議論して下さい.(コピペ済み)


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911 :132人目の素数さん:2001/06/27(水) 01:35
>>908-909 は何の議論を?

912 :132人目の素数さん:2001/06/28(木) 03:30
問題)下図のような3*3の点を4本の線分で一筆書きできるか。
   ・・・  (これは有名ですよね)
   ・・・
   ・・・ 
   さて、これをn*nに一般化できるでしょうか。(もちろん最低の本数です)
   誰か、知恵を貸して下さい。

 

913 :132人目の素数さん:2001/06/28(木) 03:34
>>912

そのまえに>>903-910をよく読め
ヴァカ!

914 :☆スレッド終了のお知らせ☆:2001/06/29(金) 00:27
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 このスレは終了したので書かないで下さい
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>>327も余計な事を...」 6 >>887 >>998 >>135 >1,>2,>3,>4,>5,>6,>7,>8,>9,>10,>11,>12,>13,>14,>15,>16,>17,>18,>19,2
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